Calcolo Esempi

$lim_{x \to 0} \frac{\sin^{2} (x)}{x}$

Passaggio 1

Applica la regola di de l'Hôpital

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Passaggio 1.1

Calcola il limite del numeratore e il limite del denominatore.

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Passaggio 1.1.1

Trova il limite del numeratore e il limite del denominatore.

$\frac{lim_{x \to 0} \sin^{2} (x)}{lim_{x \to 0} x}$

Passaggio 1.1.2

Calcola il limite del numeratore.

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Passaggio 1.1.2.1

Calcola il limite.

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Passaggio 1.1.2.1.1

Sposta l'esponente $2$ da $\sin^{2} (x)$ fuori dal limite usando la regola di potenza dei limiti.

$\frac{{(lim_{x \to 0} \sin (x))}^{2}}{lim_{x \to 0} x}$

Passaggio 1.1.2.1.2

Sposta il limite all'interno della funzione trigonometrica, poiché il seno è continuo.

$\frac{\sin^{2} (lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} x}$

Passaggio 1.1.2.2

Calcola il limite di $x$ inserendo $0$ per $x$ .

$\frac{\sin^{2} (0)}{lim_{x \to 0} x}$

Passaggio 1.1.2.3

Semplifica la risposta.

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Passaggio 1.1.2.3.1

Il valore esatto di $\sin (0)$ è $0$ .

$\frac{0^{2}}{lim_{x \to 0} x}$

Passaggio 1.1.2.3.2

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0} x}$

Passaggio 1.1.3

Calcola il limite di $x$ inserendo $0$ per $x$ .

$\frac{0}{0}$

Passaggio 1.1.4

L'espressione contiene una divisione per $0$ . L'espressione è indefinita.

Indefinito

$\frac{0}{0}$

Passaggio 1.2

Poiché $\frac{0}{0}$ si trova in forma indeterminata, applica la regola di de l'Hôpital. La regola di de l'Hôpital afferma che il limite di un quoziente di funzioni è uguale al limite del quoziente delle loro derivate.

$lim_{x \to 0} \frac{\sin^{2} (x)}{x} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\sin^{2} (x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Passaggio 1.3

Trova la derivata del numeratore e del denominatore.

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Passaggio 1.3.1

Differenzia numeratore e denominatore.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\sin^{2} (x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Passaggio 1.3.2

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = \sin (x)$ .

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Passaggio 1.3.2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $\sin (x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [\sin (x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Passaggio 1.3.2.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ è $n u^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 u \frac{d}{d x} [\sin (x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Passaggio 1.3.2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $\sin (x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 \sin (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Passaggio 1.3.3

La derivata di $\sin (x)$ rispetto a $x$ è $\cos (x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 \sin (x) \cos (x)}{\frac{d}{d x} [x]}$

Passaggio 1.3.4

Semplifica.

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Passaggio 1.3.4.1

Riordina i fattori di $2 \sin (x) \cos (x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 \cos (x) \sin (x)}{\frac{d}{d x} [x]}$

Passaggio 1.3.4.2

Riordina $2 \cos (x)$ e $\sin (x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (x) (2 \cos (x))}{\frac{d}{d x} [x]}$

Passaggio 1.3.4.3

Riordina $\sin (x)$ e $2$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 \cdot \sin (x) \cos (x)}{\frac{d}{d x} [x]}$

Passaggio 1.3.4.4

Applica l'identità a doppio angolo del seno.

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (2 x)}{\frac{d}{d x} [x]}$

Passaggio 1.3.5

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (2 x)}{1}$

Passaggio 1.4

Dividi $\sin (2 x)$ per $1$ .

$lim_{x \to 0} \sin (2 x)$

Passaggio 2

Calcola il limite.

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Passaggio 2.1

Sposta il limite all'interno della funzione trigonometrica, poiché il seno è continuo.

$\sin (lim_{x \to 0} 2 x)$

Passaggio 2.2

Sposta il termine $2$ fuori dal limite perché è costante rispetto a $x$ .

$\sin (2 lim_{x \to 0} x)$

Passaggio 3

Calcola il limite di $x$ inserendo $0$ per $x$ .

$\sin (2 \cdot 0)$

Passaggio 4

Semplifica la risposta.

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Passaggio 4.1

Moltiplica $2$ per $0$ .

$\sin (0)$

Passaggio 4.2

Il valore esatto di $\sin (0)$ è $0$ .

$0$