Calcolo Esempi

$\int_{0}^{1} \frac{e^{2 x} - e^{- 2 x}}{e^{2 x} + e^{- 2 x}} d x$

Passaggio 1

Sia $u_{3} = e^{2 x} + e^{- 2 x}$ . Allora $d u_{3} = (2 e^{2 x} - 2 e^{- 2 x}) d x$ , quindi $\frac{1}{2} d u_{3} = (e^{2 x} - e^{- 2 x}) d x$ . Riscrivi usando $u_{3}$ e $d$ $u_{3}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Sia $u_{3} = e^{2 x} + e^{- 2 x}$ . Trova $\frac{d u_{3}}{d x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1

Differenzia $e^{2 x} + e^{- 2 x}$ .

$\frac{d}{d x} [e^{2 x} + e^{- 2 x}]$

Passaggio 1.1.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $e^{2 x} + e^{- 2 x}$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [e^{2 x}] + \frac{d}{d x} [e^{- 2 x}]$ .

$\frac{d}{d x} [e^{2 x}] + \frac{d}{d x} [e^{- 2 x}]$

Passaggio 1.1.3

Calcola $\frac{d}{d x} [e^{2 x}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.3.1

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = e^{x}$ e $g (x) = 2 x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.3.1.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{1}$ come $2 x$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [e^{- 2 x}]$

Passaggio 1.1.3.1.2

Differenzia usando la regola esponenziale, che indica che $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ è $a^{u_{1}} \ln (a)$ dove $a$ = $e$ .

$e^{u_{1}} \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [e^{- 2 x}]$

Passaggio 1.1.3.1.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{1}$ con $2 x$ .

$e^{2 x} \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [e^{- 2 x}]$

Passaggio 1.1.3.2

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $2 x$ rispetto a $x$ è $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$e^{2 x} (2 \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [e^{- 2 x}]$

Passaggio 1.1.3.3

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$e^{2 x} (2 \cdot 1) + \frac{d}{d x} [e^{- 2 x}]$

Passaggio 1.1.3.4

Moltiplica $2$ per $1$ .

$e^{2 x} \cdot 2 + \frac{d}{d x} [e^{- 2 x}]$

Passaggio 1.1.3.5

Sposta $2$ alla sinistra di $e^{2 x}$ .

$2 e^{2 x} + \frac{d}{d x} [e^{- 2 x}]$

Passaggio 1.1.4

Calcola $\frac{d}{d x} [e^{- 2 x}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.4.1

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = e^{x}$ e $g (x) = - 2 x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.4.1.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{2}$ come $- 2 x$ .

$2 e^{2 x} + \frac{d}{d u_{2}} [e^{u_{2}}] \frac{d}{d x} [- 2 x]$

Passaggio 1.1.4.1.2

Differenzia usando la regola esponenziale, che indica che $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ è $a^{u_{2}} \ln (a)$ dove $a$ = $e$ .

$2 e^{2 x} + e^{u_{2}} \frac{d}{d x} [- 2 x]$

Passaggio 1.1.4.1.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{2}$ con $- 2 x$ .

$2 e^{2 x} + e^{- 2 x} \frac{d}{d x} [- 2 x]$

Passaggio 1.1.4.2

Poiché $- 2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 2 x$ rispetto a $x$ è $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 e^{2 x} + e^{- 2 x} (- 2 \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 1.1.4.3

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$2 e^{2 x} + e^{- 2 x} (- 2 \cdot 1)$

Passaggio 1.1.4.4

Moltiplica $- 2$ per $1$ .

$2 e^{2 x} + e^{- 2 x} \cdot - 2$

Passaggio 1.1.4.5

Sposta $- 2$ alla sinistra di $e^{- 2 x}$ .

$2 e^{2 x} - 2 e^{- 2 x}$

Passaggio 1.2

Sostituisci $x$ con il limite inferiore in $u_{3} = e^{2 x} + e^{- 2 x}$ .

$u_{lower} = e^{2 \cdot 0} + e^{- 2 \cdot 0}$

Passaggio 1.3

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.1.1

Moltiplica $2$ per $0$ .

$u_{lower} = e^{0} + e^{- 2 \cdot 0}$

Passaggio 1.3.1.2

Qualsiasi valore elevato a $0$ è $1$ .

$u_{lower} = 1 + e^{- 2 \cdot 0}$

Passaggio 1.3.1.3

Moltiplica $- 2$ per $0$ .

$u_{lower} = 1 + e^{0}$

Passaggio 1.3.1.4

Qualsiasi valore elevato a $0$ è $1$ .

$u_{lower} = 1 + 1$

Passaggio 1.3.2

Somma $1$ e $1$ .

$u_{lower} = 2$

Passaggio 1.4

Sostituisci $x$ con il limite superiore in $u_{3} = e^{2 x} + e^{- 2 x}$ .

$u_{upper} = e^{2 \cdot 1} + e^{- 2 \cdot 1}$

Passaggio 1.5

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.1

Moltiplica $2$ per $1$ .

$u_{upper} = e^{2} + e^{- 2 \cdot 1}$

Passaggio 1.5.2

Moltiplica $- 2$ per $1$ .

$u_{upper} = e^{2} + e^{- 2}$

Passaggio 1.5.3

Riscrivi l'espressione usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$u_{upper} = e^{2} + \frac{1}{e^{2}}$

Passaggio 1.6

I valori trovati per $u_{lower}$ e $u_{upper}$ saranno usati per calcolare l'integrale definito.

$u_{lower} = 2$

$u_{upper} = e^{2} + \frac{1}{e^{2}}$

Passaggio 1.7

Riscrivi il problema utilizzando $u_{3}$ , $d u_{3}$ e i nuovi limiti dell'integrazione.

$\int_{2}^{e^{2} + \frac{1}{e^{2}}} \frac{1}{u_{3}} \cdot \frac{1}{2} d u_{3}$

Passaggio 2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Moltiplica $\frac{1}{u_{3}}$ per $\frac{1}{2}$ .

$\int_{2}^{e^{2} + \frac{1}{e^{2}}} \frac{1}{u_{3} \cdot 2} d u_{3}$

Passaggio 2.2

Sposta $2$ alla sinistra di $u_{3}$ .

$\int_{2}^{e^{2} + \frac{1}{e^{2}}} \frac{1}{2 u_{3}} d u_{3}$

Passaggio 3

Poiché $\frac{1}{2}$ è costante rispetto a $u_{3}$ , sposta $\frac{1}{2}$ fuori dall'integrale.

$\frac{1}{2} \int_{2}^{e^{2} + \frac{1}{e^{2}}} \frac{1}{u_{3}} d u_{3}$

Passaggio 4

L'integrale di $\frac{1}{u_{3}}$ rispetto a $u_{3}$ è $\ln (| u_{3} |)$ .

$\frac{1}{2} \ln (| u_{3} |)]_{2}^{e^{2} + \frac{1}{e^{2}}}$

Passaggio 5

Calcola $\ln (| u_{3} |)$ per $e^{2} + \frac{1}{e^{2}}$ e per $2$ .

$\frac{1}{2} (\ln (| e^{2} + \frac{1}{e^{2}} |) - \ln (| 2 |))$

Passaggio 6

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Utilizza la proprietà del quoziente dei logaritmi, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\frac{1}{2} \ln (\frac{| e^{2} + \frac{1}{e^{2}} |}{| 2 |})$

Passaggio 6.2

$\frac{1}{2}$ e $\ln (\frac{| e^{2} + \frac{1}{e^{2}} |}{| 2 |})$ .

$\frac{\ln (\frac{| e^{2} + \frac{1}{e^{2}} |}{| 2 |})}{2}$

Passaggio 7

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1.1

$e^{2} + \frac{1}{e^{2}}$ corrisponde approssimativamente a $7.52439138$ , che è un valore positivo, perciò elimina il valore assoluto

$\frac{\ln (\frac{e^{2} + \frac{1}{e^{2}}}{| 2 |})}{2}$

Passaggio 7.1.2

Per scrivere $e^{2}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{e^{2}}{e^{2}}$ .

$\frac{\ln (\frac{\frac{e^{2} e^{2}}{e^{2}} + \frac{1}{e^{2}}}{| 2 |})}{2}$

Passaggio 7.1.3

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{\ln (\frac{\frac{e^{2} e^{2} + 1}{e^{2}}}{| 2 |})}{2}$

Passaggio 7.1.4

Moltiplica $e^{2}$ per $e^{2}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1.4.1

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{\ln (\frac{\frac{e^{2 + 2} + 1}{e^{2}}}{| 2 |})}{2}$

Passaggio 7.1.4.2

Somma $2$ e $2$ .

$\frac{\ln (\frac{\frac{e^{4} + 1}{e^{2}}}{| 2 |})}{2}$

Passaggio 7.2

Il valore assoluto è la distanza tra un numero e zero. La distanza tra $0$ e $2$ è $2$ .

$\frac{\ln (\frac{\frac{e^{4} + 1}{e^{2}}}{2})}{2}$

Passaggio 7.3

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$\frac{\ln (\frac{e^{4} + 1}{e^{2}} \cdot \frac{1}{2})}{2}$

Passaggio 7.4

Moltiplica $\frac{e^{4} + 1}{e^{2}}$ per $\frac{1}{2}$ .

$\frac{\ln (\frac{e^{4} + 1}{e^{2} \cdot 2})}{2}$

Passaggio 7.5

Sposta $2$ alla sinistra di $e^{2}$ .

$\frac{\ln (\frac{e^{4} + 1}{2 e^{2}})}{2}$

Passaggio 8

Il risultato può essere mostrato in più forme.

Forma esatta:

$\frac{\ln (\frac{e^{4} + 1}{2 e^{2}})}{2}$

Forma decimale:

$0.66250137 \dots$

Passaggio 9