Calcolo Esempi

\int_{0}^{1} \arctan (x) d x

$\int_{0}^{1} \arctan (x) d x$

Passaggio 1

Integra per parti usando la formula

\int u d v = u v - \int v d u

$\int u d v = u v - \int v d u$ , dove

u = \arctan (x)

$u = \arctan (x)$ e

d v = 1

$d v = 1$ .

\arctan (x) x]_{0}^{1} - \int_{0}^{1} x \frac{1}{x^{2} + 1} d x

$\arctan (x) x]_{0}^{1} - \int_{0}^{1} x \frac{1}{x^{2} + 1} d x$

Passaggio 2

x

$x$ e

\frac{1}{x^{2} + 1}

$\frac{1}{x^{2} + 1}$ .

\arctan (x) x]_{0}^{1} - \int_{0}^{1} \frac{x}{x^{2} + 1} d x

$\arctan (x) x]_{0}^{1} - \int_{0}^{1} \frac{x}{x^{2} + 1} d x$

Passaggio 3

Sia

u = x^{2} + 1

$u = x^{2} + 1$ . Allora

d u = 2 x d x

$d u = 2 x d x$ , quindi

\frac{1}{2} d u = x d x

$\frac{1}{2} d u = x d x$ . Riscrivi usando

u

$u$ e

d

$d$

u

$u$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Sia

u = x^{2} + 1

$u = x^{2} + 1$ . Trova

\frac{d u}{d x}

$\frac{d u}{d x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.1

Differenzia

x^{2} + 1

$x^{2} + 1$ .

\frac{d}{d x} [x^{2} + 1]

$\frac{d}{d x} [x^{2} + 1]$

Passaggio 3.1.2

Secondo la regola della somma, la derivata di

x^{2} + 1

$x^{2} + 1$ rispetto a

x

$x$ è

\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$

Passaggio 3.1.3

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che

\frac{d}{d x} [x^{n}]

$\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è

n x^{n - 1}

$n x^{n - 1}$ dove

n = 2

$n = 2$ .

2 x + \frac{d}{d x} [1]

$2 x + \frac{d}{d x} [1]$

Passaggio 3.1.4

Poiché

1

$1$ è costante rispetto a

x

$x$ , la derivata di

1

$1$ rispetto a

x

$x$ è

0

$0$ .

2 x + 0

$2 x + 0$

Passaggio 3.1.5

Somma

2 x

$2 x$ e

0

$0$ .

2 x

$2 x$

2 x

$2 x$

Passaggio 3.2

Sostituisci

x

$x$ con il limite inferiore in

u = x^{2} + 1

$u = x^{2} + 1$ .

u_{lower} = 0^{2} + 1

$u_{lower} = 0^{2} + 1$

Passaggio 3.3

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1

Elevando

0

$0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene

0

$0$ .

u_{lower} = 0 + 1

$u_{lower} = 0 + 1$

Passaggio 3.3.2

Somma

0

$0$ e

1

$1$ .

u_{lower} = 1

$u_{lower} = 1$

u_{lower} = 1

$u_{lower} = 1$

Passaggio 3.4

Sostituisci

x

$x$ con il limite superiore in

u = x^{2} + 1

$u = x^{2} + 1$ .

u_{upper} = 1^{2} + 1

$u_{upper} = 1^{2} + 1$

Passaggio 3.5

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.1

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

u_{upper} = 1 + 1

$u_{upper} = 1 + 1$

Passaggio 3.5.2

Somma

1

$1$ e

1

$1$ .

u_{upper} = 2

$u_{upper} = 2$

u_{upper} = 2

$u_{upper} = 2$

Passaggio 3.6

I valori trovati per

u_{lower}

$u_{lower}$ e

u_{upper}

$u_{upper}$ saranno usati per calcolare l'integrale definito.

u_{lower} = 1

$u_{lower} = 1$

u_{upper} = 2

$u_{upper} = 2$

Passaggio 3.7

Riscrivi il problema utilizzando

u

$u$ ,

d u

$d u$ e i nuovi limiti dell'integrazione.

\arctan (x) x]_{0}^{1} - \int_{1}^{2} \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{2} d u

$\arctan (x) x]_{0}^{1} - \int_{1}^{2} \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{2} d u$

\arctan (x) x]_{0}^{1} - \int_{1}^{2} \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{2} d u

$\arctan (x) x]_{0}^{1} - \int_{1}^{2} \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{2} d u$

Passaggio 4

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Moltiplica

\frac{1}{u}

$\frac{1}{u}$ per

\frac{1}{2}

$\frac{1}{2}$ .

\arctan (x) x]_{0}^{1} - \int_{1}^{2} \frac{1}{u \cdot 2} d u

$\arctan (x) x]_{0}^{1} - \int_{1}^{2} \frac{1}{u \cdot 2} d u$

Passaggio 4.2

Sposta

2

$2$ alla sinistra di

u

$u$ .

\arctan (x) x]_{0}^{1} - \int_{1}^{2} \frac{1}{2 u} d u

$\arctan (x) x]_{0}^{1} - \int_{1}^{2} \frac{1}{2 u} d u$

\arctan (x) x]_{0}^{1} - \int_{1}^{2} \frac{1}{2 u} d u

$\arctan (x) x]_{0}^{1} - \int_{1}^{2} \frac{1}{2 u} d u$

Passaggio 5

Poiché

\frac{1}{2}

$\frac{1}{2}$ è costante rispetto a

u

$u$ , sposta

\frac{1}{2}

$\frac{1}{2}$ fuori dall'integrale.

\arctan (x) x]_{0}^{1} - (\frac{1}{2} \int_{1}^{2} \frac{1}{u} d u)

$\arctan (x) x]_{0}^{1} - (\frac{1}{2} \int_{1}^{2} \frac{1}{u} d u)$

Passaggio 6

L'integrale di

\frac{1}{u}

$\frac{1}{u}$ rispetto a

u

$u$ è

\ln (| u |)

$\ln (| u |)$ .

\arctan (x) x]_{0}^{1} - \frac{1}{2} \ln (| u |)]_{1}^{2}

$\arctan (x) x]_{0}^{1} - \frac{1}{2} \ln (| u |)]_{1}^{2}$

Passaggio 7

Sostituisci e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1

Calcola

\arctan (x) x

$\arctan (x) x$ per

1

$1$ e per

0

$0$ .

(\arctan (1) \cdot 1) - \arctan (0) \cdot 0 - \frac{1}{2} \ln (| u |)]_{1}^{2}

$(\arctan (1) \cdot 1) - \arctan (0) \cdot 0 - \frac{1}{2} \ln (| u |)]_{1}^{2}$

Passaggio 7.2

Calcola

\ln (| u |)

$\ln (| u |)$ per

2

$2$ e per

1

$1$ .

(\arctan (1) \cdot 1) - \arctan (0) \cdot 0 - \frac{1}{2} ((\ln (| 2 |)) - \ln (| 1 |))

$(\arctan (1) \cdot 1) - \arctan (0) \cdot 0 - \frac{1}{2} ((\ln (| 2 |)) - \ln (| 1 |))$

Passaggio 7.3

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.3.1

Moltiplica

\arctan (1)

$\arctan (1)$ per

1

$1$ .

\arctan (1) - \arctan (0) \cdot 0 - \frac{1}{2} ((\ln (| 2 |)) - \ln (| 1 |))

$\arctan (1) - \arctan (0) \cdot 0 - \frac{1}{2} ((\ln (| 2 |)) - \ln (| 1 |))$

Passaggio 7.3.2

Moltiplica

0

$0$ per

- 1

$- 1$ .

\arctan (1) + 0 \arctan (0) - \frac{1}{2} ((\ln (| 2 |)) - \ln (| 1 |))

$\arctan (1) + 0 \arctan (0) - \frac{1}{2} ((\ln (| 2 |)) - \ln (| 1 |))$

Passaggio 7.3.3

Moltiplica

0

$0$ per

\arctan (0)

$\arctan (0)$ .

\arctan (1) + 0 - \frac{1}{2} ((\ln (| 2 |)) - \ln (| 1 |))

$\arctan (1) + 0 - \frac{1}{2} ((\ln (| 2 |)) - \ln (| 1 |))$

Passaggio 7.3.4

Somma

\arctan (1)

$\arctan (1)$ e

0

$0$ .

\arctan (1) - \frac{1}{2} (\ln (| 2 |) - \ln (| 1 |))

$\arctan (1) - \frac{1}{2} (\ln (| 2 |) - \ln (| 1 |))$

\arctan (1) - \frac{1}{2} (\ln (| 2 |) - \ln (| 1 |))

$\arctan (1) - \frac{1}{2} (\ln (| 2 |) - \ln (| 1 |))$

\arctan (1) - \frac{1}{2} (\ln (| 2 |) - \ln (| 1 |))

$\arctan (1) - \frac{1}{2} (\ln (| 2 |) - \ln (| 1 |))$

Passaggio 8

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.1

Utilizza la proprietà del quoziente dei logaritmi,

\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})

$\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

\arctan (1) - \frac{1}{2} \ln (\frac{| 2 |}{| 1 |})

$\arctan (1) - \frac{1}{2} \ln (\frac{| 2 |}{| 1 |})$

Passaggio 8.2

\ln (\frac{| 2 |}{| 1 |})

$\ln (\frac{| 2 |}{| 1 |})$ e

\frac{1}{2}

$\frac{1}{2}$ .

\arctan (1) - \frac{\ln (\frac{| 2 |}{| 1 |})}{2}

$\arctan (1) - \frac{\ln (\frac{| 2 |}{| 1 |})}{2}$

\arctan (1) - \frac{\ln (\frac{| 2 |}{| 1 |})}{2}

$\arctan (1) - \frac{\ln (\frac{| 2 |}{| 1 |})}{2}$

Passaggio 9

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1

Il valore assoluto è la distanza tra un numero e zero. La distanza tra

0

$0$ e

2

$2$ è

2

$2$ .

\arctan (1) - \frac{\ln (\frac{2}{| 1 |})}{2}

$\arctan (1) - \frac{\ln (\frac{2}{| 1 |})}{2}$

Passaggio 9.2

Il valore assoluto è la distanza tra un numero e zero. La distanza tra

0

$0$ e

1

$1$ è

1

$1$ .

\arctan (1) - \frac{\ln (\frac{2}{1})}{2}

$\arctan (1) - \frac{\ln (\frac{2}{1})}{2}$

Passaggio 9.3

Dividi

2

$2$ per

1

$1$ .

\arctan (1) - \frac{\ln (2)}{2}

$\arctan (1) - \frac{\ln (2)}{2}$

\arctan (1) - \frac{\ln (2)}{2}

$\arctan (1) - \frac{\ln (2)}{2}$

Passaggio 10

Il valore esatto di

\arctan (1)

$\arctan (1)$ è

\frac{π}{4}

$\frac{π}{4}$ .

\frac{π}{4} - \frac{\ln (2)}{2}

$\frac{π}{4} - \frac{\ln (2)}{2}$

Passaggio 11

Il risultato può essere mostrato in più forme.

Forma esatta:

\frac{π}{4} - \frac{\ln (2)}{2}

$\frac{π}{4} - \frac{\ln (2)}{2}$

Forma decimale:

0.43882457 \dots

$0.43882457 \dots$