Calcolo Esempi

$\int {(- x^{8} + 4)}^{6} x^{7} d x$

Passaggio 1

Sia $u = - x^{8} + 4$ . Allora $d u = - 8 x^{7} d x$ , quindi $- \frac{1}{8} d u = x^{7} d x$ . Riscrivi usando $u$ e $d$ $u$ .

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Passaggio 1.1

Sia $u = - x^{8} + 4$ . Trova $\frac{d u}{d x}$ .

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Passaggio 1.1.1

Differenzia $- x^{8} + 4$ .

$\frac{d}{d x} [- x^{8} + 4]$

Passaggio 1.1.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $- x^{8} + 4$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [- x^{8}] + \frac{d}{d x} [4]$ .

$\frac{d}{d x} [- x^{8}] + \frac{d}{d x} [4]$

Passaggio 1.1.3

Calcola $\frac{d}{d x} [- x^{8}]$ .

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Passaggio 1.1.3.1

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- x^{8}$ rispetto a $x$ è $- \frac{d}{d x} [x^{8}]$ .

$- \frac{d}{d x} [x^{8}] + \frac{d}{d x} [4]$

Passaggio 1.1.3.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 8$ .

$- (8 x^{7}) + \frac{d}{d x} [4]$

Passaggio 1.1.3.3

Moltiplica $8$ per $- 1$ .

$- 8 x^{7} + \frac{d}{d x} [4]$

Passaggio 1.1.4

Differenzia usando la regola della costante.

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Passaggio 1.1.4.1

Poiché $4$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $4$ rispetto a $x$ è $0$ .

$- 8 x^{7} + 0$

Passaggio 1.1.4.2

Somma $- 8 x^{7}$ e $0$ .

$- 8 x^{7}$

Passaggio 1.2

Riscrivi il problema utilizzando $u$ e $d u$ .

$\int u^{6} \frac{1}{- 8} d u$

Passaggio 2

Semplifica.

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Passaggio 2.1

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$\int u^{6} (- \frac{1}{8}) d u$

Passaggio 2.2

$u^{6}$ e $\frac{1}{8}$ .

$\int - \frac{u^{6}}{8} d u$

Passaggio 3

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $u$ , sposta $- 1$ fuori dall'integrale.

$- \int \frac{u^{6}}{8} d u$

Passaggio 4

Poiché $\frac{1}{8}$ è costante rispetto a $u$ , sposta $\frac{1}{8}$ fuori dall'integrale.

$- (\frac{1}{8} \int u^{6} d u)$

Passaggio 5

Secondo la regola di potenza, l'intero di $u^{6}$ rispetto a $u$ è $\frac{1}{7} u^{7}$ .

$- \frac{1}{8} (\frac{1}{7} u^{7} + C)$

Passaggio 6

Semplifica.

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Passaggio 6.1

Riscrivi $- \frac{1}{8} (\frac{1}{7} u^{7} + C)$ come $- \frac{1}{8} \cdot \frac{1}{7} u^{7} + C$ .

$- \frac{1}{8} \cdot \frac{1}{7} u^{7} + C$

Passaggio 6.2

Semplifica.

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Passaggio 6.2.1

Moltiplica $\frac{1}{7}$ per $\frac{1}{8}$ .

$- \frac{1}{7 \cdot 8} u^{7} + C$

Passaggio 6.2.2

Moltiplica $7$ per $8$ .

$- \frac{1}{56} u^{7} + C$

Passaggio 7

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $- x^{8} + 4$ .

$- \frac{1}{56} {(- x^{8} + 4)}^{7} + C$