Calcolo Esempi

$x^{3} + y^{3} = 3 x y$

Passaggio 1

Differenzia entrambi i lati dell'equazione.

$\frac{d}{d x} (x^{3} + y^{3}) = \frac{d}{d x} (3 x y)$

Passaggio 2

Differenzia il lato sinistro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $x^{3} + y^{3}$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [y^{3}]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [y^{3}]$

Passaggio 2.1.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 3$ .

$3 x^{2} + \frac{d}{d x} [y^{3}]$

Passaggio 2.2

Calcola $\frac{d}{d x} [y^{3}]$ .

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Passaggio 2.2.1

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{3}$ e $g (x) = y$ .

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Passaggio 2.2.1.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $y$ .

$3 x^{2} + \frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d x} [y]$

Passaggio 2.2.1.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ è $n u^{n - 1}$ dove $n = 3$ .

$3 x^{2} + 3 u^{2} \frac{d}{d x} [y]$

Passaggio 2.2.1.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $y$ .

$3 x^{2} + 3 y^{2} \frac{d}{d x} [y]$

Passaggio 2.2.2

Riscrivi $\frac{d}{d x} [y]$ come $y'$ .

$3 x^{2} + 3 y^{2} y'$

Passaggio 3

Differenzia il lato destro dell'equazione.

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Passaggio 3.1

Poiché $3$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $3 x y$ rispetto a $x$ è $3 \frac{d}{d x} [x y]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x y]$

Passaggio 3.2

Differenzia usando la regola del prodotto, che indica che $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = x$ e $g (x) = y$ .

$3 (x \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 3.3

Riscrivi $\frac{d}{d x} [y]$ come $y'$ .

$3 (x y' + y \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 3.4

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$3 (x y' + y \cdot 1)$

Passaggio 3.5

Moltiplica $y$ per $1$ .

$3 (x y' + y)$

Passaggio 3.6

Applica la proprietà distributiva.

$3 x y' + 3 y$

Passaggio 4

Forma nuovamente l'equazione eguagliando il lato sinistro al lato destro.

$3 x^{2} + 3 y^{2} y' = 3 x y' + 3 y$

Passaggio 5

Risolvi per $y'$ .

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Passaggio 5.1

Sottrai $3 x y'$ da entrambi i lati dell'equazione.

$3 x^{2} + 3 y^{2} y' - 3 x y' = 3 y$

Passaggio 5.2

Sottrai $3 x^{2}$ da entrambi i lati dell'equazione.

$3 y^{2} y' - 3 x y' = 3 y - 3 x^{2}$

Passaggio 5.3

Scomponi $3 y'$ da $3 y^{2} y' - 3 x y'$ .

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Passaggio 5.3.1

Scomponi $3 y'$ da $3 y^{2} y'$ .

$3 y' y^{2} - 3 x y' = 3 y - 3 x^{2}$

Passaggio 5.3.2

Scomponi $3 y'$ da $- 3 x y'$ .

$3 y' y^{2} + 3 y' (- x) = 3 y - 3 x^{2}$

Passaggio 5.3.3

Scomponi $3 y'$ da $3 y' y^{2} + 3 y' (- x)$ .

$3 y' (y^{2} - x) = 3 y - 3 x^{2}$

Passaggio 5.4

Dividi per $3 (y^{2} - x)$ ciascun termine in $3 y' (y^{2} - x) = 3 y - 3 x^{2}$ e semplifica.

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Passaggio 5.4.1

Dividi per $3 (y^{2} - x)$ ciascun termine in $3 y' (y^{2} - x) = 3 y - 3 x^{2}$ .

$\frac{3 y' (y^{2} - x)}{3 (y^{2} - x)} = \frac{3 y}{3 (y^{2} - x)} + \frac{- 3 x^{2}}{3 (y^{2} - x)}$

Passaggio 5.4.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.2.1

Elimina il fattore comune di $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{3 y' (y^{2} - x)}{3 (y^{2} - x)} = \frac{3 y}{3 (y^{2} - x)} + \frac{- 3 x^{2}}{3 (y^{2} - x)}$

Passaggio 5.4.2.1.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{y' (y^{2} - x)}{y^{2} - x} = \frac{3 y}{3 (y^{2} - x)} + \frac{- 3 x^{2}}{3 (y^{2} - x)}$

Passaggio 5.4.2.2

Elimina il fattore comune di $y^{2} - x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.2.2.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{y' (y^{2} - x)}{y^{2} - x} = \frac{3 y}{3 (y^{2} - x)} + \frac{- 3 x^{2}}{3 (y^{2} - x)}$

Passaggio 5.4.2.2.2

Dividi $y'$ per $1$ .

$y' = \frac{3 y}{3 (y^{2} - x)} + \frac{- 3 x^{2}}{3 (y^{2} - x)}$

Passaggio 5.4.3

Semplifica il lato destro.

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Passaggio 5.4.3.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.3.1.1

Elimina il fattore comune di $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.3.1.1.1

Elimina il fattore comune.

$y' = \frac{3 y}{3 (y^{2} - x)} + \frac{- 3 x^{2}}{3 (y^{2} - x)}$

Passaggio 5.4.3.1.1.2

Riscrivi l'espressione.

$y' = \frac{y}{y^{2} - x} + \frac{- 3 x^{2}}{3 (y^{2} - x)}$

Passaggio 5.4.3.1.2

Elimina il fattore comune di $- 3$ e $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.3.1.2.1

Scomponi $3$ da $- 3 x^{2}$ .

$y' = \frac{y}{y^{2} - x} + \frac{3 (- x^{2})}{3 (y^{2} - x)}$

Passaggio 5.4.3.1.2.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.3.1.2.2.1

Elimina il fattore comune.

$y' = \frac{y}{y^{2} - x} + \frac{3 (- x^{2})}{3 (y^{2} - x)}$

Passaggio 5.4.3.1.2.2.2

Riscrivi l'espressione.

$y' = \frac{y}{y^{2} - x} + \frac{- x^{2}}{y^{2} - x}$

Passaggio 5.4.3.1.3

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$y' = \frac{y}{y^{2} - x} - \frac{x^{2}}{y^{2} - x}$

Passaggio 5.4.3.2

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$y' = \frac{y - x^{2}}{y^{2} - x}$

Passaggio 6

Sostituisci $y'$ con $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y - x^{2}}{y^{2} - x}$