Calcolo Esempi

$\int 3 {(2 t + 5)}^{3} d t$

Passaggio 1

Poiché $3$ è costante rispetto a $t$ , sposta $3$ fuori dall'integrale.

$3 \int {(2 t + 5)}^{3} d t$

Passaggio 2

Sia $u = 2 t + 5$ . Allora $d u = 2 d t$ , quindi $\frac{1}{2} d u = d t$ . Riscrivi usando $u$ e $d$ $u$ .

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Passaggio 2.1

Sia $u = 2 t + 5$ . Trova $\frac{d u}{d t}$ .

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Passaggio 2.1.1

Differenzia $2 t + 5$ .

$\frac{d}{d t} [2 t + 5]$

Passaggio 2.1.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $2 t + 5$ rispetto a $t$ è $\frac{d}{d t} [2 t] + \frac{d}{d t} [5]$ .

$\frac{d}{d t} [2 t] + \frac{d}{d t} [5]$

Passaggio 2.1.3

Calcola $\frac{d}{d t} [2 t]$ .

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Passaggio 2.1.3.1

Poiché $2$ è costante rispetto a $t$ , la derivata di $2 t$ rispetto a $t$ è $2 \frac{d}{d t} [t]$ .

$2 \frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [5]$

Passaggio 2.1.3.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ è $n t^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$2 \cdot 1 + \frac{d}{d t} [5]$

Passaggio 2.1.3.3

Moltiplica $2$ per $1$ .

$2 + \frac{d}{d t} [5]$

Passaggio 2.1.4

Differenzia usando la regola della costante.

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Passaggio 2.1.4.1

Poiché $5$ è costante rispetto a $t$ , la derivata di $5$ rispetto a $t$ è $0$ .

$2 + 0$

Passaggio 2.1.4.2

Somma $2$ e $0$ .

$2$

Passaggio 2.2

Riscrivi il problema utilizzando $u$ e $d u$ .

$3 \int u^{3} \frac{1}{2} d u$

Passaggio 3

$u^{3}$ e $\frac{1}{2}$ .

$3 \int \frac{u^{3}}{2} d u$

Passaggio 4

Poiché $\frac{1}{2}$ è costante rispetto a $u$ , sposta $\frac{1}{2}$ fuori dall'integrale.

$3 (\frac{1}{2} \int u^{3} d u)$

Passaggio 5

$\frac{1}{2}$ e $3$ .

$\frac{3}{2} \int u^{3} d u$

Passaggio 6

Secondo la regola di potenza, l'intero di $u^{3}$ rispetto a $u$ è $\frac{1}{4} u^{4}$ .

$\frac{3}{2} (\frac{1}{4} u^{4} + C)$

Passaggio 7

Semplifica.

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Passaggio 7.1

Riscrivi $\frac{3}{2} (\frac{1}{4} u^{4} + C)$ come $\frac{3}{2} \cdot \frac{1}{4} u^{4} + C$ .

$\frac{3}{2} \cdot \frac{1}{4} u^{4} + C$

Passaggio 7.2

Semplifica.

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Passaggio 7.2.1

Moltiplica $\frac{3}{2}$ per $\frac{1}{4}$ .

$\frac{3}{2 \cdot 4} u^{4} + C$

Passaggio 7.2.2

Moltiplica $2$ per $4$ .

$\frac{3}{8} u^{4} + C$

Passaggio 8

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $2 t + 5$ .

$\frac{3}{8} {(2 t + 5)}^{4} + C$