Calcolo Esempi

$\int x^{5} \cos (x^{3}) d x$

Passaggio 1

Sia $u = x^{3}$ . Allora $d u = 3 x^{2} d x$ , quindi $\frac{1}{3} d u = x^{2} d x$ . Riscrivi usando $u$ e $d$ $u$ .

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Passaggio 1.1

Sia $u = x^{3}$ . Trova $\frac{d u}{d x}$ .

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Passaggio 1.1.1

Differenzia $x^{3}$ .

$\frac{d}{d x} [x^{3}]$

Passaggio 1.1.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 3$ .

$3 x^{2}$

Passaggio 1.2

Riscrivi il problema usando $u$ e $d u$ .

$\int u \cos (u) \frac{1}{3} d u$

Passaggio 2

Semplifica.

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Passaggio 2.1

$\frac{1}{3}$ e $u$ .

$\int \frac{u}{3} \cos (u) d u$

Passaggio 2.2

$\frac{u}{3}$ e $\cos (u)$ .

$\int \frac{u \cos (u)}{3} d u$

Passaggio 3

Poiché $\frac{1}{3}$ è costante rispetto a $u$ , sposta $\frac{1}{3}$ fuori dall'integrale.

$\frac{1}{3} \int u \cos (u) d u$

Passaggio 4

Integra per parti usando la formula $\int w d v = w v - \int v d w$ , dove $w = u$ e $dv = \cos (u)$ .

$\frac{1}{3} (u \sin (u) - \int \sin (u) d u)$

Passaggio 5

L'integrale di $\sin (u)$ rispetto a $u$ è $- \cos (u)$ .

$\frac{1}{3} (u \sin (u) - (- \cos (u) + C))$

Passaggio 6

Riscrivi $\frac{1}{3} (u \sin (u) - (- \cos (u) + C))$ come $\frac{1}{3} (u \sin (u) + \cos (u)) + C$ .

$\frac{1}{3} (u \sin (u) + \cos (u)) + C$

Passaggio 7

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $x^{3}$ .

$\frac{1}{3} (x^{3} \sin (x^{3}) + \cos (x^{3})) + C$

Passaggio 8

Semplifica.

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Passaggio 8.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{1}{3} (x^{3} \sin (x^{3})) + \frac{1}{3} \cos (x^{3}) + C$

Passaggio 8.2

Moltiplica $\frac{1}{3} (x^{3} \sin (x^{3}))$ .

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Passaggio 8.2.1

$x^{3}$ e $\frac{1}{3}$ .

$\frac{x^{3}}{3} \sin (x^{3}) + \frac{1}{3} \cos (x^{3}) + C$

Passaggio 8.2.2

$\frac{x^{3}}{3}$ e $\sin (x^{3})$ .

$\frac{x^{3} \sin (x^{3})}{3} + \frac{1}{3} \cos (x^{3}) + C$

Passaggio 8.3

$\frac{1}{3}$ e $\cos (x^{3})$ .

$\frac{x^{3} \sin (x^{3})}{3} + \frac{\cos (x^{3})}{3} + C$

Passaggio 9

Riordina i termini.

$\frac{1}{3} x^{3} \sin (x^{3}) + \frac{1}{3} \cos (x^{3}) + C$