Calcolo Esempi

$\int_{1}^{2} \frac{e^{\frac{1}{x^{3}}}}{x^{4}} d x$

Passaggio 1

Sia $u = \frac{1}{x^{3}}$ . Allora $d u = - \frac{3}{x^{4}} d x$ , quindi $1 d u = - \frac{3}{x^{4}} d x$ . Riscrivi usando $u$ e $d$ $u$ .

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Passaggio 1.1

Sia $u = \frac{1}{x^{3}}$ . Trova $\frac{d u}{d x}$ .

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Passaggio 1.1.1

Differenzia $\frac{1}{x^{3}}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{3}}]$

Passaggio 1.1.2

Applica le regole di base degli esponenti.

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Passaggio 1.1.2.1

Riscrivi $\frac{1}{x^{3}}$ come ${(x^{3})}^{- 1}$ .

$\frac{d}{d x} [{(x^{3})}^{- 1}]$

Passaggio 1.1.2.2

Moltiplica gli esponenti in ${(x^{3})}^{- 1}$ .

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Passaggio 1.1.2.2.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{d}{d x} [x^{3 \cdot - 1}]$

Passaggio 1.1.2.2.2

Moltiplica $3$ per $- 1$ .

$\frac{d}{d x} [x^{- 3}]$

Passaggio 1.1.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = - 3$ .

$- 3 x^{- 4}$

Passaggio 1.1.4

Semplifica.

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Passaggio 1.1.4.1

Riscrivi l'espressione usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 3 \frac{1}{x^{4}}$

Passaggio 1.1.4.2

Raccogli i termini.

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Passaggio 1.1.4.2.1

$- 3$ e $\frac{1}{x^{4}}$ .

$\frac{- 3}{x^{4}}$

Passaggio 1.1.4.2.2

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$- \frac{3}{x^{4}}$

Passaggio 1.2

Sostituisci il limite inferiore a $x$ in $u = \frac{1}{x^{3}}$ .

$u_{lower} = \frac{1}{1^{3}}$

Passaggio 1.3

Semplifica.

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Passaggio 1.3.1

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$u_{lower} = \frac{1}{1}$

Passaggio 1.3.2

Dividi $1$ per $1$ .

$u_{lower} = 1$

Passaggio 1.4

Sostituisci il limite superiore a $x$ in $u = \frac{1}{x^{3}}$ .

$u_{upper} = \frac{1}{2^{3}}$

Passaggio 1.5

Eleva $2$ alla potenza di $3$ .

$u_{upper} = \frac{1}{8}$

Passaggio 1.6

I valori trovati per $u_{lower}$ e $u_{upper}$ saranno usati per calcolare l'integrale definito.

$u_{lower} = 1$

$u_{upper} = \frac{1}{8}$

Passaggio 1.7

Riscrivi il problema usando $u$ , $d u$ e i nuovi limiti dell'integrazione.

$\int_{1}^{\frac{1}{8}} - \frac{1}{3} e^{u} d u$

Passaggio 2

Poiché $- \frac{1}{3}$ è costante rispetto a $u$ , sposta $- \frac{1}{3}$ fuori dall'integrale.

$- \frac{1}{3} \int_{1}^{\frac{1}{8}} e^{u} d u$

Passaggio 3

L'integrale di $e^{u}$ rispetto a $u$ è $e^{u}$ .

$- \frac{1}{3} e^{u}]_{1}^{\frac{1}{8}}$

Passaggio 4

Sostituisci e semplifica.

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Passaggio 4.1

Calcola $e^{u}$ per $\frac{1}{8}$ e per $1$ .

$- \frac{1}{3} ((e^{\frac{1}{8}}) - e^{1})$

Passaggio 4.2

Semplifica.

$- \frac{1}{3} (e^{\frac{1}{8}} - e)$

Passaggio 5

Semplifica.

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Passaggio 5.1

Applica la proprietà distributiva.

$- \frac{1}{3} e^{\frac{1}{8}} - \frac{1}{3} (- e)$

Passaggio 5.2

$e^{\frac{1}{8}}$ e $\frac{1}{3}$ .

$- \frac{e^{\frac{1}{8}}}{3} - \frac{1}{3} (- e)$

Passaggio 5.3

Moltiplica $- \frac{1}{3} (- e)$ .

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Passaggio 5.3.1

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$- \frac{e^{\frac{1}{8}}}{3} + 1 (\frac{1}{3}) e$

Passaggio 5.3.2

Moltiplica $\frac{1}{3}$ per $1$ .

$- \frac{e^{\frac{1}{8}}}{3} + \frac{1}{3} e$

Passaggio 5.3.3

$\frac{1}{3}$ e $e$ .

$- \frac{e^{\frac{1}{8}}}{3} + \frac{e}{3}$

Passaggio 6

Il risultato può essere mostrato in più forme.

Forma esatta:

$- \frac{e^{\frac{1}{8}}}{3} + \frac{e}{3}$

Forma decimale:

$0.52837779 \dots$

Passaggio 7