Calcolo Esempi

$\int_{0}^{1} \frac{x}{{(x^{2} + 1)}^{3}} d x$

Passaggio 1

Sia $u = x^{2} + 1$ . Allora $d u = 2 x d x$ , quindi $\frac{1}{2} d u = x d x$ . Riscrivi usando $u$ e $d$ $u$ .

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Passaggio 1.1

Sia $u = x^{2} + 1$ . Trova $\frac{d u}{d x}$ .

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Passaggio 1.1.1

Differenzia $x^{2} + 1$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2} + 1]$

Passaggio 1.1.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $x^{2} + 1$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$

Passaggio 1.1.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$2 x + \frac{d}{d x} [1]$

Passaggio 1.1.4

Poiché $1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$2 x + 0$

Passaggio 1.1.5

Somma $2 x$ e $0$ .

$2 x$

Passaggio 1.2

Sostituisci il limite inferiore a $x$ in $u = x^{2} + 1$ .

$u_{lower} = 0^{2} + 1$

Passaggio 1.3

Semplifica.

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Passaggio 1.3.1

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$u_{lower} = 0 + 1$

Passaggio 1.3.2

Somma $0$ e $1$ .

$u_{lower} = 1$

Passaggio 1.4

Sostituisci il limite superiore a $x$ in $u = x^{2} + 1$ .

$u_{upper} = 1^{2} + 1$

Passaggio 1.5

Semplifica.

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Passaggio 1.5.1

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$u_{upper} = 1 + 1$

Passaggio 1.5.2

Somma $1$ e $1$ .

$u_{upper} = 2$

Passaggio 1.6

I valori trovati per $u_{lower}$ e $u_{upper}$ saranno usati per calcolare l'integrale definito.

$u_{lower} = 1$

$u_{upper} = 2$

Passaggio 1.7

Riscrivi il problema usando $u$ , $d u$ e i nuovi limiti dell'integrazione.

$\int_{1}^{2} \frac{1}{u^{3}} \cdot \frac{1}{2} d u$

Passaggio 2

Semplifica.

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Passaggio 2.1

Moltiplica $\frac{1}{u^{3}}$ per $\frac{1}{2}$ .

$\int_{1}^{2} \frac{1}{u^{3} \cdot 2} d u$

Passaggio 2.2

Sposta $2$ alla sinistra di $u^{3}$ .

$\int_{1}^{2} \frac{1}{2 u^{3}} d u$

Passaggio 3

Poiché $\frac{1}{2}$ è costante rispetto a $u$ , sposta $\frac{1}{2}$ fuori dall'integrale.

$\frac{1}{2} \int_{1}^{2} \frac{1}{u^{3}} d u$

Passaggio 4

Applica le regole di base degli esponenti.

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Passaggio 4.1

Sposta $u^{3}$ fuori dal denominatore elevandolo alla potenza di $- 1$ .

$\frac{1}{2} \int_{1}^{2} {(u^{3})}^{- 1} d u$

Passaggio 4.2

Moltiplica gli esponenti in ${(u^{3})}^{- 1}$ .

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Passaggio 4.2.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{2} \int_{1}^{2} u^{3 \cdot - 1} d u$

Passaggio 4.2.2

Moltiplica $3$ per $- 1$ .

$\frac{1}{2} \int_{1}^{2} u^{- 3} d u$

Passaggio 5

Secondo la regola della potenza, l'intero di $u^{- 3}$ rispetto a $u$ è $- \frac{1}{2} u^{- 2}$ .

$\frac{1}{2} - \frac{1}{2} u^{- 2}]_{1}^{2}$

Passaggio 6

Sostituisci e semplifica.

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Passaggio 6.1

Calcola $- \frac{1}{2} u^{- 2}$ per $2$ e per $1$ .

$\frac{1}{2} ((- \frac{1}{2} \cdot 2^{- 2}) + \frac{1}{2} \cdot 1^{- 2})$

Passaggio 6.2

Semplifica.

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Passaggio 6.2.1

Riscrivi l'espressione usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{2} (- \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2^{2}} + \frac{1}{2} \cdot 1^{- 2})$

Passaggio 6.2.2

Eleva $2$ alla potenza di $2$ .

$\frac{1}{2} (- \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{4} + \frac{1}{2} \cdot 1^{- 2})$

Passaggio 6.2.3

Moltiplica $\frac{1}{4}$ per $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} (- \frac{1}{4 \cdot 2} + \frac{1}{2} \cdot 1^{- 2})$

Passaggio 6.2.4

Moltiplica $4$ per $2$ .

$\frac{1}{2} (- \frac{1}{8} + \frac{1}{2} \cdot 1^{- 2})$

Passaggio 6.2.5

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$\frac{1}{2} (- \frac{1}{8} + \frac{1}{2} \cdot 1)$

Passaggio 6.2.6

Moltiplica $\frac{1}{2}$ per $1$ .

$\frac{1}{2} (- \frac{1}{8} + \frac{1}{2})$

Passaggio 6.2.7

Per scrivere $\frac{1}{2}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{4}{4}$ .

$\frac{1}{2} (- \frac{1}{8} + \frac{1}{2} \cdot \frac{4}{4})$

Passaggio 6.2.8

Scrivi ogni espressione con un comune denominatore di $8$ , moltiplicando ciascuna per il fattore appropriato di $1$ .

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Passaggio 6.2.8.1

Moltiplica $\frac{1}{2}$ per $\frac{4}{4}$ .

$\frac{1}{2} (- \frac{1}{8} + \frac{4}{2 \cdot 4})$

Passaggio 6.2.8.2

Moltiplica $2$ per $4$ .

$\frac{1}{2} (- \frac{1}{8} + \frac{4}{8})$

Passaggio 6.2.9

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{- 1 + 4}{8}$

Passaggio 6.2.10

Somma $- 1$ e $4$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{3}{8}$

Passaggio 6.2.11

Moltiplica $\frac{1}{2}$ per $\frac{3}{8}$ .

$\frac{3}{2 \cdot 8}$

Passaggio 6.2.12

Moltiplica $2$ per $8$ .

$\frac{3}{16}$

Passaggio 7

Il risultato può essere mostrato in più forme.

Forma esatta:

$\frac{3}{16}$

Forma decimale:

$0.1875$

Passaggio 8