Calcolo Esempi

$x y + x = 2$

Passaggio 1

Differenzia entrambi i lati dell'equazione.

$\frac{d}{d x} (x y + x) = \frac{d}{d x} (2)$

Passaggio 2

Differenzia il lato sinistro dell'equazione.

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Passaggio 2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $x y + x$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x y] + \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{d}{d x} [x y] + \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 2.2

Calcola $\frac{d}{d x} [x y]$ .

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Passaggio 2.2.1

Differenzia usando la regola del prodotto, che indica che $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = x$ e $g (x) = y$ .

$x \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 2.2.2

Riscrivi $\frac{d}{d x} [y]$ come $y'$ .

$x y' + y \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 2.2.3

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$x y' + y \cdot 1 + \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 2.2.4

Moltiplica $y$ per $1$ .

$x y' + y + \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 2.3

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$x y' + y + 1$

Passaggio 3

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $2$ rispetto a $x$ è $0$ .

$0$

Passaggio 4

Forma nuovamente l'equazione eguagliando il lato sinistro al lato destro.

$x y' + y + 1 = 0$

Passaggio 5

Risolvi per $y'$ .

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Passaggio 5.1

Sposta tutti i termini non contenenti $y'$ sul lato destro dell'equazione.

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Passaggio 5.1.1

Sottrai $y$ da entrambi i lati dell'equazione.

$x y' + 1 = - y$

Passaggio 5.1.2

Sottrai $1$ da entrambi i lati dell'equazione.

$x y' = - y - 1$

Passaggio 5.2

Dividi per $x$ ciascun termine in $x y' = - y - 1$ e semplifica.

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Passaggio 5.2.1

Dividi per $x$ ciascun termine in $x y' = - y - 1$ .

$\frac{x y'}{x} = \frac{- y}{x} + \frac{- 1}{x}$

Passaggio 5.2.2

Semplifica il lato sinistro.

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Passaggio 5.2.2.1

Elimina il fattore comune di $x$ .

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Passaggio 5.2.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{x y'}{x} = \frac{- y}{x} + \frac{- 1}{x}$

Passaggio 5.2.2.1.2

Dividi $y'$ per $1$ .

$y' = \frac{- y}{x} + \frac{- 1}{x}$

Passaggio 5.2.3

Semplifica il lato destro.

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Passaggio 5.2.3.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 5.2.3.1.1

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$y' = - \frac{y}{x} + \frac{- 1}{x}$

Passaggio 5.2.3.1.2

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$y' = - \frac{y}{x} - \frac{1}{x}$

Passaggio 6

Sostituisci $y'$ con $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{y}{x} - \frac{1}{x}$