Calcolo Esempi

$f (x) = \frac{2 x^{2} + 3}{4 x^{2} + 5}$

Passaggio 1

Trova la derivata prima della funzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Differenzia usando la regola del quoziente secondo cui $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ è $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ dove $f (x) = 2 x^{2} + 3$ e $g (x) = 4 x^{2} + 5$ .

$\frac{(4 x^{2} + 5) \frac{d}{d x} [2 x^{2} + 3] - (2 x^{2} + 3) \frac{d}{d x} [4 x^{2} + 5]}{{(4 x^{2} + 5)}^{2}}$

Passaggio 1.2

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $2 x^{2} + 3$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [3]$ .

$\frac{(4 x^{2} + 5) (\frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [3]) - (2 x^{2} + 3) \frac{d}{d x} [4 x^{2} + 5]}{{(4 x^{2} + 5)}^{2}}$

Passaggio 1.2.2

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $2 x^{2}$ rispetto a $x$ è $2 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{(4 x^{2} + 5) (2 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [3]) - (2 x^{2} + 3) \frac{d}{d x} [4 x^{2} + 5]}{{(4 x^{2} + 5)}^{2}}$

Passaggio 1.2.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$\frac{(4 x^{2} + 5) (2 (2 x) + \frac{d}{d x} [3]) - (2 x^{2} + 3) \frac{d}{d x} [4 x^{2} + 5]}{{(4 x^{2} + 5)}^{2}}$

Passaggio 1.2.4

Moltiplica $2$ per $2$ .

$\frac{(4 x^{2} + 5) (4 x + \frac{d}{d x} [3]) - (2 x^{2} + 3) \frac{d}{d x} [4 x^{2} + 5]}{{(4 x^{2} + 5)}^{2}}$

Passaggio 1.2.5

Poiché $3$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $3$ rispetto a $x$ è $0$ .

$\frac{(4 x^{2} + 5) (4 x + 0) - (2 x^{2} + 3) \frac{d}{d x} [4 x^{2} + 5]}{{(4 x^{2} + 5)}^{2}}$

Passaggio 1.2.6

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.6.1

Somma $4 x$ e $0$ .

$\frac{(4 x^{2} + 5) (4 x) - (2 x^{2} + 3) \frac{d}{d x} [4 x^{2} + 5]}{{(4 x^{2} + 5)}^{2}}$

Passaggio 1.2.6.2

Sposta $4$ alla sinistra di $4 x^{2} + 5$ .

$\frac{4 \cdot (4 x^{2} + 5) x - (2 x^{2} + 3) \frac{d}{d x} [4 x^{2} + 5]}{{(4 x^{2} + 5)}^{2}}$

Passaggio 1.2.7

Secondo la regola della somma, la derivata di $4 x^{2} + 5$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [5]$ .

$\frac{4 (4 x^{2} + 5) x - (2 x^{2} + 3) (\frac{d}{d x} [4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [5])}{{(4 x^{2} + 5)}^{2}}$

Passaggio 1.2.8

Poiché $4$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $4 x^{2}$ rispetto a $x$ è $4 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{4 (4 x^{2} + 5) x - (2 x^{2} + 3) (4 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [5])}{{(4 x^{2} + 5)}^{2}}$

Passaggio 1.2.9

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$\frac{4 (4 x^{2} + 5) x - (2 x^{2} + 3) (4 (2 x) + \frac{d}{d x} [5])}{{(4 x^{2} + 5)}^{2}}$

Passaggio 1.2.10

Moltiplica $2$ per $4$ .

$\frac{4 (4 x^{2} + 5) x - (2 x^{2} + 3) (8 x + \frac{d}{d x} [5])}{{(4 x^{2} + 5)}^{2}}$

Passaggio 1.2.11

Poiché $5$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $5$ rispetto a $x$ è $0$ .

$\frac{4 (4 x^{2} + 5) x - (2 x^{2} + 3) (8 x + 0)}{{(4 x^{2} + 5)}^{2}}$

Passaggio 1.2.12

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.12.1

Somma $8 x$ e $0$ .

$\frac{4 (4 x^{2} + 5) x - (2 x^{2} + 3) (8 x)}{{(4 x^{2} + 5)}^{2}}$

Passaggio 1.2.12.2

Moltiplica $8$ per $- 1$ .

$\frac{4 (4 x^{2} + 5) x - 8 (2 x^{2} + 3) x}{{(4 x^{2} + 5)}^{2}}$

Passaggio 1.3

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{(4 (4 x^{2}) + 4 \cdot 5) x - 8 (2 x^{2} + 3) x}{{(4 x^{2} + 5)}^{2}}$

Passaggio 1.3.2

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{4 (4 x^{2}) x + 4 \cdot 5 x - 8 (2 x^{2} + 3) x}{{(4 x^{2} + 5)}^{2}}$

Passaggio 1.3.3

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{4 (4 x^{2}) x + 4 \cdot 5 x + (- 8 (2 x^{2}) - 8 \cdot 3) x}{{(4 x^{2} + 5)}^{2}}$

Passaggio 1.3.4

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{4 (4 x^{2}) x + 4 \cdot 5 x - 8 (2 x^{2}) x - 8 \cdot 3 x}{{(4 x^{2} + 5)}^{2}}$

Passaggio 1.3.5

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.5.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.5.1.1

Moltiplica $x^{2}$ per $x$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.5.1.1.1

Sposta $x$ .

$\frac{4 (4 (x \cdot x^{2})) + 4 \cdot 5 x - 8 (2 x^{2}) x - 8 \cdot 3 x}{{(4 x^{2} + 5)}^{2}}$

Passaggio 1.3.5.1.1.2

Moltiplica $x$ per $x^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.5.1.1.2.1

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$\frac{4 (4 (x^{1} x^{2})) + 4 \cdot 5 x - 8 (2 x^{2}) x - 8 \cdot 3 x}{{(4 x^{2} + 5)}^{2}}$

Passaggio 1.3.5.1.1.2.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{4 (4 x^{1 + 2}) + 4 \cdot 5 x - 8 (2 x^{2}) x - 8 \cdot 3 x}{{(4 x^{2} + 5)}^{2}}$

Passaggio 1.3.5.1.1.3

Somma $1$ e $2$ .

$\frac{4 (4 x^{3}) + 4 \cdot 5 x - 8 (2 x^{2}) x - 8 \cdot 3 x}{{(4 x^{2} + 5)}^{2}}$

Passaggio 1.3.5.1.2

Moltiplica $4$ per $4$ .

$\frac{16 x^{3} + 4 \cdot 5 x - 8 (2 x^{2}) x - 8 \cdot 3 x}{{(4 x^{2} + 5)}^{2}}$

Passaggio 1.3.5.1.3

Moltiplica $4$ per $5$ .

$\frac{16 x^{3} + 20 x - 8 (2 x^{2}) x - 8 \cdot 3 x}{{(4 x^{2} + 5)}^{2}}$

Passaggio 1.3.5.1.4

Moltiplica $x^{2}$ per $x$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.5.1.4.1

Sposta $x$ .

$\frac{16 x^{3} + 20 x - 8 (2 (x \cdot x^{2})) - 8 \cdot 3 x}{{(4 x^{2} + 5)}^{2}}$

Passaggio 1.3.5.1.4.2

Moltiplica $x$ per $x^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.5.1.4.2.1

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$\frac{16 x^{3} + 20 x - 8 (2 (x^{1} x^{2})) - 8 \cdot 3 x}{{(4 x^{2} + 5)}^{2}}$

Passaggio 1.3.5.1.4.2.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{16 x^{3} + 20 x - 8 (2 x^{1 + 2}) - 8 \cdot 3 x}{{(4 x^{2} + 5)}^{2}}$

Passaggio 1.3.5.1.4.3

Somma $1$ e $2$ .

$\frac{16 x^{3} + 20 x - 8 (2 x^{3}) - 8 \cdot 3 x}{{(4 x^{2} + 5)}^{2}}$

Passaggio 1.3.5.1.5

Moltiplica $2$ per $- 8$ .

$\frac{16 x^{3} + 20 x - 16 x^{3} - 8 \cdot 3 x}{{(4 x^{2} + 5)}^{2}}$

Passaggio 1.3.5.1.6

Moltiplica $- 8$ per $3$ .

$\frac{16 x^{3} + 20 x - 16 x^{3} - 24 x}{{(4 x^{2} + 5)}^{2}}$

Passaggio 1.3.5.2

Combina i termini opposti in $16 x^{3} + 20 x - 16 x^{3} - 24 x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.5.2.1

Sottrai $16 x^{3}$ da $16 x^{3}$ .

$\frac{20 x + 0 - 24 x}{{(4 x^{2} + 5)}^{2}}$

Passaggio 1.3.5.2.2

Somma $20 x$ e $0$ .

$\frac{20 x - 24 x}{{(4 x^{2} + 5)}^{2}}$

Passaggio 1.3.5.3

Sottrai $24 x$ da $20 x$ .

$\frac{- 4 x}{{(4 x^{2} + 5)}^{2}}$

Passaggio 1.3.6

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$- \frac{4 x}{{(4 x^{2} + 5)}^{2}}$

Passaggio 2

Trova la derivata seconda della funzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Poiché $- 4$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- \frac{4 x}{{(4 x^{2} + 5)}^{2}}$ rispetto a $x$ è $- 4 \frac{d}{d x} [\frac{x}{{(4 x^{2} + 5)}^{2}}]$ .

$f'' (x) = - 4 \frac{d}{d x} \frac{x}{{(4 x^{2} + 5)}^{2}}$

Passaggio 2.2

$f'' (x) = - 4 \frac{{(4 x^{2} + 5)}^{2} \frac{d}{d x} (x) - x \frac{d}{d x} {(4 x^{2} + 5)}^{2}}{{({(4 x^{2} + 5)}^{2})}^{2}}$

Passaggio 2.3

Differenzia usando la regola della potenza.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Moltiplica gli esponenti in ${({(4 x^{2} + 5)}^{2})}^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = - 4 \frac{{(4 x^{2} + 5)}^{2} \frac{d}{d x} (x) - x \frac{d}{d x} {(4 x^{2} + 5)}^{2}}{{(4 x^{2} + 5)}^{2 \cdot 2}}$

Passaggio 2.3.1.2

Moltiplica $2$ per $2$ .

$f'' (x) = - 4 \frac{{(4 x^{2} + 5)}^{2} \frac{d}{d x} (x) - x \frac{d}{d x} {(4 x^{2} + 5)}^{2}}{{(4 x^{2} + 5)}^{4}}$

Passaggio 2.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$f'' (x) = - 4 \frac{{(4 x^{2} + 5)}^{2} \cdot 1 - x \frac{d}{d x} {(4 x^{2} + 5)}^{2}}{{(4 x^{2} + 5)}^{4}}$

Passaggio 2.3.3

Moltiplica ${(4 x^{2} + 5)}^{2}$ per $1$ .

$f'' (x) = - 4 \frac{{(4 x^{2} + 5)}^{2} - x \frac{d}{d x} {(4 x^{2} + 5)}^{2}}{{(4 x^{2} + 5)}^{4}}$

Passaggio 2.4

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = 4 x^{2} + 5$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $4 x^{2} + 5$ .

$f'' (x) = - 4 \frac{{(4 x^{2} + 5)}^{2} - x (\frac{d}{d u} (u^{2}) \frac{d}{d x} (4 x^{2} + 5))}{{(4 x^{2} + 5)}^{4}}$

Passaggio 2.4.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ è $n u^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$f'' (x) = - 4 \frac{{(4 x^{2} + 5)}^{2} - x (2 u \frac{d}{d x} (4 x^{2} + 5))}{{(4 x^{2} + 5)}^{4}}$

Passaggio 2.4.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $4 x^{2} + 5$ .

$f'' (x) = - 4 \frac{{(4 x^{2} + 5)}^{2} - x (2 (4 x^{2} + 5) \frac{d}{d x} (4 x^{2} + 5))}{{(4 x^{2} + 5)}^{4}}$

Passaggio 2.5

Semplifica tramite esclusione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.1

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$f'' (x) = - 4 \frac{{(4 x^{2} + 5)}^{2} - 2 x ((4 x^{2} + 5) \frac{d}{d x} (4 x^{2} + 5))}{{(4 x^{2} + 5)}^{4}}$

Passaggio 2.5.2

Scomponi $4 x^{2} + 5$ da ${(4 x^{2} + 5)}^{2} - 2 x ((4 x^{2} + 5) \frac{d}{d x} [4 x^{2} + 5])$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.2.1

Scomponi $4 x^{2} + 5$ da ${(4 x^{2} + 5)}^{2}$ .

$f'' (x) = - 4 \frac{(4 x^{2} + 5) (4 x^{2} + 5) - 2 x ((4 x^{2} + 5) \frac{d}{d x} (4 x^{2} + 5))}{{(4 x^{2} + 5)}^{4}}$

Passaggio 2.5.2.2

Scomponi $4 x^{2} + 5$ da $- 2 x ((4 x^{2} + 5) \frac{d}{d x} [4 x^{2} + 5])$ .

$f'' (x) = - 4 \frac{(4 x^{2} + 5) (4 x^{2} + 5) + (4 x^{2} + 5) (- 2 x (\frac{d}{d x} (4 x^{2} + 5)))}{{(4 x^{2} + 5)}^{4}}$

Passaggio 2.5.2.3

Scomponi $4 x^{2} + 5$ da $(4 x^{2} + 5) (4 x^{2} + 5) + (4 x^{2} + 5) (- 2 x (\frac{d}{d x} [4 x^{2} + 5]))$ .

$f'' (x) = - 4 \frac{(4 x^{2} + 5) (4 x^{2} + 5 - 2 x (\frac{d}{d x} (4 x^{2} + 5)))}{{(4 x^{2} + 5)}^{4}}$

Passaggio 2.6

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.6.1

Scomponi $4 x^{2} + 5$ da ${(4 x^{2} + 5)}^{4}$ .

$f'' (x) = - 4 \frac{(4 x^{2} + 5) (4 x^{2} + 5 - 2 x (\frac{d}{d x} (4 x^{2} + 5)))}{(4 x^{2} + 5) {(4 x^{2} + 5)}^{3}}$

Passaggio 2.6.2

Elimina il fattore comune.

$f'' (x) = - 4 \frac{(4 x^{2} + 5) (4 x^{2} + 5 - 2 x (\frac{d}{d x} (4 x^{2} + 5)))}{(4 x^{2} + 5) {(4 x^{2} + 5)}^{3}}$

Passaggio 2.6.3

Riscrivi l'espressione.

$f'' (x) = - 4 \frac{4 x^{2} + 5 - 2 x (\frac{d}{d x} (4 x^{2} + 5))}{{(4 x^{2} + 5)}^{3}}$

Passaggio 2.7

Secondo la regola della somma, la derivata di $4 x^{2} + 5$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [5]$ .

$f'' (x) = - 4 \frac{4 x^{2} + 5 - 2 x (\frac{d}{d x} (4 x^{2}) + \frac{d}{d x} (5))}{{(4 x^{2} + 5)}^{3}}$

Passaggio 2.8

Poiché $4$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $4 x^{2}$ rispetto a $x$ è $4 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f'' (x) = - 4 \frac{4 x^{2} + 5 - 2 x (4 \frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (5))}{{(4 x^{2} + 5)}^{3}}$

Passaggio 2.9

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$f'' (x) = - 4 \frac{4 x^{2} + 5 - 2 x (4 (2 x) + \frac{d}{d x} (5))}{{(4 x^{2} + 5)}^{3}}$

Passaggio 2.10

Moltiplica $2$ per $4$ .

$f'' (x) = - 4 \frac{4 x^{2} + 5 - 2 x (8 x + \frac{d}{d x} (5))}{{(4 x^{2} + 5)}^{3}}$

Passaggio 2.11

Poiché $5$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $5$ rispetto a $x$ è $0$ .

$f'' (x) = - 4 \frac{4 x^{2} + 5 - 2 x (8 x + 0)}{{(4 x^{2} + 5)}^{3}}$

Passaggio 2.12

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.12.1

Somma $8 x$ e $0$ .

$f'' (x) = - 4 \frac{4 x^{2} + 5 - 2 x (8 x)}{{(4 x^{2} + 5)}^{3}}$

Passaggio 2.12.2

Moltiplica $8$ per $- 2$ .

$f'' (x) = - 4 \frac{4 x^{2} + 5 - 16 x \cdot x}{{(4 x^{2} + 5)}^{3}}$

Passaggio 2.13

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$f'' (x) = - 4 \frac{4 x^{2} + 5 - 16 (x \cdot x)}{{(4 x^{2} + 5)}^{3}}$

Passaggio 2.14

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$f'' (x) = - 4 \frac{4 x^{2} + 5 - 16 (x \cdot x)}{{(4 x^{2} + 5)}^{3}}$

Passaggio 2.15

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$f'' (x) = - 4 \frac{4 x^{2} + 5 - 16 x^{1 + 1}}{{(4 x^{2} + 5)}^{3}}$

Passaggio 2.16

Somma $1$ e $1$ .

$f'' (x) = - 4 \frac{4 x^{2} + 5 - 16 x^{2}}{{(4 x^{2} + 5)}^{3}}$

Passaggio 2.17

Sottrai $16 x^{2}$ da $4 x^{2}$ .

$f'' (x) = - 4 \frac{- 12 x^{2} + 5}{{(4 x^{2} + 5)}^{3}}$

Passaggio 2.18

$- 4$ e $\frac{- 12 x^{2} + 5}{{(4 x^{2} + 5)}^{3}}$ .

$f'' (x) = \frac{- 4 (- 12 x^{2} + 5)}{{(4 x^{2} + 5)}^{3}}$

Passaggio 2.19

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$f'' (x) = - \frac{4 (- 12 x^{2} + 5)}{{(4 x^{2} + 5)}^{3}}$

Passaggio 2.20

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.20.1

Applica la proprietà distributiva.

$f'' (x) = - \frac{4 (- 12 x^{2}) + 4 \cdot 5}{{(4 x^{2} + 5)}^{3}}$

Passaggio 2.20.2

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.20.2.1

Moltiplica $- 12$ per $4$ .

$f'' (x) = - \frac{- 48 x^{2} + 4 \cdot 5}{{(4 x^{2} + 5)}^{3}}$

Passaggio 2.20.2.2

Moltiplica $4$ per $5$ .

$f'' (x) = - \frac{- 48 x^{2} + 20}{{(4 x^{2} + 5)}^{3}}$

Passaggio 2.20.3

Scomponi $4$ da $- 48 x^{2} + 20$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.20.3.1

Scomponi $4$ da $- 48 x^{2}$ .

$f'' (x) = - \frac{4 (- 12 x^{2}) + 20}{{(4 x^{2} + 5)}^{3}}$

Passaggio 2.20.3.2

Scomponi $4$ da $20$ .

$f'' (x) = - \frac{4 (- 12 x^{2}) + 4 (5)}{{(4 x^{2} + 5)}^{3}}$

Passaggio 2.20.3.3

Scomponi $4$ da $4 (- 12 x^{2}) + 4 (5)$ .

$f'' (x) = - \frac{4 (- 12 x^{2} + 5)}{{(4 x^{2} + 5)}^{3}}$

Passaggio 2.20.4

Scomponi $- 1$ da $- 12 x^{2}$ .

$f'' (x) = - \frac{4 (- (12 x^{2}) + 5)}{{(4 x^{2} + 5)}^{3}}$

Passaggio 2.20.5

Riscrivi $5$ come $- 1 (- 5)$ .

$f'' (x) = - \frac{4 (- (12 x^{2}) - 1 \cdot - 5)}{{(4 x^{2} + 5)}^{3}}$

Passaggio 2.20.6

Scomponi $- 1$ da $- (12 x^{2}) - 1 (- 5)$ .

$f'' (x) = - \frac{4 (- (12 x^{2} - 5))}{{(4 x^{2} + 5)}^{3}}$

Passaggio 2.20.7

Riscrivi $- (12 x^{2} - 5)$ come $- 1 (12 x^{2} - 5)$ .

$f'' (x) = - \frac{4 (- 1 (12 x^{2} - 5))}{{(4 x^{2} + 5)}^{3}}$

Passaggio 2.20.8

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$f'' (x) = \frac{4 (12 x^{2} - 5)}{{(4 x^{2} + 5)}^{3}}$

Passaggio 2.20.9

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$f'' (x) = 1 (\frac{4 (12 x^{2} - 5)}{{(4 x^{2} + 5)}^{3}})$

Passaggio 2.20.10

Moltiplica $\frac{4 (12 x^{2} - 5)}{{(4 x^{2} + 5)}^{3}}$ per $1$ .

$f'' (x) = \frac{4 (12 x^{2} - 5)}{{(4 x^{2} + 5)}^{3}}$

Passaggio 3

Per trovare i valori locali di minimo e di massimo della funzione, imposta la derivata in modo che sia uguale a $0$ e risolvi.

$- \frac{4 x}{{(4 x^{2} + 5)}^{2}} = 0$

Passaggio 4

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.1

$\frac{(4 x^{2} + 5) \frac{d}{d x} [2 x^{2} + 3] - (2 x^{2} + 3) \frac{d}{d x} [4 x^{2} + 5]}{{(4 x^{2} + 5)}^{2}}$

Passaggio 4.1.2

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $2 x^{2} + 3$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [3]$ .

$\frac{(4 x^{2} + 5) (\frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [3]) - (2 x^{2} + 3) \frac{d}{d x} [4 x^{2} + 5]}{{(4 x^{2} + 5)}^{2}}$

Passaggio 4.1.2.2

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $2 x^{2}$ rispetto a $x$ è $2 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{(4 x^{2} + 5) (2 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [3]) - (2 x^{2} + 3) \frac{d}{d x} [4 x^{2} + 5]}{{(4 x^{2} + 5)}^{2}}$

Passaggio 4.1.2.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$\frac{(4 x^{2} + 5) (2 (2 x) + \frac{d}{d x} [3]) - (2 x^{2} + 3) \frac{d}{d x} [4 x^{2} + 5]}{{(4 x^{2} + 5)}^{2}}$

Passaggio 4.1.2.4

Moltiplica $2$ per $2$ .

$\frac{(4 x^{2} + 5) (4 x + \frac{d}{d x} [3]) - (2 x^{2} + 3) \frac{d}{d x} [4 x^{2} + 5]}{{(4 x^{2} + 5)}^{2}}$

Passaggio 4.1.2.5

Poiché $3$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $3$ rispetto a $x$ è $0$ .

$\frac{(4 x^{2} + 5) (4 x + 0) - (2 x^{2} + 3) \frac{d}{d x} [4 x^{2} + 5]}{{(4 x^{2} + 5)}^{2}}$

Passaggio 4.1.2.6

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.6.1

Somma $4 x$ e $0$ .

$\frac{(4 x^{2} + 5) (4 x) - (2 x^{2} + 3) \frac{d}{d x} [4 x^{2} + 5]}{{(4 x^{2} + 5)}^{2}}$

Passaggio 4.1.2.6.2

Sposta $4$ alla sinistra di $4 x^{2} + 5$ .

$\frac{4 \cdot (4 x^{2} + 5) x - (2 x^{2} + 3) \frac{d}{d x} [4 x^{2} + 5]}{{(4 x^{2} + 5)}^{2}}$

Passaggio 4.1.2.7

Secondo la regola della somma, la derivata di $4 x^{2} + 5$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [5]$ .

$\frac{4 (4 x^{2} + 5) x - (2 x^{2} + 3) (\frac{d}{d x} [4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [5])}{{(4 x^{2} + 5)}^{2}}$

Passaggio 4.1.2.8

Poiché $4$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $4 x^{2}$ rispetto a $x$ è $4 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{4 (4 x^{2} + 5) x - (2 x^{2} + 3) (4 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [5])}{{(4 x^{2} + 5)}^{2}}$

Passaggio 4.1.2.9

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$\frac{4 (4 x^{2} + 5) x - (2 x^{2} + 3) (4 (2 x) + \frac{d}{d x} [5])}{{(4 x^{2} + 5)}^{2}}$

Passaggio 4.1.2.10

Moltiplica $2$ per $4$ .

$\frac{4 (4 x^{2} + 5) x - (2 x^{2} + 3) (8 x + \frac{d}{d x} [5])}{{(4 x^{2} + 5)}^{2}}$

Passaggio 4.1.2.11

Poiché $5$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $5$ rispetto a $x$ è $0$ .

$\frac{4 (4 x^{2} + 5) x - (2 x^{2} + 3) (8 x + 0)}{{(4 x^{2} + 5)}^{2}}$

Passaggio 4.1.2.12

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.12.1

Somma $8 x$ e $0$ .

$\frac{4 (4 x^{2} + 5) x - (2 x^{2} + 3) (8 x)}{{(4 x^{2} + 5)}^{2}}$

Passaggio 4.1.2.12.2

Moltiplica $8$ per $- 1$ .

$\frac{4 (4 x^{2} + 5) x - 8 (2 x^{2} + 3) x}{{(4 x^{2} + 5)}^{2}}$

Passaggio 4.1.3

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.3.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{(4 (4 x^{2}) + 4 \cdot 5) x - 8 (2 x^{2} + 3) x}{{(4 x^{2} + 5)}^{2}}$

Passaggio 4.1.3.2

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{4 (4 x^{2}) x + 4 \cdot 5 x - 8 (2 x^{2} + 3) x}{{(4 x^{2} + 5)}^{2}}$

Passaggio 4.1.3.3

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{4 (4 x^{2}) x + 4 \cdot 5 x + (- 8 (2 x^{2}) - 8 \cdot 3) x}{{(4 x^{2} + 5)}^{2}}$

Passaggio 4.1.3.4

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{4 (4 x^{2}) x + 4 \cdot 5 x - 8 (2 x^{2}) x - 8 \cdot 3 x}{{(4 x^{2} + 5)}^{2}}$

Passaggio 4.1.3.5

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.3.5.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.3.5.1.1

Moltiplica $x^{2}$ per $x$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.3.5.1.1.1

Sposta $x$ .

$\frac{4 (4 (x \cdot x^{2})) + 4 \cdot 5 x - 8 (2 x^{2}) x - 8 \cdot 3 x}{{(4 x^{2} + 5)}^{2}}$

Passaggio 4.1.3.5.1.1.2

Moltiplica $x$ per $x^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.3.5.1.1.2.1

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$\frac{4 (4 (x^{1} x^{2})) + 4 \cdot 5 x - 8 (2 x^{2}) x - 8 \cdot 3 x}{{(4 x^{2} + 5)}^{2}}$

Passaggio 4.1.3.5.1.1.2.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{4 (4 x^{1 + 2}) + 4 \cdot 5 x - 8 (2 x^{2}) x - 8 \cdot 3 x}{{(4 x^{2} + 5)}^{2}}$

Passaggio 4.1.3.5.1.1.3

Somma $1$ e $2$ .

$\frac{4 (4 x^{3}) + 4 \cdot 5 x - 8 (2 x^{2}) x - 8 \cdot 3 x}{{(4 x^{2} + 5)}^{2}}$

Passaggio 4.1.3.5.1.2

Moltiplica $4$ per $4$ .

$\frac{16 x^{3} + 4 \cdot 5 x - 8 (2 x^{2}) x - 8 \cdot 3 x}{{(4 x^{2} + 5)}^{2}}$

Passaggio 4.1.3.5.1.3

Moltiplica $4$ per $5$ .

$\frac{16 x^{3} + 20 x - 8 (2 x^{2}) x - 8 \cdot 3 x}{{(4 x^{2} + 5)}^{2}}$

Passaggio 4.1.3.5.1.4

Moltiplica $x^{2}$ per $x$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.3.5.1.4.1

Sposta $x$ .

$\frac{16 x^{3} + 20 x - 8 (2 (x \cdot x^{2})) - 8 \cdot 3 x}{{(4 x^{2} + 5)}^{2}}$

Passaggio 4.1.3.5.1.4.2

Moltiplica $x$ per $x^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.3.5.1.4.2.1

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$\frac{16 x^{3} + 20 x - 8 (2 (x^{1} x^{2})) - 8 \cdot 3 x}{{(4 x^{2} + 5)}^{2}}$

Passaggio 4.1.3.5.1.4.2.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{16 x^{3} + 20 x - 8 (2 x^{1 + 2}) - 8 \cdot 3 x}{{(4 x^{2} + 5)}^{2}}$

Passaggio 4.1.3.5.1.4.3

Somma $1$ e $2$ .

$\frac{16 x^{3} + 20 x - 8 (2 x^{3}) - 8 \cdot 3 x}{{(4 x^{2} + 5)}^{2}}$

Passaggio 4.1.3.5.1.5

Moltiplica $2$ per $- 8$ .

$\frac{16 x^{3} + 20 x - 16 x^{3} - 8 \cdot 3 x}{{(4 x^{2} + 5)}^{2}}$

Passaggio 4.1.3.5.1.6

Moltiplica $- 8$ per $3$ .

$\frac{16 x^{3} + 20 x - 16 x^{3} - 24 x}{{(4 x^{2} + 5)}^{2}}$

Passaggio 4.1.3.5.2

Combina i termini opposti in $16 x^{3} + 20 x - 16 x^{3} - 24 x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.3.5.2.1

Sottrai $16 x^{3}$ da $16 x^{3}$ .

$\frac{20 x + 0 - 24 x}{{(4 x^{2} + 5)}^{2}}$

Passaggio 4.1.3.5.2.2

Somma $20 x$ e $0$ .

$\frac{20 x - 24 x}{{(4 x^{2} + 5)}^{2}}$

Passaggio 4.1.3.5.3

Sottrai $24 x$ da $20 x$ .

$\frac{- 4 x}{{(4 x^{2} + 5)}^{2}}$

Passaggio 4.1.3.6

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$f' (x) = - \frac{4 x}{{(4 x^{2} + 5)}^{2}}$

Passaggio 4.2

La derivata prima di $f (x)$ rispetto a $x$ è $- \frac{4 x}{{(4 x^{2} + 5)}^{2}}$ .

$- \frac{4 x}{{(4 x^{2} + 5)}^{2}}$

Passaggio 5

Poni la derivata prima uguale a $0$ quindi risolvi l'equazione $- \frac{4 x}{{(4 x^{2} + 5)}^{2}} = 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Poni la derivata prima uguale a $0$ .

$- \frac{4 x}{{(4 x^{2} + 5)}^{2}} = 0$

Passaggio 5.2

Poni il numeratore uguale a zero.

$4 x = 0$

Passaggio 5.3

Dividi per $4$ ciascun termine in $4 x = 0$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.1

Dividi per $4$ ciascun termine in $4 x = 0$ .

$\frac{4 x}{4} = \frac{0}{4}$

Passaggio 5.3.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.2.1

Elimina il fattore comune di $4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{4 x}{4} = \frac{0}{4}$

Passaggio 5.3.2.1.2

Dividi $x$ per $1$ .

$x = \frac{0}{4}$

Passaggio 5.3.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.3.1

Dividi $0$ per $4$ .

$x = 0$

Passaggio 6

Trova i valori per cui la derivata è indefinita.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Il dominio dell'espressione sono tutti i numeri reali tranne nei casi in cui l'espressione sia indefinita. In questo caso, non c'è alcun numero reale che rende l'espressione indefinita.

Passaggio 7

Punti critici da calcolare.

$x = 0$

Passaggio 8

Calcola la derivata seconda per $x = 0$ . Se la derivata seconda è positiva, allora si tratta di un minimo locale. Se è negativa, allora è un massimo locale.

$\frac{4 (12 {(0)}^{2} - 5)}{{(4 {(0)}^{2} + 5)}^{3}}$

Passaggio 9

Calcola la derivata seconda.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1.1

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$\frac{4 (12 \cdot 0 - 5)}{{(4 \cdot 0^{2} + 5)}^{3}}$

Passaggio 9.1.2

Moltiplica $12$ per $0$ .

$\frac{4 (0 - 5)}{{(4 \cdot 0^{2} + 5)}^{3}}$

Passaggio 9.1.3

Sottrai $5$ da $0$ .

$\frac{4 \cdot - 5}{{(4 \cdot 0^{2} + 5)}^{3}}$

Passaggio 9.2

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.2.1

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$\frac{4 \cdot - 5}{{(4 \cdot 0 + 5)}^{3}}$

Passaggio 9.2.2

Moltiplica $4$ per $0$ .

$\frac{4 \cdot - 5}{{(0 + 5)}^{3}}$

Passaggio 9.2.3

Somma $0$ e $5$ .

$\frac{4 \cdot - 5}{5^{3}}$

Passaggio 9.2.4

Eleva $5$ alla potenza di $3$ .

$\frac{4 \cdot - 5}{125}$

Passaggio 9.3

Riduci l'espressione eliminando i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.3.1

Moltiplica $4$ per $- 5$ .

$\frac{- 20}{125}$

Passaggio 9.3.2

Elimina il fattore comune di $- 20$ e $125$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.3.2.1

Scomponi $5$ da $- 20$ .

$\frac{5 (- 4)}{125}$

Passaggio 9.3.2.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.3.2.2.1

Scomponi $5$ da $125$ .

$\frac{5 \cdot - 4}{5 \cdot 25}$

Passaggio 9.3.2.2.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{5 \cdot - 4}{5 \cdot 25}$

Passaggio 9.3.2.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{- 4}{25}$

Passaggio 9.3.3

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$- \frac{4}{25}$

Passaggio 10

$x = 0$ è un massimo locale perché il valore della derivata seconda è negativo. Ciò si definisce test della derivata seconda.

$x = 0$ è un massimo locale

Passaggio 11

Trova il valore di y quando $x = 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.1

Sostituisci la variabile $x$ con $0$ nell'espressione.

$f (0) = \frac{2 {(0)}^{2} + 3}{4 {(0)}^{2} + 5}$

Passaggio 11.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.2.1

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.2.1.1

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$f (0) = \frac{2 \cdot 0 + 3}{4 \cdot 0^{2} + 5}$

Passaggio 11.2.1.2

Moltiplica $2$ per $0$ .

$f (0) = \frac{0 + 3}{4 \cdot 0^{2} + 5}$

Passaggio 11.2.1.3

Somma $0$ e $3$ .

$f (0) = \frac{3}{4 \cdot 0^{2} + 5}$

Passaggio 11.2.2

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.2.2.1

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$f (0) = \frac{3}{4 \cdot 0 + 5}$

Passaggio 11.2.2.2

Moltiplica $4$ per $0$ .

$f (0) = \frac{3}{0 + 5}$

Passaggio 11.2.2.3

Somma $0$ e $5$ .

$f (0) = \frac{3}{5}$

Passaggio 11.2.3

La risposta finale è $\frac{3}{5}$ .

$y = \frac{3}{5}$

Passaggio 12

Questi sono gli estremi locali per $f (x) = \frac{2 x^{2} + 3}{4 x^{2} + 5}$ .

$(0, \frac{3}{5})$ è un massimo locale

Passaggio 13