Calcolo Esempi

$\int \frac{4 x^{2}}{x^{2} + 9} d x$

Passaggio 1

Poiché $4$ è costante rispetto a $x$ , sposta $4$ fuori dall'integrale.

$4 \int \frac{x^{2}}{x^{2} + 9} d x$

Passaggio 2

Dividi $x^{2}$ per $x^{2} + 9$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Imposta i polinomi da dividere. Se non c'è un termine per ogni esponente, inseriscine uno con un valore di $0$ .

$x^{2}$

$0 x$

$9$

$x^{2}$

$0 x$

$0$

Passaggio 2.2

Dividi il termine di ordine più alto nel dividendo $x^{2}$ per il termine di ordine più alto nel divisore $x^{2}$ .

							$1$
	$x^{2}$	+	$0 x$	+	$9$		$x^{2}$	+	$0 x$	+	$0$

Passaggio 2.3

Moltiplica il nuovo quoziente per il divisore.

						$1$
$x^{2}$	+	$0 x$	+	$9$		$x^{2}$	+	$0 x$	+	$0$
					+	$x^{2}$	+	$0$	+	$9$

Passaggio 2.4

L'espressione deve essere sottratta dal dividendo; quindi, cambia tutti i segni in $x^{2} + 0 + 9$

						$1$
$x^{2}$	+	$0 x$	+	$9$		$x^{2}$	+	$0 x$	+	$0$
					-	$x^{2}$	-	$0$	-	$9$

Passaggio 2.5

Dopo aver cambiato i segni, somma l'ultimo dividendo del polinomio moltiplicato per trovare il nuovo dividendo.

						$1$
$x^{2}$	+	$0 x$	+	$9$		$x^{2}$	+	$0 x$	+	$0$
					-	$x^{2}$	-	$0$	-	$9$
									-	$9$

Passaggio 2.6

La risposta finale è il quoziente più il resto sopra il divisore.

$4 \int 1 - \frac{9}{x^{2} + 9} d x$

Passaggio 3

Dividi il singolo integrale in più integrali.

$4 (\int d x + \int - \frac{9}{x^{2} + 9} d x)$

Passaggio 4

Applica la regola costante.

$4 (x + C + \int - \frac{9}{x^{2} + 9} d x)$

Passaggio 5

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , sposta $- 1$ fuori dall'integrale.

$4 (x + C - \int \frac{9}{x^{2} + 9} d x)$

Passaggio 6

Poiché $9$ è costante rispetto a $x$ , sposta $9$ fuori dall'integrale.

$4 (x + C - (9 \int \frac{1}{x^{2} + 9} d x))$

Passaggio 7

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1

Moltiplica $9$ per $- 1$ .

$4 (x + C - 9 \int \frac{1}{x^{2} + 9} d x)$

Passaggio 7.2

Riordina $x^{2}$ e $9$ .

$4 (x + C - 9 \int \frac{1}{9 + x^{2}} d x)$

Passaggio 7.3

Riscrivi $9$ come $3^{2}$ .

$4 (x + C - 9 \int \frac{1}{3^{2} + x^{2}} d x)$

Passaggio 8

L'integrale di $\frac{1}{3^{2} + x^{2}}$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{3} \arctan (\frac{x}{3}) + C$ .

$4 (x + C - 9 (\frac{1}{3} \arctan (\frac{x}{3}) + C))$

Passaggio 9

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1

$\frac{1}{3}$ e $\arctan (\frac{x}{3})$ .

$4 (x + C - 9 (\frac{\arctan (\frac{x}{3})}{3} + C))$

Passaggio 9.2

Semplifica.

$4 (x - 3 \arctan (\frac{x}{3})) + C$

Passaggio 9.3

Riordina i termini.

$4 (x - 3 \arctan (\frac{1}{3} x)) + C$