Calcolo Esempi

$\int_{- 1}^{1} (4 x^{2} - 1) (x + 3) d x$

Passaggio 1

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Applica la proprietà distributiva.

$\int_{- 1}^{1} 4 x^{2} (x + 3) - 1 (x + 3) d x$

Passaggio 1.2

Applica la proprietà distributiva.

$\int_{- 1}^{1} 4 x^{2} x + 4 x^{2} \cdot 3 - 1 (x + 3) d x$

Passaggio 1.3

Applica la proprietà distributiva.

$\int_{- 1}^{1} 4 x^{2} x + 4 x^{2} \cdot 3 - 1 x - 1 \cdot 3 d x$

Passaggio 1.4

Sposta $x^{2}$ .

$\int_{- 1}^{1} 4 x^{2} x + 4 \cdot 3 x^{2} - 1 x - 1 \cdot 3 d x$

Passaggio 1.5

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$\int_{- 1}^{1} 4 (x^{2} x^{1}) + 4 \cdot 3 x^{2} - 1 x - 1 \cdot 3 d x$

Passaggio 1.6

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\int_{- 1}^{1} 4 x^{2 + 1} + 4 \cdot 3 x^{2} - 1 x - 1 \cdot 3 d x$

Passaggio 1.7

Somma $2$ e $1$ .

$\int_{- 1}^{1} 4 x^{3} + 4 \cdot 3 x^{2} - 1 x - 1 \cdot 3 d x$

Passaggio 1.8

Moltiplica $4$ per $3$ .

$\int_{- 1}^{1} 4 x^{3} + 12 x^{2} - 1 x - 1 \cdot 3 d x$

Passaggio 1.9

Moltiplica $- 1$ per $3$ .

$\int_{- 1}^{1} 4 x^{3} + 12 x^{2} - 1 x - 3 d x$

Passaggio 2

Riscrivi $- 1 x$ come $- x$ .

$\int_{- 1}^{1} 4 x^{3} + 12 x^{2} - x - 3 d x$

Passaggio 3

Dividi il singolo integrale in più integrali.

$\int_{- 1}^{1} 4 x^{3} d x + \int_{- 1}^{1} 12 x^{2} d x + \int_{- 1}^{1} - x d x + \int_{- 1}^{1} - 3 d x$

Passaggio 4

Poiché $4$ è costante rispetto a $x$ , sposta $4$ fuori dall'integrale.

$4 \int_{- 1}^{1} x^{3} d x + \int_{- 1}^{1} 12 x^{2} d x + \int_{- 1}^{1} - x d x + \int_{- 1}^{1} - 3 d x$

Passaggio 5

Secondo la regola di potenza, l'intero di $x^{3}$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{4} x^{4}$ .

$4 (\frac{1}{4} x^{4}]_{- 1}^{1}) + \int_{- 1}^{1} 12 x^{2} d x + \int_{- 1}^{1} - x d x + \int_{- 1}^{1} - 3 d x$

Passaggio 6

$\frac{1}{4}$ e $x^{4}$ .

$4 (\frac{x^{4}}{4}]_{- 1}^{1}) + \int_{- 1}^{1} 12 x^{2} d x + \int_{- 1}^{1} - x d x + \int_{- 1}^{1} - 3 d x$

Passaggio 7

Poiché $12$ è costante rispetto a $x$ , sposta $12$ fuori dall'integrale.

$4 (\frac{x^{4}}{4}]_{- 1}^{1}) + 12 \int_{- 1}^{1} x^{2} d x + \int_{- 1}^{1} - x d x + \int_{- 1}^{1} - 3 d x$

Passaggio 8

Secondo la regola di potenza, l'intero di $x^{2}$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$4 (\frac{x^{4}}{4}]_{- 1}^{1}) + 12 (\frac{1}{3} x^{3}]_{- 1}^{1}) + \int_{- 1}^{1} - x d x + \int_{- 1}^{1} - 3 d x$

Passaggio 9

$\frac{1}{3}$ e $x^{3}$ .

$4 (\frac{x^{4}}{4}]_{- 1}^{1}) + 12 (\frac{x^{3}}{3}]_{- 1}^{1}) + \int_{- 1}^{1} - x d x + \int_{- 1}^{1} - 3 d x$

Passaggio 10

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , sposta $- 1$ fuori dall'integrale.

$4 (\frac{x^{4}}{4}]_{- 1}^{1}) + 12 (\frac{x^{3}}{3}]_{- 1}^{1}) - \int_{- 1}^{1} x d x + \int_{- 1}^{1} - 3 d x$

Passaggio 11

Secondo la regola di potenza, l'intero di $x$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$4 (\frac{x^{4}}{4}]_{- 1}^{1}) + 12 (\frac{x^{3}}{3}]_{- 1}^{1}) - (\frac{1}{2} x^{2}]_{- 1}^{1}) + \int_{- 1}^{1} - 3 d x$

Passaggio 12

$\frac{1}{2}$ e $x^{2}$ .

$4 (\frac{x^{4}}{4}]_{- 1}^{1}) + 12 (\frac{x^{3}}{3}]_{- 1}^{1}) - (\frac{x^{2}}{2}]_{- 1}^{1}) + \int_{- 1}^{1} - 3 d x$

Passaggio 13

Applica la regola costante.

$4 (\frac{x^{4}}{4}]_{- 1}^{1}) + 12 (\frac{x^{3}}{3}]_{- 1}^{1}) - (\frac{x^{2}}{2}]_{- 1}^{1}) + - 3 x]_{- 1}^{1}$

Passaggio 14

Sostituisci e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 14.1

Calcola $\frac{x^{4}}{4}$ per $1$ e per $- 1$ .

$4 ((\frac{1^{4}}{4}) - \frac{{(- 1)}^{4}}{4}) + 12 (\frac{x^{3}}{3}]_{- 1}^{1}) - (\frac{x^{2}}{2}]_{- 1}^{1}) + - 3 x]_{- 1}^{1}$

Passaggio 14.2

Calcola $\frac{x^{3}}{3}$ per $1$ e per $- 1$ .

$4 (\frac{1^{4}}{4} - \frac{{(- 1)}^{4}}{4}) + 12 (\frac{1^{3}}{3} - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}) - (\frac{x^{2}}{2}]_{- 1}^{1}) + - 3 x]_{- 1}^{1}$

Passaggio 14.3

Calcola $\frac{x^{2}}{2}$ per $1$ e per $- 1$ .

$4 (\frac{1^{4}}{4} - \frac{{(- 1)}^{4}}{4}) + 12 (\frac{1^{3}}{3} - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}) - ((\frac{1^{2}}{2}) - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}) + - 3 x]_{- 1}^{1}$

Passaggio 14.4

Calcola $- 3 x$ per $1$ e per $- 1$ .

$4 (\frac{1^{4}}{4} - \frac{{(- 1)}^{4}}{4}) + 12 (\frac{1^{3}}{3} - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}) - (\frac{1^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}) + - 3 \cdot 1 + 3 \cdot - 1$

Passaggio 14.5

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 14.5.1

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$4 (\frac{1}{4} - \frac{{(- 1)}^{4}}{4}) + 12 (\frac{1^{3}}{3} - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}) - (\frac{1^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}) - 3 \cdot 1 + 3 \cdot - 1$

Passaggio 14.5.2

Eleva $- 1$ alla potenza di $4$ .

$4 (\frac{1}{4} - \frac{1}{4}) + 12 (\frac{1^{3}}{3} - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}) - (\frac{1^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}) - 3 \cdot 1 + 3 \cdot - 1$

Passaggio 14.5.3

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$4 \frac{1 - 1}{4} + 12 (\frac{1^{3}}{3} - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}) - (\frac{1^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}) - 3 \cdot 1 + 3 \cdot - 1$

Passaggio 14.5.4

Sottrai $1$ da $1$ .

$4 (\frac{0}{4}) + 12 (\frac{1^{3}}{3} - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}) - (\frac{1^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}) - 3 \cdot 1 + 3 \cdot - 1$

Passaggio 14.5.5

Elimina il fattore comune di $0$ e $4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 14.5.5.1

Scomponi $4$ da $0$ .

$4 \frac{4 (0)}{4} + 12 (\frac{1^{3}}{3} - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}) - (\frac{1^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}) - 3 \cdot 1 + 3 \cdot - 1$

Passaggio 14.5.5.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 14.5.5.2.1

Scomponi $4$ da $4$ .

$4 \frac{4 \cdot 0}{4 \cdot 1} + 12 (\frac{1^{3}}{3} - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}) - (\frac{1^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}) - 3 \cdot 1 + 3 \cdot - 1$

Passaggio 14.5.5.2.2

Elimina il fattore comune.

$4 \frac{4 \cdot 0}{4 \cdot 1} + 12 (\frac{1^{3}}{3} - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}) - (\frac{1^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}) - 3 \cdot 1 + 3 \cdot - 1$

Passaggio 14.5.5.2.3

Riscrivi l'espressione.

$4 (\frac{0}{1}) + 12 (\frac{1^{3}}{3} - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}) - (\frac{1^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}) - 3 \cdot 1 + 3 \cdot - 1$

Passaggio 14.5.5.2.4

Dividi $0$ per $1$ .

$4 \cdot 0 + 12 (\frac{1^{3}}{3} - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}) - (\frac{1^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}) - 3 \cdot 1 + 3 \cdot - 1$

Passaggio 14.5.6

Moltiplica $4$ per $0$ .

$0 + 12 (\frac{1^{3}}{3} - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}) - (\frac{1^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}) - 3 \cdot 1 + 3 \cdot - 1$

Passaggio 14.5.7

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$0 + 12 (\frac{1}{3} - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}) - (\frac{1^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}) - 3 \cdot 1 + 3 \cdot - 1$

Passaggio 14.5.8

Eleva $- 1$ alla potenza di $3$ .

$0 + 12 (\frac{1}{3} - \frac{- 1}{3}) - (\frac{1^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}) - 3 \cdot 1 + 3 \cdot - 1$

Passaggio 14.5.9

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$0 + 12 (\frac{1}{3} - - \frac{1}{3}) - (\frac{1^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}) - 3 \cdot 1 + 3 \cdot - 1$

Passaggio 14.5.10

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$0 + 12 (\frac{1}{3} + 1 (\frac{1}{3})) - (\frac{1^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}) - 3 \cdot 1 + 3 \cdot - 1$

Passaggio 14.5.11

Moltiplica $\frac{1}{3}$ per $1$ .

$0 + 12 (\frac{1}{3} + \frac{1}{3}) - (\frac{1^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}) - 3 \cdot 1 + 3 \cdot - 1$

Passaggio 14.5.12

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$0 + 12 \frac{1 + 1}{3} - (\frac{1^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}) - 3 \cdot 1 + 3 \cdot - 1$

Passaggio 14.5.13

Somma $1$ e $1$ .

$0 + 12 (\frac{2}{3}) - (\frac{1^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}) - 3 \cdot 1 + 3 \cdot - 1$

Passaggio 14.5.14

$12$ e $\frac{2}{3}$ .

$0 + \frac{12 \cdot 2}{3} - (\frac{1^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}) - 3 \cdot 1 + 3 \cdot - 1$

Passaggio 14.5.15

Moltiplica $12$ per $2$ .

$0 + \frac{24}{3} - (\frac{1^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}) - 3 \cdot 1 + 3 \cdot - 1$

Passaggio 14.5.16

Elimina il fattore comune di $24$ e $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 14.5.16.1

Scomponi $3$ da $24$ .

$0 + \frac{3 \cdot 8}{3} - (\frac{1^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}) - 3 \cdot 1 + 3 \cdot - 1$

Passaggio 14.5.16.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 14.5.16.2.1

Scomponi $3$ da $3$ .

$0 + \frac{3 \cdot 8}{3 (1)} - (\frac{1^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}) - 3 \cdot 1 + 3 \cdot - 1$

Passaggio 14.5.16.2.2

Elimina il fattore comune.

$0 + \frac{3 \cdot 8}{3 \cdot 1} - (\frac{1^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}) - 3 \cdot 1 + 3 \cdot - 1$

Passaggio 14.5.16.2.3

Riscrivi l'espressione.

$0 + \frac{8}{1} - (\frac{1^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}) - 3 \cdot 1 + 3 \cdot - 1$

Passaggio 14.5.16.2.4

Dividi $8$ per $1$ .

$0 + 8 - (\frac{1^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}) - 3 \cdot 1 + 3 \cdot - 1$

Passaggio 14.5.17

Somma $0$ e $8$ .

$8 - (\frac{1^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}) - 3 \cdot 1 + 3 \cdot - 1$

Passaggio 14.5.18

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$8 - (\frac{1}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}) - 3 \cdot 1 + 3 \cdot - 1$

Passaggio 14.5.19

Eleva $- 1$ alla potenza di $2$ .

$8 - (\frac{1}{2} - \frac{1}{2}) - 3 \cdot 1 + 3 \cdot - 1$

Passaggio 14.5.20

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$8 - \frac{1 - 1}{2} - 3 \cdot 1 + 3 \cdot - 1$

Passaggio 14.5.21

Sottrai $1$ da $1$ .

$8 - \frac{0}{2} - 3 \cdot 1 + 3 \cdot - 1$

Passaggio 14.5.22

Elimina il fattore comune di $0$ e $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 14.5.22.1

Scomponi $2$ da $0$ .

$8 - \frac{2 (0)}{2} - 3 \cdot 1 + 3 \cdot - 1$

Passaggio 14.5.22.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 14.5.22.2.1

Scomponi $2$ da $2$ .

$8 - \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1} - 3 \cdot 1 + 3 \cdot - 1$

Passaggio 14.5.22.2.2

Elimina il fattore comune.

$8 - \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1} - 3 \cdot 1 + 3 \cdot - 1$

Passaggio 14.5.22.2.3

Riscrivi l'espressione.

$8 - \frac{0}{1} - 3 \cdot 1 + 3 \cdot - 1$

Passaggio 14.5.22.2.4

Dividi $0$ per $1$ .

$8 - 0 - 3 \cdot 1 + 3 \cdot - 1$

Passaggio 14.5.23

Moltiplica $- 1$ per $0$ .

$8 + 0 - 3 \cdot 1 + 3 \cdot - 1$

Passaggio 14.5.24

Somma $8$ e $0$ .

$8 - 3 \cdot 1 + 3 \cdot - 1$

Passaggio 14.5.25

Moltiplica $- 3$ per $1$ .

$8 - 3 + 3 \cdot - 1$

Passaggio 14.5.26

Moltiplica $3$ per $- 1$ .

$8 - 3 - 3$

Passaggio 14.5.27

Sottrai $3$ da $- 3$ .

$8 - 6$

Passaggio 14.5.28

Sottrai $6$ da $8$ .

$2$

Passaggio 15