Calcolo Esempi

$\int_{0}^{5} \sqrt{y + 4} d y$

Passaggio 1

Sia $u = y + 4$ . Allora $d u = d y$ . Riscrivi usando $u$ e $d$ $u$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Sia $u = y + 4$ . Trova $\frac{d u}{d y}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1

Differenzia $y + 4$ .

$\frac{d}{d y} [y + 4]$

Passaggio 1.1.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $y + 4$ rispetto a $y$ è $\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [4]$ .

$\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [4]$

Passaggio 1.1.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ è $n y^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d y} [4]$

Passaggio 1.1.4

Poiché $4$ è costante rispetto a $y$ , la derivata di $4$ rispetto a $y$ è $0$ .

$1 + 0$

Passaggio 1.1.5

Somma $1$ e $0$ .

$1$

Passaggio 1.2

Sostituisci il limite inferiore a $y$ in $u = y + 4$ .

$u_{lower} = 0 + 4$

Passaggio 1.3

Somma $0$ e $4$ .

$u_{lower} = 4$

Passaggio 1.4

Sostituisci il limite superiore a $y$ in $u = y + 4$ .

$u_{upper} = 5 + 4$

Passaggio 1.5

Somma $5$ e $4$ .

$u_{upper} = 9$

Passaggio 1.6

I valori trovati per $u_{lower}$ e $u_{upper}$ saranno usati per calcolare l'integrale definito.

$u_{lower} = 4$

$u_{upper} = 9$

Passaggio 1.7

Riscrivi il problema usando $u$ , $d u$ e i nuovi limiti dell'integrazione.

$\int_{4}^{9} \sqrt{u} d u$

Passaggio 2

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{u}$ come $u^{\frac{1}{2}}$ .

$\int_{4}^{9} u^{\frac{1}{2}} d u$

Passaggio 3

Secondo la regola della potenza, l'intero di $u^{\frac{1}{2}}$ rispetto a $u$ è $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}]_{4}^{9}$

Passaggio 4

Sostituisci e semplifica.

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Passaggio 4.1

Calcola $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ per $9$ e per $4$ .

$(\frac{2}{3} \cdot 9^{\frac{3}{2}}) - \frac{2}{3} \cdot 4^{\frac{3}{2}}$

Passaggio 4.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.1

Riscrivi $9$ come $3^{2}$ .

$\frac{2}{3} \cdot {(3^{2})}^{\frac{3}{2}} - \frac{2}{3} \cdot 4^{\frac{3}{2}}$

Passaggio 4.2.2

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{2}{3} \cdot 3^{2 (\frac{3}{2})} - \frac{2}{3} \cdot 4^{\frac{3}{2}}$

Passaggio 4.2.3

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.3.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{2}{3} \cdot 3^{2 (\frac{3}{2})} - \frac{2}{3} \cdot 4^{\frac{3}{2}}$

Passaggio 4.2.3.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{2}{3} \cdot 3^{3} - \frac{2}{3} \cdot 4^{\frac{3}{2}}$

Passaggio 4.2.4

Eleva $3$ alla potenza di $3$ .

$\frac{2}{3} \cdot 27 - \frac{2}{3} \cdot 4^{\frac{3}{2}}$

Passaggio 4.2.5

$\frac{2}{3}$ e $27$ .

$\frac{2 \cdot 27}{3} - \frac{2}{3} \cdot 4^{\frac{3}{2}}$

Passaggio 4.2.6

Moltiplica $2$ per $27$ .

$\frac{54}{3} - \frac{2}{3} \cdot 4^{\frac{3}{2}}$

Passaggio 4.2.7

Elimina il fattore comune di $54$ e $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.7.1

Scomponi $3$ da $54$ .

$\frac{3 \cdot 18}{3} - \frac{2}{3} \cdot 4^{\frac{3}{2}}$

Passaggio 4.2.7.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.7.2.1

Scomponi $3$ da $3$ .

$\frac{3 \cdot 18}{3 (1)} - \frac{2}{3} \cdot 4^{\frac{3}{2}}$

Passaggio 4.2.7.2.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{3 \cdot 18}{3 \cdot 1} - \frac{2}{3} \cdot 4^{\frac{3}{2}}$

Passaggio 4.2.7.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{18}{1} - \frac{2}{3} \cdot 4^{\frac{3}{2}}$

Passaggio 4.2.7.2.4

Dividi $18$ per $1$ .

$18 - \frac{2}{3} \cdot 4^{\frac{3}{2}}$

Passaggio 4.2.8

Riscrivi $4$ come $2^{2}$ .

$18 - \frac{2}{3} \cdot {(2^{2})}^{\frac{3}{2}}$

Passaggio 4.2.9

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$18 - \frac{2}{3} \cdot 2^{2 (\frac{3}{2})}$

Passaggio 4.2.10

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.10.1

Elimina il fattore comune.

$18 - \frac{2}{3} \cdot 2^{2 (\frac{3}{2})}$

Passaggio 4.2.10.2

Riscrivi l'espressione.

$18 - \frac{2}{3} \cdot 2^{3}$

Passaggio 4.2.11

Eleva $2$ alla potenza di $3$ .

$18 - \frac{2}{3} \cdot 8$

Passaggio 4.2.12

Moltiplica $8$ per $- 1$ .

$18 - 8 (\frac{2}{3})$

Passaggio 4.2.13

$- 8$ e $\frac{2}{3}$ .

$18 + \frac{- 8 \cdot 2}{3}$

Passaggio 4.2.14

Moltiplica $- 8$ per $2$ .

$18 + \frac{- 16}{3}$

Passaggio 4.2.15

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$18 - \frac{16}{3}$

Passaggio 4.2.16

Per scrivere $18$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{3}{3}$ .

$18 \cdot \frac{3}{3} - \frac{16}{3}$

Passaggio 4.2.17

$18$ e $\frac{3}{3}$ .

$\frac{18 \cdot 3}{3} - \frac{16}{3}$

Passaggio 4.2.18

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{18 \cdot 3 - 16}{3}$

Passaggio 4.2.19

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 4.2.19.1

Moltiplica $18$ per $3$ .

$\frac{54 - 16}{3}$

Passaggio 4.2.19.2

Sottrai $16$ da $54$ .

$\frac{38}{3}$

Passaggio 5

Il risultato può essere mostrato in più forme.

Forma esatta:

$\frac{38}{3}$

Forma decimale:

$12.\overline{6}$

Forma numero misto:

$12 \frac{2}{3}$

Passaggio 6