Calcolo Esempi

$\int \sqrt{1 - 4 x^{2}} d x$

Passaggio 1

Sia $x = \frac{1}{2} \sin (t)$ , dove $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ . Allora $d x = \frac{\cos (t)}{2} d t$ . Si noti che, poiché $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ , $\frac{\cos (t)}{2}$ è positivo.

$\int \sqrt{1 - 4 {(\frac{1}{2} \sin (t))}^{2}} \frac{\cos (t)}{2} d t$

Passaggio 2

Semplifica i termini.

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Passaggio 2.1

Semplifica $\sqrt{1 - 4 {(\frac{1}{2} \sin (t))}^{2}}$ .

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Passaggio 2.1.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 2.1.1.1

$\frac{1}{2}$ e $\sin (t)$ .

$\int \sqrt{1 - 4 {(\frac{\sin (t)}{2})}^{2}} \frac{\cos (t)}{2} d t$

Passaggio 2.1.1.2

Applica la regola del prodotto a $\frac{\sin (t)}{2}$ .

$\int \sqrt{1 - 4 \frac{\sin^{2} (t)}{2^{2}}} \frac{\cos (t)}{2} d t$

Passaggio 2.1.1.3

Eleva $2$ alla potenza di $2$ .

$\int \sqrt{1 - 4 \frac{\sin^{2} (t)}{4}} \frac{\cos (t)}{2} d t$

Passaggio 2.1.1.4

Elimina il fattore comune di $4$ .

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Passaggio 2.1.1.4.1

Scomponi $4$ da $- 4$ .

$\int \sqrt{1 + 4 (- 1) \frac{\sin^{2} (t)}{4}} \frac{\cos (t)}{2} d t$

Passaggio 2.1.1.4.2

Elimina il fattore comune.

$\int \sqrt{1 + 4 \cdot - 1 \frac{\sin^{2} (t)}{4}} \frac{\cos (t)}{2} d t$

Passaggio 2.1.1.4.3

Riscrivi l'espressione.

$\int \sqrt{1 - 1 \sin^{2} (t)} \frac{\cos (t)}{2} d t$

Passaggio 2.1.1.5

Riscrivi $- 1 \sin^{2} (t)$ come $- \sin^{2} (t)$ .

$\int \sqrt{1 - \sin^{2} (t)} \frac{\cos (t)}{2} d t$

Passaggio 2.1.2

Applica l'identità pitagorica.

$\int \sqrt{\cos^{2} (t)} \frac{\cos (t)}{2} d t$

Passaggio 2.1.3

Estrai i termini dal radicale, presupponendo numeri reali positivi.

$\int \cos (t) \frac{\cos (t)}{2} d t$

Passaggio 2.2

Semplifica.

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Passaggio 2.2.1

$\cos (t)$ e $\frac{\cos (t)}{2}$ .

$\int \frac{\cos (t) \cos (t)}{2} d t$

Passaggio 2.2.2

Eleva $\cos (t)$ alla potenza di $1$ .

$\int \frac{\cos^{1} (t) \cos (t)}{2} d t$

Passaggio 2.2.3

Eleva $\cos (t)$ alla potenza di $1$ .

$\int \frac{\cos^{1} (t) \cos^{1} (t)}{2} d t$

Passaggio 2.2.4

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\int \frac{{\cos (t)}^{1 + 1}}{2} d t$

Passaggio 2.2.5

Somma $1$ e $1$ .

$\int \frac{\cos^{2} (t)}{2} d t$

Passaggio 3

Poiché $\frac{1}{2}$ è costante rispetto a $t$ , sposta $\frac{1}{2}$ fuori dall'integrale.

$\frac{1}{2} \int \cos^{2} (t) d t$

Passaggio 4

Usa la formula di bisezione per riscrivere $\cos^{2} (t)$ come $\frac{1 + \cos (2 t)}{2}$ .

$\frac{1}{2} \int \frac{1 + \cos (2 t)}{2} d t$

Passaggio 5

Poiché $\frac{1}{2}$ è costante rispetto a $t$ , sposta $\frac{1}{2}$ fuori dall'integrale.

$\frac{1}{2} (\frac{1}{2} \int 1 + \cos (2 t) d t)$

Passaggio 6

Semplifica.

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Passaggio 6.1

Moltiplica $\frac{1}{2}$ per $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2 \cdot 2} \int 1 + \cos (2 t) d t$

Passaggio 6.2

Moltiplica $2$ per $2$ .

$\frac{1}{4} \int 1 + \cos (2 t) d t$

Passaggio 7

Dividi il singolo integrale in più integrali.

$\frac{1}{4} (\int d t + \int \cos (2 t) d t)$

Passaggio 8

Applica la regola costante.

$\frac{1}{4} (t + C + \int \cos (2 t) d t)$

Passaggio 9

Sia $u = 2 t$ . Allora $d u = 2 d t$ , quindi $\frac{1}{2} d u = d t$ . Riscrivi usando $u$ e $d$ $u$ .

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Passaggio 9.1

Sia $u = 2 t$ . Trova $\frac{d u}{d t}$ .

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Passaggio 9.1.1

Differenzia $2 t$ .

$\frac{d}{d t} [2 t]$

Passaggio 9.1.2

Poiché $2$ è costante rispetto a $t$ , la derivata di $2 t$ rispetto a $t$ è $2 \frac{d}{d t} [t]$ .

$2 \frac{d}{d t} [t]$

Passaggio 9.1.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ è $n t^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Passaggio 9.1.4

Moltiplica $2$ per $1$ .

$2$

Passaggio 9.2

Riscrivi il problema usando $u$ e $d u$ .

$\frac{1}{4} (t + C + \int \cos (u) \frac{1}{2} d u)$

Passaggio 10

$\cos (u)$ e $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{4} (t + C + \int \frac{\cos (u)}{2} d u)$

Passaggio 11

Poiché $\frac{1}{2}$ è costante rispetto a $u$ , sposta $\frac{1}{2}$ fuori dall'integrale.

$\frac{1}{4} (t + C + \frac{1}{2} \int \cos (u) d u)$

Passaggio 12

L'integrale di $\cos (u)$ rispetto a $u$ è $\sin (u)$ .

$\frac{1}{4} (t + C + \frac{1}{2} (\sin (u) + C))$

Passaggio 13

Semplifica.

$\frac{1}{4} (t + \frac{1}{2} \sin (u)) + C$

Passaggio 14

Sostituisci al posto di ogni variabile di integrazione per sostituzione.

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Passaggio 14.1

Sostituisci tutte le occorrenze di $t$ con $\arcsin (2 x)$ .

$\frac{1}{4} (\arcsin (2 x) + \frac{1}{2} \sin (u)) + C$

Passaggio 14.2

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $2 t$ .

$\frac{1}{4} (\arcsin (2 x) + \frac{1}{2} \sin (2 t)) + C$

Passaggio 14.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $t$ con $\arcsin (2 x)$ .

$\frac{1}{4} (\arcsin (2 x) + \frac{1}{2} \sin (2 \arcsin (2 x))) + C$

Passaggio 15

Semplifica.

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Passaggio 15.1

$\frac{1}{2}$ e $\sin (2 \arcsin (2 x))$ .

$\frac{1}{4} (\arcsin (2 x) + \frac{\sin (2 \arcsin (2 x))}{2}) + C$

Passaggio 15.2

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{1}{4} \arcsin (2 x) + \frac{1}{4} \cdot \frac{\sin (2 \arcsin (2 x))}{2} + C$

Passaggio 15.3

$\frac{1}{4}$ e $\arcsin (2 x)$ .

$\frac{\arcsin (2 x)}{4} + \frac{1}{4} \cdot \frac{\sin (2 \arcsin (2 x))}{2} + C$

Passaggio 15.4

Moltiplica $\frac{1}{4} \cdot \frac{\sin (2 \arcsin (2 x))}{2}$ .

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Passaggio 15.4.1

Moltiplica $\frac{1}{4}$ per $\frac{\sin (2 \arcsin (2 x))}{2}$ .

$\frac{\arcsin (2 x)}{4} + \frac{\sin (2 \arcsin (2 x))}{4 \cdot 2} + C$

Passaggio 15.4.2

Moltiplica $4$ per $2$ .

$\frac{\arcsin (2 x)}{4} + \frac{\sin (2 \arcsin (2 x))}{8} + C$

Passaggio 16

Riordina i termini.

$\frac{1}{4} \arcsin (2 x) + \frac{1}{8} \sin (2 \arcsin (2 x)) + C$