Calcolo Esempi

$y = 81 x$ , $y = x^{5}$ , $x = 0$ , $x = 3$

Passaggio 1

Risolvi tramite sostituzione per trovare l'intersezione tra le curve.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Elimina i lati uguali di ciascuna equazione e combinale.

$81 x = x^{5}$

Passaggio 1.2

Risolvi $81 x = x^{5}$ per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1

Sottrai $x^{5}$ da entrambi i lati dell'equazione.

$81 x - x^{5} = 0$

Passaggio 1.2.2

Scomponi il primo membro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.2.1

Scomponi $x$ da $81 x - x^{5}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.2.1.1

Scomponi $x$ da $81 x$ .

$x \cdot 81 - x^{5} = 0$

Passaggio 1.2.2.1.2

Scomponi $x$ da $- x^{5}$ .

$x \cdot 81 + x (- x^{4}) = 0$

Passaggio 1.2.2.1.3

Scomponi $x$ da $x \cdot 81 + x (- x^{4})$ .

$x (81 - x^{4}) = 0$

Passaggio 1.2.2.2

Riscrivi $81$ come $9^{2}$ .

$x (9^{2} - x^{4}) = 0$

Passaggio 1.2.2.3

Riscrivi $x^{4}$ come ${(x^{2})}^{2}$ .

$x (9^{2} - {(x^{2})}^{2}) = 0$

Passaggio 1.2.2.4

Poiché entrambi i termini sono dei quadrati perfetti, fattorizza utilizzando la formula della differenza di quadrati, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ dove $a = 9$ e $b = x^{2}$ .

$x ((9 + x^{2}) (9 - x^{2})) = 0$

Passaggio 1.2.2.5

Scomponi.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.2.5.1

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.2.5.1.1

Riscrivi $9$ come $3^{2}$ .

$x ((9 + x^{2}) (3^{2} - x^{2})) = 0$

Passaggio 1.2.2.5.1.2

Scomponi.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.2.5.1.2.1

Poiché entrambi i termini sono dei quadrati perfetti, fattorizza utilizzando la formula della differenza di quadrati, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ dove $a = 3$ e $b = x$ .

$x ((9 + x^{2}) ((3 + x) (3 - x))) = 0$

Passaggio 1.2.2.5.1.2.2

Rimuovi le parentesi non necessarie.

$x ((9 + x^{2}) (3 + x) (3 - x)) = 0$

Passaggio 1.2.2.5.2

Rimuovi le parentesi non necessarie.

$x (9 + x^{2}) (3 + x) (3 - x) = 0$

Passaggio 1.2.3

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a $0$ , l'intera espressione sarà uguale a $0$ .

$x = 0$

$9 + x^{2} = 0$

$3 + x = 0$

$3 - x = 0 + y = x^{5}$

Passaggio 1.2.4

Imposta $x$ uguale a $0$ .

$x = 0$

Passaggio 1.2.5

Imposta $9 + x^{2}$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.5.1

Imposta $9 + x^{2}$ uguale a $0$ .

$9 + x^{2} = 0$

Passaggio 1.2.5.2

Risolvi $9 + x^{2} = 0$ per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.5.2.1

Sottrai $9$ da entrambi i lati dell'equazione.

$x^{2} = - 9$

Passaggio 1.2.5.2.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{- 9}$

Passaggio 1.2.5.2.3

Semplifica $\pm \sqrt{- 9}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.5.2.3.1

Riscrivi $- 9$ come $- 1 (9)$ .

$x = \pm \sqrt{- 1 (9)}$

Passaggio 1.2.5.2.3.2

Riscrivi $\sqrt{- 1 (9)}$ come $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{9}$ .

$x = \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{9}$

Passaggio 1.2.5.2.3.3

Riscrivi $\sqrt{- 1}$ come $i$ .

$x = \pm i \cdot \sqrt{9}$

Passaggio 1.2.5.2.3.4

Riscrivi $9$ come $3^{2}$ .

$x = \pm i \cdot \sqrt{3^{2}}$

Passaggio 1.2.5.2.3.5

Estrai i termini dal radicale, presupponendo numeri reali positivi.

$x = \pm i \cdot 3$

Passaggio 1.2.5.2.3.6

Sposta $3$ alla sinistra di $i$ .

$x = \pm 3 i$

Passaggio 1.2.5.2.4

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.5.2.4.1

Per prima cosa, utilizza il valore positivo di $\pm$ per trovare la prima soluzione.

$x = 3 i$

Passaggio 1.2.5.2.4.2

Ora, utilizza il valore negativo del $\pm$ per trovare la seconda soluzione.

$x = - 3 i$

Passaggio 1.2.5.2.4.3

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

$x = 3 i, - 3 i$

Passaggio 1.2.6

Imposta $3 + x$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.6.1

Imposta $3 + x$ uguale a $0$ .

$3 + x = 0$

Passaggio 1.2.6.2

Sottrai $3$ da entrambi i lati dell'equazione.

$x = - 3$

Passaggio 1.2.7

Imposta $3 - x$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.7.1

Imposta $3 - x$ uguale a $0$ .

$3 - x = 0$

Passaggio 1.2.7.2

Risolvi $3 - x = 0$ per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.7.2.1

Sottrai $3$ da entrambi i lati dell'equazione.

$- x = - 3$

Passaggio 1.2.7.2.2

Dividi per $- 1$ ciascun termine in $- x = - 3$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.7.2.2.1

Dividi per $- 1$ ciascun termine in $- x = - 3$ .

$\frac{- x}{- 1} = \frac{- 3}{- 1}$

Passaggio 1.2.7.2.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.7.2.2.2.1

Dividendo due valori negativi si ottiene un valore positivo.

$\frac{x}{1} = \frac{- 3}{- 1}$

Passaggio 1.2.7.2.2.2.2

Dividi $x$ per $1$ .

$x = \frac{- 3}{- 1}$

Passaggio 1.2.7.2.2.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.7.2.2.3.1

Dividi $- 3$ per $- 1$ .

$x = 3$

Passaggio 1.2.8

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono $x (9 + x^{2}) (3 + x) (3 - x) = 0$ vera.

$x = 0, 3 i, - 3 i, - 3, 3$

Passaggio 1.3

Risolvi $y$ quando $x = 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.1

Sostituisci $x$ per $0$ .

$y = {(0)}^{5}$

Passaggio 1.3.2

Sostituisci $0$ per $x$ in $y = {(0)}^{5}$ e risolvi per $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.2.1

Rimuovi le parentesi.

$y = 0^{5}$

Passaggio 1.3.2.2

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$y = 0$

Passaggio 1.4

Risolvi $y$ quando $x = 3 i$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.1

Sostituisci $x$ per $3 i$ .

$y = {(3 i)}^{5}$

Passaggio 1.4.2

Semplifica ${(3 i)}^{5}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.2.1

Applica la regola del prodotto a $3 i$ .

$y = 3^{5} i^{5}$

Passaggio 1.4.2.2

Eleva $3$ alla potenza di $5$ .

$y = 243 i^{5}$

Passaggio 1.4.2.3

Metti in evidenza $i^{4}$ .

$y = 243 (i^{4} i)$

Passaggio 1.4.2.4

Riscrivi $i^{4}$ come $1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.2.4.1

Riscrivi $i^{4}$ come ${(i^{2})}^{2}$ .

$y = 243 ({(i^{2})}^{2} i)$

Passaggio 1.4.2.4.2

Riscrivi $i^{2}$ come $- 1$ .

$y = 243 ({(- 1)}^{2} i)$

Passaggio 1.4.2.4.3

Eleva $- 1$ alla potenza di $2$ .

$y = 243 (1 i)$

Passaggio 1.4.2.5

Moltiplica $i$ per $1$ .

$y = 243 i$

Passaggio 1.5

Risolvi $y$ quando $x = - 3 i$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.1

Sostituisci $x$ per $- 3 i$ .

$y = {(- 3 i)}^{5}$

Passaggio 1.5.2

Semplifica ${(- 3 i)}^{5}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.2.1

Applica la regola del prodotto a $- 3 i$ .

$y = {(- 3)}^{5} i^{5}$

Passaggio 1.5.2.2

Eleva $- 3$ alla potenza di $5$ .

$y = - 243 i^{5}$

Passaggio 1.5.2.3

Metti in evidenza $i^{4}$ .

$y = - 243 (i^{4} i)$

Passaggio 1.5.2.4

Riscrivi $i^{4}$ come $1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.2.4.1

Riscrivi $i^{4}$ come ${(i^{2})}^{2}$ .

$y = - 243 ({(i^{2})}^{2} i)$

Passaggio 1.5.2.4.2

Riscrivi $i^{2}$ come $- 1$ .

$y = - 243 ({(- 1)}^{2} i)$

Passaggio 1.5.2.4.3

Eleva $- 1$ alla potenza di $2$ .

$y = - 243 (1 i)$

Passaggio 1.5.2.5

Moltiplica $i$ per $1$ .

$y = - 243 i$

Passaggio 1.6

Risolvi $y$ quando $x = - 3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.6.1

Sostituisci $x$ per $- 3$ .

$y = {(- 3)}^{5}$

Passaggio 1.6.2

Eleva $- 3$ alla potenza di $5$ .

$y = - 243$

Passaggio 1.7

Risolvi $y$ quando $x = 3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.7.1

Sostituisci $x$ per $3$ .

$y = {(3)}^{5}$

Passaggio 1.7.2

Sostituisci $3$ per $x$ in $y = {(3)}^{5}$ e risolvi per $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.7.2.1

Rimuovi le parentesi.

$y = 3^{5}$

Passaggio 1.7.2.2

Eleva $3$ alla potenza di $5$ .

$y = 243$

Passaggio 1.8

Elenca tutte le soluzioni.

$y = 0, x = 0$

$y = 243 i, x = 3 i$

$y = - 243 i, x = - 3 i$

$y = - 243, x = - 3$

$y = 243, x = 3$

$y = 0, x = 0$

$y = 243 i, x = 3 i$

$y = - 243 i, x = - 3 i$

$y = - 243, x = - 3$

$y = 243, x = 3$

Passaggio 2

L'area della regione tra le curve è definita come l'integrale della curva superiore meno l'integrale della curva inferiore rispetto a ciascuna regione. Le regioni sono determinate dai punti di intersezione delle curve. Questa operazione si può svolgere algebricamente o graficamente.

$A r e a = \int_{0}^{3} 81 x d x - \int_{0}^{3} x^{5} d x$

Passaggio 3

Integra per trovare l'area tra $0$ e $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Combina gli interi in un singolo intero.

$\int_{0}^{3} 81 x - (x^{5}) d x$

Passaggio 3.2

Moltiplica $- 1$ per $x^{5}$ .

$\int_{0}^{3} 81 x - x^{5} d x$

Passaggio 3.3

Dividi il singolo integrale in più integrali.

$\int_{0}^{3} 81 x d x + \int_{0}^{3} - x^{5} d x$

Passaggio 3.4

Poiché $81$ è costante rispetto a $x$ , sposta $81$ fuori dall'integrale.

$81 \int_{0}^{3} x d x + \int_{0}^{3} - x^{5} d x$

Passaggio 3.5

Secondo la regola di potenza, l'intero di $x$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$81 (\frac{1}{2} x^{2}]_{0}^{3}) + \int_{0}^{3} - x^{5} d x$

Passaggio 3.6

$\frac{1}{2}$ e $x^{2}$ .

$81 (\frac{x^{2}}{2}]_{0}^{3}) + \int_{0}^{3} - x^{5} d x$

Passaggio 3.7

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , sposta $- 1$ fuori dall'integrale.

$81 (\frac{x^{2}}{2}]_{0}^{3}) - \int_{0}^{3} x^{5} d x$

Passaggio 3.8

Secondo la regola di potenza, l'intero di $x^{5}$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{6} x^{6}$ .

$81 (\frac{x^{2}}{2}]_{0}^{3}) - (\frac{1}{6} x^{6}]_{0}^{3})$

Passaggio 3.9

Semplifica la risposta.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.9.1

$\frac{1}{6}$ e $x^{6}$ .

$81 (\frac{x^{2}}{2}]_{0}^{3}) - (\frac{x^{6}}{6}]_{0}^{3})$

Passaggio 3.9.2

Sostituisci e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.9.2.1

Calcola $\frac{x^{2}}{2}$ per $3$ e per $0$ .

$81 ((\frac{3^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2}) - (\frac{x^{6}}{6}]_{0}^{3})$

Passaggio 3.9.2.2

Calcola $\frac{x^{6}}{6}$ per $3$ e per $0$ .

$81 (\frac{3^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}) - (\frac{3^{6}}{6} - \frac{0^{6}}{6})$

Passaggio 3.9.2.3

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.9.2.3.1

Eleva $3$ alla potenza di $2$ .

$81 (\frac{9}{2} - \frac{0^{2}}{2}) - (\frac{3^{6}}{6} - \frac{0^{6}}{6})$

Passaggio 3.9.2.3.2

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$81 (\frac{9}{2} - \frac{0}{2}) - (\frac{3^{6}}{6} - \frac{0^{6}}{6})$

Passaggio 3.9.2.3.3

Elimina il fattore comune di $0$ e $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.9.2.3.3.1

Scomponi $2$ da $0$ .

$81 (\frac{9}{2} - \frac{2 (0)}{2}) - (\frac{3^{6}}{6} - \frac{0^{6}}{6})$

Passaggio 3.9.2.3.3.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.9.2.3.3.2.1

Scomponi $2$ da $2$ .

$81 (\frac{9}{2} - \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1}) - (\frac{3^{6}}{6} - \frac{0^{6}}{6})$

Passaggio 3.9.2.3.3.2.2

Elimina il fattore comune.

$81 (\frac{9}{2} - \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1}) - (\frac{3^{6}}{6} - \frac{0^{6}}{6})$

Passaggio 3.9.2.3.3.2.3

Riscrivi l'espressione.

$81 (\frac{9}{2} - \frac{0}{1}) - (\frac{3^{6}}{6} - \frac{0^{6}}{6})$

Passaggio 3.9.2.3.3.2.4

Dividi $0$ per $1$ .

$81 (\frac{9}{2} - 0) - (\frac{3^{6}}{6} - \frac{0^{6}}{6})$

Passaggio 3.9.2.3.4

Moltiplica $- 1$ per $0$ .

$81 (\frac{9}{2} + 0) - (\frac{3^{6}}{6} - \frac{0^{6}}{6})$

Passaggio 3.9.2.3.5

Somma $\frac{9}{2}$ e $0$ .

$81 (\frac{9}{2}) - (\frac{3^{6}}{6} - \frac{0^{6}}{6})$

Passaggio 3.9.2.3.6

$81$ e $\frac{9}{2}$ .

$\frac{81 \cdot 9}{2} - (\frac{3^{6}}{6} - \frac{0^{6}}{6})$

Passaggio 3.9.2.3.7

Moltiplica $81$ per $9$ .

$\frac{729}{2} - (\frac{3^{6}}{6} - \frac{0^{6}}{6})$

Passaggio 3.9.2.3.8

Eleva $3$ alla potenza di $6$ .

$\frac{729}{2} - (\frac{729}{6} - \frac{0^{6}}{6})$

Passaggio 3.9.2.3.9

Elimina il fattore comune di $729$ e $6$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.9.2.3.9.1

Scomponi $3$ da $729$ .

$\frac{729}{2} - (\frac{3 (243)}{6} - \frac{0^{6}}{6})$

Passaggio 3.9.2.3.9.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.9.2.3.9.2.1

Scomponi $3$ da $6$ .

$\frac{729}{2} - (\frac{3 \cdot 243}{3 \cdot 2} - \frac{0^{6}}{6})$

Passaggio 3.9.2.3.9.2.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{729}{2} - (\frac{3 \cdot 243}{3 \cdot 2} - \frac{0^{6}}{6})$

Passaggio 3.9.2.3.9.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{729}{2} - (\frac{243}{2} - \frac{0^{6}}{6})$

Passaggio 3.9.2.3.10

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$\frac{729}{2} - (\frac{243}{2} - \frac{0}{6})$

Passaggio 3.9.2.3.11

Elimina il fattore comune di $0$ e $6$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.9.2.3.11.1

Scomponi $6$ da $0$ .

$\frac{729}{2} - (\frac{243}{2} - \frac{6 (0)}{6})$

Passaggio 3.9.2.3.11.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.9.2.3.11.2.1

Scomponi $6$ da $6$ .

$\frac{729}{2} - (\frac{243}{2} - \frac{6 \cdot 0}{6 \cdot 1})$

Passaggio 3.9.2.3.11.2.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{729}{2} - (\frac{243}{2} - \frac{6 \cdot 0}{6 \cdot 1})$

Passaggio 3.9.2.3.11.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{729}{2} - (\frac{243}{2} - \frac{0}{1})$

Passaggio 3.9.2.3.11.2.4

Dividi $0$ per $1$ .

$\frac{729}{2} - (\frac{243}{2} - 0)$

Passaggio 3.9.2.3.12

Moltiplica $- 1$ per $0$ .

$\frac{729}{2} - (\frac{243}{2} + 0)$

Passaggio 3.9.2.3.13

Somma $\frac{243}{2}$ e $0$ .

$\frac{729}{2} - \frac{243}{2}$

Passaggio 3.9.2.3.14

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{729 - 243}{2}$

Passaggio 3.9.2.3.15

Sottrai $243$ da $729$ .

$\frac{486}{2}$

Passaggio 3.9.2.3.16

Elimina il fattore comune di $486$ e $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.9.2.3.16.1

Scomponi $2$ da $486$ .

$\frac{2 \cdot 243}{2}$

Passaggio 3.9.2.3.16.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.9.2.3.16.2.1

Scomponi $2$ da $2$ .

$\frac{2 \cdot 243}{2 (1)}$

Passaggio 3.9.2.3.16.2.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{2 \cdot 243}{2 \cdot 1}$

Passaggio 3.9.2.3.16.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{243}{1}$

Passaggio 3.9.2.3.16.2.4

Dividi $243$ per $1$ .

$243$

Passaggio 4