Calcolo Esempi

$lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{\cos (x)}{1 - \sin (x)}$

Passaggio 1

Applica la regola di de l'Hôpital

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Passaggio 1.1

Calcola il limite del numeratore e il limite del denominatore.

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Passaggio 1.1.1

Trova il limite del numeratore e il limite del denominatore.

$\frac{lim_{x \to \frac{π}{2}} \cos (x)}{lim_{x \to \frac{π}{2}} 1 - \sin (x)}$

Passaggio 1.1.2

Calcola il limite del numeratore.

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Passaggio 1.1.2.1

Sposta il limite all'interno della funzione trigonometrica, poiché il coseno è continuo.

$\frac{\cos (lim_{x \to \frac{π}{2}} x)}{lim_{x \to \frac{π}{2}} 1 - \sin (x)}$

Passaggio 1.1.2.2

Calcola il limite di $x$ inserendo $\frac{π}{2}$ per $x$ .

$\frac{\cos (\frac{π}{2})}{lim_{x \to \frac{π}{2}} 1 - \sin (x)}$

Passaggio 1.1.2.3

Il valore esatto di $\cos (\frac{π}{2})$ è $0$ .

$\frac{0}{lim_{x \to \frac{π}{2}} 1 - \sin (x)}$

Passaggio 1.1.3

Calcola il limite del denominatore.

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Passaggio 1.1.3.1

Calcola il limite.

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Passaggio 1.1.3.1.1

Dividi il limite usando la regola della somma di limiti quando $x$ tende a $\frac{π}{2}$ .

$\frac{0}{lim_{x \to \frac{π}{2}} 1 - lim_{x \to \frac{π}{2}} \sin (x)}$

Passaggio 1.1.3.1.2

Calcola il limite di $1$ che è costante, mentre $x$ tende a $\frac{π}{2}$ .

$\frac{0}{1 - lim_{x \to \frac{π}{2}} \sin (x)}$

Passaggio 1.1.3.1.3

Sposta il limite all'interno della funzione trigonometrica, poiché il seno è continuo.

$\frac{0}{1 - \sin (lim_{x \to \frac{π}{2}} x)}$

Passaggio 1.1.3.2

Calcola il limite di $x$ inserendo $\frac{π}{2}$ per $x$ .

$\frac{0}{1 - \sin (\frac{π}{2})}$

Passaggio 1.1.3.3

Semplifica la risposta.

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Passaggio 1.1.3.3.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 1.1.3.3.1.1

Il valore esatto di $\sin (\frac{π}{2})$ è $1$ .

$\frac{0}{1 - 1 \cdot 1}$

Passaggio 1.1.3.3.1.2

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$\frac{0}{1 - 1}$

Passaggio 1.1.3.3.2

Sottrai $1$ da $1$ .

$\frac{0}{0}$

Passaggio 1.1.3.3.3

L'espressione contiene una divisione per $0$ . L'espressione è indefinita.

Indefinito

$\frac{0}{0}$

Passaggio 1.1.3.4

L'espressione contiene una divisione per $0$ . L'espressione è indefinita.

Indefinito

$\frac{0}{0}$

Passaggio 1.1.4

L'espressione contiene una divisione per $0$ . L'espressione è indefinita.

Indefinito

$\frac{0}{0}$

Passaggio 1.2

Poiché $\frac{0}{0}$ si trova in forma indeterminata, applica la regola di de l'Hôpital. La regola di de l'Hôpital afferma che il limite di un quoziente di funzioni è uguale al limite del quoziente delle loro derivate.

$lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{\cos (x)}{1 - \sin (x)} = lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{\frac{d}{d x} [\cos (x)]}{\frac{d}{d x} [1 - \sin (x)]}$

Passaggio 1.3

Trova la derivata del numeratore e del denominatore.

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Passaggio 1.3.1

Differenzia numeratore e denominatore.

$lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{\frac{d}{d x} [\cos (x)]}{\frac{d}{d x} [1 - \sin (x)]}$

Passaggio 1.3.2

La derivata di $\cos (x)$ rispetto a $x$ è $- \sin (x)$ .

$lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{- \sin (x)}{\frac{d}{d x} [1 - \sin (x)]}$

Passaggio 1.3.3

Secondo la regola della somma, la derivata di $1 - \sin (x)$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- \sin (x)]$ .

$lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{- \sin (x)}{\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- \sin (x)]}$

Passaggio 1.3.4

Poiché $1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{- \sin (x)}{0 + \frac{d}{d x} [- \sin (x)]}$

Passaggio 1.3.5

Calcola $\frac{d}{d x} [- \sin (x)]$ .

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Passaggio 1.3.5.1

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- \sin (x)$ rispetto a $x$ è $- \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ .

$lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{- \sin (x)}{0 - \frac{d}{d x} [\sin (x)]}$

Passaggio 1.3.5.2

La derivata di $\sin (x)$ rispetto a $x$ è $\cos (x)$ .

$lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{- \sin (x)}{0 - \cos (x)}$

Passaggio 1.3.6

Sottrai $\cos (x)$ da $0$ .

$lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{- \sin (x)}{- \cos (x)}$

Passaggio 1.4

Dividendo due valori negativi si ottiene un valore positivo.

$lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$

Passaggio 2

Poiché la funzione tende a $\infty$ da sinistra e a $- \infty$ da destra, il limite non esiste.

$Non esiste$