Calcolo Esempi

$f (x) = \frac{x}{\sqrt{2 x - 1}}$

Passaggio 1

Trova la derivata.

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Passaggio 1.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{2 x - 1}$ come ${(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{x}{{(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}}}]$

Passaggio 1.2

Differenzia usando la regola del quoziente, che indica che $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ è $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ dove $f (x) = x$ e $g (x) = {(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{{(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [{(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}}]}{{({(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Passaggio 1.3

Moltiplica gli esponenti in ${({(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Passaggio 1.3.1

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{{(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [{(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}}]}{{(2 x - 1)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Passaggio 1.3.2

Elimina il fattore comune di $2$ .

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Passaggio 1.3.2.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{{(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [{(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}}]}{{(2 x - 1)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Passaggio 1.3.2.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{{(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [{(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}}]}{{(2 x - 1)}^{1}}$

Passaggio 1.4

Semplifica.

$\frac{{(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [{(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}}]}{2 x - 1}$

Passaggio 1.5

Differenzia usando la regola di potenza.

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Passaggio 1.5.1

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\frac{{(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}} \cdot 1 - x \frac{d}{d x} [{(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}}]}{2 x - 1}$

Passaggio 1.5.2

Moltiplica ${(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}}$ per $1$ .

$\frac{{(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}} - x \frac{d}{d x} [{(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}}]}{2 x - 1}$

Passaggio 1.6

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ e $g (x) = 2 x - 1$ .

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Passaggio 1.6.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $2 x - 1$ .

$\frac{{(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}} - x (\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [2 x - 1])}{2 x - 1}$

Passaggio 1.6.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ è $n u^{n - 1}$ dove $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{{(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}} - x (\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [2 x - 1])}{2 x - 1}$

Passaggio 1.6.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $2 x - 1$ .

$\frac{{(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}} - x (\frac{1}{2} {(2 x - 1)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [2 x - 1])}{2 x - 1}$

Passaggio 1.7

Per scrivere $- 1$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$\frac{{(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}} - x (\frac{1}{2} {(2 x - 1)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [2 x - 1])}{2 x - 1}$

Passaggio 1.8

$- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$\frac{{(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}} - x (\frac{1}{2} {(2 x - 1)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [2 x - 1])}{2 x - 1}$

Passaggio 1.9

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{{(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}} - x (\frac{1}{2} {(2 x - 1)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [2 x - 1])}{2 x - 1}$

Passaggio 1.10

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 1.10.1

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$\frac{{(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}} - x (\frac{1}{2} {(2 x - 1)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [2 x - 1])}{2 x - 1}$

Passaggio 1.10.2

Sottrai $2$ da $1$ .

$\frac{{(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}} - x (\frac{1}{2} {(2 x - 1)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [2 x - 1])}{2 x - 1}$

Passaggio 1.11

Riduci le frazioni.

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Passaggio 1.11.1

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$\frac{{(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}} - x (\frac{1}{2} {(2 x - 1)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [2 x - 1])}{2 x - 1}$

Passaggio 1.11.2

$\frac{1}{2}$ e ${(2 x - 1)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{{(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}} - x (\frac{{(2 x - 1)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [2 x - 1])}{2 x - 1}$

Passaggio 1.11.3

Sposta ${(2 x - 1)}^{- \frac{1}{2}}$ al denominatore usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{{(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}} - x (\frac{1}{2 {(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [2 x - 1])}{2 x - 1}$

Passaggio 1.11.4

$\frac{1}{2 {(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}}}$ e $x$ .

$\frac{{(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}} - \frac{x}{2 {(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [2 x - 1]}{2 x - 1}$

Passaggio 1.12

Secondo la regola della somma, la derivata di $2 x - 1$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{{(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}} - \frac{x}{2 {(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 1])}{2 x - 1}$

Passaggio 1.13

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $2 x$ rispetto a $x$ è $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{{(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}} - \frac{x}{2 {(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}}} (2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1])}{2 x - 1}$

Passaggio 1.14

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\frac{{(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}} - \frac{x}{2 {(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}}} (2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 1])}{2 x - 1}$

Passaggio 1.15

Moltiplica $2$ per $1$ .

$\frac{{(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}} - \frac{x}{2 {(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}}} (2 + \frac{d}{d x} [- 1])}{2 x - 1}$

Passaggio 1.16

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$\frac{{(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}} - \frac{x}{2 {(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}}} (2 + 0)}{2 x - 1}$

Passaggio 1.17

Semplifica i termini.

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Passaggio 1.17.1

Somma $2$ e $0$ .

$\frac{{(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}} - \frac{x}{2 {(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}}} \cdot 2}{2 x - 1}$

Passaggio 1.17.2

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$\frac{{(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}} - 2 \frac{x}{2 {(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}}}}{2 x - 1}$

Passaggio 1.17.3

$- 2$ e $\frac{x}{2 {(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{{(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}} + \frac{- 2 x}{2 {(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}}}}{2 x - 1}$

Passaggio 1.17.4

Scomponi $2$ da $- 2 x$ .

$\frac{{(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}} + \frac{2 (- x)}{2 {(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}}}}{2 x - 1}$

Passaggio 1.18

Elimina i fattori comuni.

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Passaggio 1.18.1

Scomponi $2$ da $2 {(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{{(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}} + \frac{2 (- x)}{2 ({(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}})}}{2 x - 1}$

Passaggio 1.18.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{{(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}} + \frac{2 (- x)}{2 {(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}}}}{2 x - 1}$

Passaggio 1.18.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{{(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}} + \frac{- x}{{(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}}}}{2 x - 1}$

Passaggio 1.19

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$\frac{{(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}} - \frac{x}{{(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}}}}{2 x - 1}$

Passaggio 1.20

Per scrivere ${(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{{(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}}}{{(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{\frac{{(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}} {(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}}}{{(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}}} - \frac{x}{{(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}}}}{2 x - 1}$

Passaggio 1.21

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{\frac{{(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}} {(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}} - x}{{(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}}}}{2 x - 1}$

Passaggio 1.22

Moltiplica ${(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}}$ per ${(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}}$ sommando gli esponenti.

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Passaggio 1.22.1

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{\frac{{(2 x - 1)}^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}} - x}{{(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}}}}{2 x - 1}$

Passaggio 1.22.2

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{\frac{{(2 x - 1)}^{\frac{1 + 1}{2}} - x}{{(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}}}}{2 x - 1}$

Passaggio 1.22.3

Somma $1$ e $1$ .

$\frac{\frac{{(2 x - 1)}^{\frac{2}{2}} - x}{{(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}}}}{2 x - 1}$

Passaggio 1.22.4

Dividi $2$ per $2$ .

$\frac{\frac{{(2 x - 1)}^{1} - x}{{(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}}}}{2 x - 1}$

Passaggio 1.23

Semplifica ${(2 x - 1)}^{1}$ .

$\frac{\frac{2 x - 1 - x}{{(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}}}}{2 x - 1}$

Passaggio 1.24

Sottrai $x$ da $2 x$ .

$\frac{\frac{x - 1}{{(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}}}}{2 x - 1}$

Passaggio 1.25

Riscrivi $\frac{\frac{x - 1}{{(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}}}}{2 x - 1}$ come un prodotto.

$\frac{x - 1}{{(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{1}{2 x - 1}$

Passaggio 1.26

Moltiplica $\frac{x - 1}{{(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}}}$ per $\frac{1}{2 x - 1}$ .

$\frac{x - 1}{{(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}} (2 x - 1)}$

Passaggio 1.27

Moltiplica ${(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}}$ per $2 x - 1$ sommando gli esponenti.

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Passaggio 1.27.1

Moltiplica ${(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}}$ per $2 x - 1$ .

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Passaggio 1.27.1.1

Eleva $2 x - 1$ alla potenza di $1$ .

$\frac{x - 1}{{(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}} {(2 x - 1)}^{1}}$

Passaggio 1.27.1.2

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{x - 1}{{(2 x - 1)}^{\frac{1}{2} + 1}}$

Passaggio 1.27.2

Scrivi $1$ come una frazione con un comune denominatore.

$\frac{x - 1}{{(2 x - 1)}^{\frac{1}{2} + \frac{2}{2}}}$

Passaggio 1.27.3

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{x - 1}{{(2 x - 1)}^{\frac{1 + 2}{2}}}$

Passaggio 1.27.4

Somma $1$ e $2$ .

$\frac{x - 1}{{(2 x - 1)}^{\frac{3}{2}}}$

Passaggio 2

Imposta la derivata uguale a $0$ quindi risolvi l'equazione $\frac{x - 1}{{(2 x - 1)}^{\frac{3}{2}}} = 0$ .

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Passaggio 2.1

Poni il numeratore uguale a zero.

$x - 1 = 0$

Passaggio 2.2

Somma $1$ a entrambi i lati dell'equazione.

$x = 1$

Passaggio 3

Risolvi la funzione originale $f (x) = \frac{x}{\sqrt{2 x - 1}}$ con $x = 1$ .

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Passaggio 3.1

Sostituisci la variabile $x$ con $1$ nell'espressione.

$f (1) = \frac{1}{\sqrt{2 (1) - 1}}$

Passaggio 3.2

Semplifica il risultato.

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Passaggio 3.2.1

Semplifica il denominatore.

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Passaggio 3.2.1.1

Moltiplica $2$ per $1$ .

$f (1) = \frac{1}{\sqrt{2 - 1}}$

Passaggio 3.2.1.2

Sottrai $1$ da $2$ .

$f (1) = \frac{1}{\sqrt{1}}$

Passaggio 3.2.1.3

Qualsiasi radice di $1$ è $1$ .

$f (1) = \frac{1}{1}$

Passaggio 3.2.2

Dividi $1$ per $1$ .

$f (1) = 1$

Passaggio 3.2.3

La risposta finale è $1$ .

$1$

Passaggio 4

La linea tangente orizzontale sulla funzione $f (x) = \frac{x}{\sqrt{2 x - 1}}$ è $y = 1$ .

$y = 1$

Passaggio 5