Calcolo Esempi

$f (x) = \frac{x}{x^{2} + 1}$

Passaggio 1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1

Differenzia usando la regola del quoziente, che indica che $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ è $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ dove $f (x) = x$ e $g (x) = x^{2} + 1$ .

$f' (x) = \frac{(x^{2} + 1) \frac{d}{d x} (x) - x \frac{d}{d x} (x^{2} + 1)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Passaggio 1.1.2

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.1

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$f' (x) = \frac{(x^{2} + 1) \cdot 1 - x \frac{d}{d x} (x^{2} + 1)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Passaggio 1.1.2.2

Moltiplica $x^{2} + 1$ per $1$ .

$f' (x) = \frac{x^{2} + 1 - x \frac{d}{d x} (x^{2} + 1)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Passaggio 1.1.2.3

Secondo la regola della somma, la derivata di $x^{2} + 1$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$f' (x) = \frac{x^{2} + 1 - x (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (1))}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Passaggio 1.1.2.4

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$f' (x) = \frac{x^{2} + 1 - x (2 x + \frac{d}{d x} (1))}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Passaggio 1.1.2.5

Poiché $1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$f' (x) = \frac{x^{2} + 1 - x (2 x + 0)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Passaggio 1.1.2.6

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.6.1

Somma $2 x$ e $0$ .

$f' (x) = \frac{x^{2} + 1 - x (2 x)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Passaggio 1.1.2.6.2

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$f' (x) = \frac{x^{2} + 1 - 2 x \cdot x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Passaggio 1.1.3

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$f' (x) = \frac{x^{2} + 1 - 2 (x \cdot x)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Passaggio 1.1.4

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$f' (x) = \frac{x^{2} + 1 - 2 (x \cdot x)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Passaggio 1.1.5

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$f' (x) = \frac{x^{2} + 1 - 2 x^{1 + 1}}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Passaggio 1.1.6

Somma $1$ e $1$ .

$f' (x) = \frac{x^{2} + 1 - 2 x^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Passaggio 1.1.7

Sottrai $2 x^{2}$ da $x^{2}$ .

$f' (x) = \frac{- x^{2} + 1}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Passaggio 1.2

La derivata prima di $f (x)$ rispetto a $x$ è $\frac{- x^{2} + 1}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$ .

$\frac{- x^{2} + 1}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Passaggio 2

Poni la derivata prima uguale a $0$ quindi risolvi l'equazione $\frac{- x^{2} + 1}{{(x^{2} + 1)}^{2}} = 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Poni la derivata prima uguale a $0$ .

$\frac{- x^{2} + 1}{{(x^{2} + 1)}^{2}} = 0$

Passaggio 2.2

Poni il numeratore uguale a zero.

$- x^{2} + 1 = 0$

Passaggio 2.3

Risolvi l'equazione per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Sottrai $1$ da entrambi i lati dell'equazione.

$- x^{2} = - 1$

Passaggio 2.3.2

Dividi per $- 1$ ciascun termine in $- x^{2} = - 1$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.2.1

Dividi per $- 1$ ciascun termine in $- x^{2} = - 1$ .

$\frac{- x^{2}}{- 1} = \frac{- 1}{- 1}$

Passaggio 2.3.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.2.2.1

Dividendo due valori negativi si ottiene un valore positivo.

$\frac{x^{2}}{1} = \frac{- 1}{- 1}$

Passaggio 2.3.2.2.2

Dividi $x^{2}$ per $1$ .

$x^{2} = \frac{- 1}{- 1}$

Passaggio 2.3.2.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.2.3.1

Dividi $- 1$ per $- 1$ .

$x^{2} = 1$

Passaggio 2.3.3

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{1}$

Passaggio 2.3.4

Qualsiasi radice di $1$ è $1$ .

$x = \pm 1$

Passaggio 2.3.5

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.5.1

Per prima cosa, utilizza il valore positivo di $\pm$ per trovare la prima soluzione.

$x = 1$

Passaggio 2.3.5.2

Ora, utilizza il valore negativo del $\pm$ per trovare la seconda soluzione.

$x = - 1$

Passaggio 2.3.5.3

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

$x = 1, - 1$

Passaggio 3

I valori che rendono la derivata uguale a $0$ sono $1, - 1$ .

$1, - 1$

Passaggio 4

Dividi $(- \infty, \infty)$ in intervalli separati intorno ai valori $x$ che rendono la derivata $0$ o indefinita.

$(- \infty, - 1) \cup (- 1, 1) \cup (1, \infty)$

Passaggio 5

Sostituisci un valore dell'intervallo $(- \infty, - 1)$ nella derivata per determinare se la funzione è crescente o decrescente.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Sostituisci la variabile $x$ con $- 2$ nell'espressione.

$f' (- 2) = \frac{- {(- 2)}^{2} + 1}{{({(- 2)}^{2} + 1)}^{2}}$

Passaggio 5.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1.1

Eleva $- 2$ alla potenza di $2$ .

$f' (- 2) = \frac{- 1 \cdot 4 + 1}{{({(- 2)}^{2} + 1)}^{2}}$

Passaggio 5.2.1.2

Moltiplica $- 1$ per $4$ .

$f' (- 2) = \frac{- 4 + 1}{{({(- 2)}^{2} + 1)}^{2}}$

Passaggio 5.2.1.3

Somma $- 4$ e $1$ .

$f' (- 2) = \frac{- 3}{{({(- 2)}^{2} + 1)}^{2}}$

Passaggio 5.2.2

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.2.1

Eleva $- 2$ alla potenza di $2$ .

$f' (- 2) = \frac{- 3}{{(4 + 1)}^{2}}$

Passaggio 5.2.2.2

Somma $4$ e $1$ .

$f' (- 2) = \frac{- 3}{5^{2}}$

Passaggio 5.2.2.3

Eleva $5$ alla potenza di $2$ .

$f' (- 2) = \frac{- 3}{25}$

Passaggio 5.2.3

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$f' (- 2) = - \frac{3}{25}$

Passaggio 5.2.4

La risposta finale è $- \frac{3}{25}$ .

$- \frac{3}{25}$

Passaggio 5.3

In corrispondenza di $x = - 2$ la derivata è $- \frac{3}{25}$ . Poiché il valore è negativo, la funzione è decrescente su $(- \infty, - 1)$ .

Decrescente su $(- \infty, - 1)$ perché $f' (x) < 0$

Passaggio 6

Sostituisci un valore dell'intervallo $(- 1, 1)$ nella derivata per determinare se la funzione è crescente o decrescente.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Sostituisci la variabile $x$ con $0$ nell'espressione.

$f' (0) = \frac{- {(0)}^{2} + 1}{{({(0)}^{2} + 1)}^{2}}$

Passaggio 6.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1.1

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$f' (0) = \frac{- 0 + 1}{{(0^{2} + 1)}^{2}}$

Passaggio 6.2.1.2

Moltiplica $- 1$ per $0$ .

$f' (0) = \frac{0 + 1}{{(0^{2} + 1)}^{2}}$

Passaggio 6.2.1.3

Somma $0$ e $1$ .

$f' (0) = \frac{1}{{(0^{2} + 1)}^{2}}$

Passaggio 6.2.2

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.2.1

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$f' (0) = \frac{1}{{(0 + 1)}^{2}}$

Passaggio 6.2.2.2

Somma $0$ e $1$ .

$f' (0) = \frac{1}{1^{2}}$

Passaggio 6.2.2.3

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$f' (0) = \frac{1}{1}$

Passaggio 6.2.3

Dividi $1$ per $1$ .

$f' (0) = 1$

Passaggio 6.2.4

La risposta finale è $1$ .

$1$

Passaggio 6.3

In corrispondenza di $x = 0$ la derivata è $1$ . Poiché il valore è positivo, la funzione è crescente su $(- 1, 1)$ .

Crescente su $(- 1, 1)$ perché $f' (x) > 0$

Passaggio 7

Sostituisci un valore dell'intervallo $(1, \infty)$ nella derivata per determinare se la funzione è crescente o decrescente.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1

Sostituisci la variabile $x$ con $2$ nell'espressione.

$f' (2) = \frac{- {(2)}^{2} + 1}{{({(2)}^{2} + 1)}^{2}}$

Passaggio 7.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.1

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.1.1

Eleva $2$ alla potenza di $2$ .

$f' (2) = \frac{- 1 \cdot 4 + 1}{{(2^{2} + 1)}^{2}}$

Passaggio 7.2.1.2

Moltiplica $- 1$ per $4$ .

$f' (2) = \frac{- 4 + 1}{{(2^{2} + 1)}^{2}}$

Passaggio 7.2.1.3

Somma $- 4$ e $1$ .

$f' (2) = \frac{- 3}{{(2^{2} + 1)}^{2}}$

Passaggio 7.2.2

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.2.1

Eleva $2$ alla potenza di $2$ .

$f' (2) = \frac{- 3}{{(4 + 1)}^{2}}$

Passaggio 7.2.2.2

Somma $4$ e $1$ .

$f' (2) = \frac{- 3}{5^{2}}$

Passaggio 7.2.2.3

Eleva $5$ alla potenza di $2$ .

$f' (2) = \frac{- 3}{25}$

Passaggio 7.2.3

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$f' (2) = - \frac{3}{25}$

Passaggio 7.2.4

La risposta finale è $- \frac{3}{25}$ .

$- \frac{3}{25}$

Passaggio 7.3

In corrispondenza di $x = 2$ la derivata è $- \frac{3}{25}$ . Poiché il valore è negativo, la funzione è decrescente su $(1, \infty)$ .

Decrescente su $(1, \infty)$ perché $f' (x) < 0$

Passaggio 8

Elenca gli intervalli in cui la funzione è crescente e decrescente.

Crescente su: $(- 1, 1)$

Decrescente su: $(- \infty, - 1), (1, \infty)$

Passaggio 9