Calcolo Esempi

$\int \frac{\cos (2 x)}{1 + \sin (2 x)} d x$

Passaggio 1

Sia $u_{2} = 1 + \sin (2 x)$ . Allora $d u_{2} = 2 \cos (2 x) d x$ , quindi $\frac{1}{2} d u_{2} = \cos (2 x) d x$ . Riscrivi usando $u_{2}$ e $d$ $u_{2}$ .

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Passaggio 1.1

Sia $u_{2} = 1 + \sin (2 x)$ . Trova $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

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Passaggio 1.1.1

Differenzia $1 + \sin (2 x)$ .

$\frac{d}{d x} [1 + \sin (2 x)]$

Passaggio 1.1.2

Differenzia.

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Passaggio 1.1.2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $1 + \sin (2 x)$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [\sin (2 x)]$ .

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [\sin (2 x)]$

Passaggio 1.1.2.2

Poiché $1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [\sin (2 x)]$

Passaggio 1.1.3

Calcola $\frac{d}{d x} [\sin (2 x)]$ .

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Passaggio 1.1.3.1

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = \sin (x)$ e $g (x) = 2 x$ .

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Passaggio 1.1.3.1.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{1}$ come $2 x$ .

$0 + \frac{d}{d u_{1}} [\sin (u_{1})] \frac{d}{d x} [2 x]$

Passaggio 1.1.3.1.2

La derivata di $\sin (u_{1})$ rispetto a $u_{1}$ è $\cos (u_{1})$ .

$0 + \cos (u_{1}) \frac{d}{d x} [2 x]$

Passaggio 1.1.3.1.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{1}$ con $2 x$ .

$0 + \cos (2 x) \frac{d}{d x} [2 x]$

Passaggio 1.1.3.2

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $2 x$ rispetto a $x$ è $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$0 + \cos (2 x) (2 \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 1.1.3.3

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$0 + \cos (2 x) (2 \cdot 1)$

Passaggio 1.1.3.4

Moltiplica $2$ per $1$ .

$0 + \cos (2 x) \cdot 2$

Passaggio 1.1.3.5

Sposta $2$ alla sinistra di $\cos (2 x)$ .

$0 + 2 \cos (2 x)$

Passaggio 1.1.4

Somma $0$ e $2 \cos (2 x)$ .

$2 \cos (2 x)$

Passaggio 1.2

Riscrivi il problema utilizzando $u_{2}$ e $d u_{2}$ .

$\int \frac{1}{u_{2}} \cdot \frac{1}{2} d u_{2}$

Passaggio 2

Semplifica.

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Passaggio 2.1

Moltiplica $\frac{1}{u_{2}}$ per $\frac{1}{2}$ .

$\int \frac{1}{u_{2} \cdot 2} d u_{2}$

Passaggio 2.2

Sposta $2$ alla sinistra di $u_{2}$ .

$\int \frac{1}{2 u_{2}} d u_{2}$

Passaggio 3

Poiché $\frac{1}{2}$ è costante rispetto a $u_{2}$ , sposta $\frac{1}{2}$ fuori dall'integrale.

$\frac{1}{2} \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

Passaggio 4

L'integrale di $\frac{1}{u_{2}}$ rispetto a $u_{2}$ è $\ln (| u_{2} |)$ .

$\frac{1}{2} (\ln (| u_{2} |) + C)$

Passaggio 5

Semplifica.

$\frac{1}{2} \ln (| u_{2} |) + C$

Passaggio 6

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{2}$ con $1 + \sin (2 x)$ .

$\frac{1}{2} \ln (| 1 + \sin (2 x) |) + C$