Calcolo Esempi

$x^{3} - x y + y^{2} = 7$

Passaggio 1

Differenzia entrambi i lati dell'equazione.

$\frac{d}{d x} (x^{3} - x y + y^{2}) = \frac{d}{d x} (7)$

Passaggio 2

Differenzia il lato sinistro dell'equazione.

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Passaggio 2.1

Differenzia.

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Passaggio 2.1.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $x^{3} - x y + y^{2}$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- x y] + \frac{d}{d x} [y^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- x y] + \frac{d}{d x} [y^{2}]$

Passaggio 2.1.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 3$ .

$3 x^{2} + \frac{d}{d x} [- x y] + \frac{d}{d x} [y^{2}]$

Passaggio 2.2

Calcola $\frac{d}{d x} [- x y]$ .

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Passaggio 2.2.1

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- x y$ rispetto a $x$ è $- \frac{d}{d x} [x y]$ .

$3 x^{2} - \frac{d}{d x} [x y] + \frac{d}{d x} [y^{2}]$

Passaggio 2.2.2

Differenzia usando la regola del prodotto, che indica che $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = x$ e $g (x) = y$ .

$3 x^{2} - (x \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [y^{2}]$

Passaggio 2.2.3

Riscrivi $\frac{d}{d x} [y]$ come $y'$ .

$3 x^{2} - (x y' + y \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [y^{2}]$

Passaggio 2.2.4

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$3 x^{2} - (x y' + y \cdot 1) + \frac{d}{d x} [y^{2}]$

Passaggio 2.2.5

Moltiplica $y$ per $1$ .

$3 x^{2} - (x y' + y) + \frac{d}{d x} [y^{2}]$

Passaggio 2.3

Calcola $\frac{d}{d x} [y^{2}]$ .

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Passaggio 2.3.1

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = y$ .

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Passaggio 2.3.1.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $y$ .

$3 x^{2} - (x y' + y) + \frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [y]$

Passaggio 2.3.1.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ è $n u^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$3 x^{2} - (x y' + y) + 2 u \frac{d}{d x} [y]$

Passaggio 2.3.1.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $y$ .

$3 x^{2} - (x y' + y) + 2 y \frac{d}{d x} [y]$

Passaggio 2.3.2

Riscrivi $\frac{d}{d x} [y]$ come $y'$ .

$3 x^{2} - (x y' + y) + 2 y y'$

Passaggio 2.4

Semplifica.

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Passaggio 2.4.1

Applica la proprietà distributiva.

$3 x^{2} - (x y') - y + 2 y y'$

Passaggio 2.4.2

Rimuovi le parentesi non necessarie.

$3 x^{2} - x y' - y + 2 y y'$

Passaggio 2.4.3

Riordina i termini.

$3 x^{2} - x y' + 2 y y' - y$

Passaggio 3

Poiché $7$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $7$ rispetto a $x$ è $0$ .

$0$

Passaggio 4

Forma nuovamente l'equazione eguagliando il lato sinistro al lato destro.

$3 x^{2} - x y' + 2 y y' - y = 0$

Passaggio 5

Risolvi per $y'$ .

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Passaggio 5.1

Sposta tutti i termini non contenenti $y'$ sul lato destro dell'equazione.

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Passaggio 5.1.1

Sottrai $3 x^{2}$ da entrambi i lati dell'equazione.

$- x y' + 2 y y' - y = - 3 x^{2}$

Passaggio 5.1.2

Somma $y$ a entrambi i lati dell'equazione.

$- x y' + 2 y y' = - 3 x^{2} + y$

Passaggio 5.2

Scomponi $y'$ da $- x y' + 2 y y'$ .

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Passaggio 5.2.1

Scomponi $y'$ da $- x y'$ .

$y' (- x) + 2 y y' = - 3 x^{2} + y$

Passaggio 5.2.2

Scomponi $y'$ da $2 y y'$ .

$y' (- x) + y' (2 y) = - 3 x^{2} + y$

Passaggio 5.2.3

Scomponi $y'$ da $y' (- x) + y' (2 y)$ .

$y' (- x + 2 y) = - 3 x^{2} + y$

Passaggio 5.3

Dividi per $- x + 2 y$ ciascun termine in $y' (- x + 2 y) = - 3 x^{2} + y$ e semplifica.

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Passaggio 5.3.1

Dividi per $- x + 2 y$ ciascun termine in $y' (- x + 2 y) = - 3 x^{2} + y$ .

$\frac{y' (- x + 2 y)}{- x + 2 y} = \frac{- 3 x^{2}}{- x + 2 y} + \frac{y}{- x + 2 y}$

Passaggio 5.3.2

Semplifica il lato sinistro.

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Passaggio 5.3.2.1

Elimina il fattore comune di $- x + 2 y$ .

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Passaggio 5.3.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{y' (- x + 2 y)}{- x + 2 y} = \frac{- 3 x^{2}}{- x + 2 y} + \frac{y}{- x + 2 y}$

Passaggio 5.3.2.1.2

Dividi $y'$ per $1$ .

$y' = \frac{- 3 x^{2}}{- x + 2 y} + \frac{y}{- x + 2 y}$

Passaggio 5.3.3

Semplifica il lato destro.

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Passaggio 5.3.3.1

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$y' = \frac{- 3 x^{2} + y}{- x + 2 y}$

Passaggio 5.3.3.2

Scomponi $- 1$ da $- 3 x^{2}$ .

$y' = \frac{- (3 x^{2}) + y}{- x + 2 y}$

Passaggio 5.3.3.3

Scomponi $- 1$ da $y$ .

$y' = \frac{- (3 x^{2}) - 1 (- y)}{- x + 2 y}$

Passaggio 5.3.3.4

Scomponi $- 1$ da $- (3 x^{2}) - 1 (- y)$ .

$y' = \frac{- (3 x^{2} - y)}{- x + 2 y}$

Passaggio 5.3.3.5

Riscrivi $- (3 x^{2} - y)$ come $- 1 (3 x^{2} - y)$ .

$y' = \frac{- 1 (3 x^{2} - y)}{- x + 2 y}$

Passaggio 5.3.3.6

Scomponi $- 1$ da $- x$ .

$y' = \frac{- 1 (3 x^{2} - y)}{- (x) + 2 y}$

Passaggio 5.3.3.7

Scomponi $- 1$ da $2 y$ .

$y' = \frac{- 1 (3 x^{2} - y)}{- (x) - (- 2 y)}$

Passaggio 5.3.3.8

Scomponi $- 1$ da $- (x) - (- 2 y)$ .

$y' = \frac{- 1 (3 x^{2} - y)}{- (x - 2 y)}$

Passaggio 5.3.3.9

Riscrivi $- (x - 2 y)$ come $- 1 (x - 2 y)$ .

$y' = \frac{- 1 (3 x^{2} - y)}{- 1 (x - 2 y)}$

Passaggio 5.3.3.10

Elimina il fattore comune.

$y' = \frac{- 1 (3 x^{2} - y)}{- 1 (x - 2 y)}$

Passaggio 5.3.3.11

Riscrivi l'espressione.

$y' = \frac{3 x^{2} - y}{x - 2 y}$

Passaggio 6

Sostituisci $y'$ con $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{3 x^{2} - y}{x - 2 y}$