Calcolo Esempi

$\frac{e^{- x} + 1}{e^{x}}$

Passaggio 1

Differenzia usando la regola del quoziente, che indica che $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ è $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ dove $f (x) = e^{- x} + 1$ e $g (x) = e^{x}$ .

$\frac{e^{x} \frac{d}{d x} [e^{- x} + 1] - (e^{- x} + 1) \frac{d}{d x} [e^{x}]}{{(e^{x})}^{2}}$

Passaggio 2

Differenzia usando la regola della somma.

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Passaggio 2.1

Moltiplica gli esponenti in ${(e^{x})}^{2}$ .

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Passaggio 2.1.1

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{e^{x} \frac{d}{d x} [e^{- x} + 1] - (e^{- x} + 1) \frac{d}{d x} [e^{x}]}{e^{x \cdot 2}}$

Passaggio 2.1.2

Sposta $2$ alla sinistra di $x$ .

$\frac{e^{x} \frac{d}{d x} [e^{- x} + 1] - (e^{- x} + 1) \frac{d}{d x} [e^{x}]}{e^{2 x}}$

Passaggio 2.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $e^{- x} + 1$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [e^{- x}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{e^{x} (\frac{d}{d x} [e^{- x}] + \frac{d}{d x} [1]) - (e^{- x} + 1) \frac{d}{d x} [e^{x}]}{e^{2 x}}$

Passaggio 3

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = e^{x}$ e $g (x) = - x$ .

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Passaggio 3.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $- x$ .

$\frac{e^{x} (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [1]) - (e^{- x} + 1) \frac{d}{d x} [e^{x}]}{e^{2 x}}$

Passaggio 3.2

Differenzia usando la regola esponenziale, che indica che $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ è $a^{u} \ln (a)$ dove $a$ = $e$ .

$\frac{e^{x} (e^{u} \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [1]) - (e^{- x} + 1) \frac{d}{d x} [e^{x}]}{e^{2 x}}$

Passaggio 3.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $- x$ .

$\frac{e^{x} (e^{- x} \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [1]) - (e^{- x} + 1) \frac{d}{d x} [e^{x}]}{e^{2 x}}$

Passaggio 4

Differenzia.

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Passaggio 4.1

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- x$ rispetto a $x$ è $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{e^{x} (e^{- x} (- \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [1]) - (e^{- x} + 1) \frac{d}{d x} [e^{x}]}{e^{2 x}}$

Passaggio 4.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\frac{e^{x} (e^{- x} (- 1 \cdot 1) + \frac{d}{d x} [1]) - (e^{- x} + 1) \frac{d}{d x} [e^{x}]}{e^{2 x}}$

Passaggio 4.3

Semplifica l'espressione.

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Passaggio 4.3.1

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$\frac{e^{x} (e^{- x} \cdot - 1 + \frac{d}{d x} [1]) - (e^{- x} + 1) \frac{d}{d x} [e^{x}]}{e^{2 x}}$

Passaggio 4.3.2

Sposta $- 1$ alla sinistra di $e^{- x}$ .

$\frac{e^{x} (- 1 \cdot e^{- x} + \frac{d}{d x} [1]) - (e^{- x} + 1) \frac{d}{d x} [e^{x}]}{e^{2 x}}$

Passaggio 4.3.3

Riscrivi $- 1 e^{- x}$ come $- e^{- x}$ .

$\frac{e^{x} (- e^{- x} + \frac{d}{d x} [1]) - (e^{- x} + 1) \frac{d}{d x} [e^{x}]}{e^{2 x}}$

Passaggio 4.4

Poiché $1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$\frac{e^{x} (- e^{- x} + 0) - (e^{- x} + 1) \frac{d}{d x} [e^{x}]}{e^{2 x}}$

Passaggio 4.5

Somma $- e^{- x}$ e $0$ .

$\frac{e^{x} (- e^{- x}) - (e^{- x} + 1) \frac{d}{d x} [e^{x}]}{e^{2 x}}$

Passaggio 5

Moltiplica $e^{x}$ per $e^{- x}$ sommando gli esponenti.

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Passaggio 5.1

Sposta $e^{- x}$ .

$\frac{e^{- x} e^{x} \cdot - 1 - (e^{- x} + 1) \frac{d}{d x} [e^{x}]}{e^{2 x}}$

Passaggio 5.2

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{e^{- x + x} \cdot - 1 - (e^{- x} + 1) \frac{d}{d x} [e^{x}]}{e^{2 x}}$

Passaggio 5.3

Somma $- x$ e $x$ .

$\frac{e^{0} \cdot - 1 - (e^{- x} + 1) \frac{d}{d x} [e^{x}]}{e^{2 x}}$

Passaggio 6

Semplifica $e^{0} \cdot - 1$ .

$\frac{- 1 - (e^{- x} + 1) \frac{d}{d x} [e^{x}]}{e^{2 x}}$

Passaggio 7

Differenzia usando la regola esponenziale, che indica che $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ è $a^{x} \ln (a)$ dove $a$ = $e$ .

$\frac{- 1 - (e^{- x} + 1) e^{x}}{e^{2 x}}$

Passaggio 8

Semplifica.

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Passaggio 8.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{- 1 + (- e^{- x} - 1 \cdot 1) e^{x}}{e^{2 x}}$

Passaggio 8.2

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{- 1 - e^{- x} e^{x} - 1 \cdot 1 e^{x}}{e^{2 x}}$

Passaggio 8.3

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 8.3.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 8.3.1.1

Moltiplica $e^{- x}$ per $e^{x}$ sommando gli esponenti.

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Passaggio 8.3.1.1.1

Sposta $e^{x}$ .

$\frac{- 1 - (e^{x} e^{- x}) - 1 \cdot 1 e^{x}}{e^{2 x}}$

Passaggio 8.3.1.1.2

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{- 1 - e^{x - x} - 1 \cdot 1 e^{x}}{e^{2 x}}$

Passaggio 8.3.1.1.3

Sottrai $x$ da $x$ .

$\frac{- 1 - e^{0} - 1 \cdot 1 e^{x}}{e^{2 x}}$

Passaggio 8.3.1.2

Semplifica $- e^{0}$ .

$\frac{- 1 - 1 - 1 \cdot 1 e^{x}}{e^{2 x}}$

Passaggio 8.3.1.3

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$\frac{- 1 - 1 - 1 e^{x}}{e^{2 x}}$

Passaggio 8.3.1.4

Riscrivi $- 1 e^{x}$ come $- e^{x}$ .

$\frac{- 1 - 1 - e^{x}}{e^{2 x}}$

Passaggio 8.3.2

Sottrai $1$ da $- 1$ .

$\frac{- 2 - e^{x}}{e^{2 x}}$

Passaggio 8.4

Riscrivi $- 2$ come $- 1 (2)$ .

$\frac{- 1 (2) - e^{x}}{e^{2 x}}$

Passaggio 8.5

Scomponi $- 1$ da $- e^{x}$ .

$\frac{- 1 (2) - (e^{x})}{e^{2 x}}$

Passaggio 8.6

Scomponi $- 1$ da $- 1 (2) - (e^{x})$ .

$\frac{- 1 (2 + e^{x})}{e^{2 x}}$

Passaggio 8.7

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$- \frac{2 + e^{x}}{e^{2 x}}$