Calcolo Esempi

$\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = 1$

Passaggio 1

Differenzia entrambi i lati dell'equazione.

$\frac{d}{d x} (\frac{1}{x} + \frac{1}{y}) = \frac{d}{d x} (1)$

Passaggio 2

Differenzia il lato sinistro dell'equazione.

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Passaggio 2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $\frac{1}{x} + \frac{1}{y}$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{y}]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{y}]$

Passaggio 2.2

Calcola $\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Riscrivi $\frac{1}{x}$ come $x^{- 1}$ .

$\frac{d}{d x} [x^{- 1}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{y}]$

Passaggio 2.2.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = - 1$ .

$- x^{- 2} + \frac{d}{d x} [\frac{1}{y}]$

Passaggio 2.3

Calcola $\frac{d}{d x} [\frac{1}{y}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Differenzia usando la regola del quoziente, che indica che $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ è $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ dove $f (x) = 1$ e $g (x) = y$ .

$- x^{- 2} + \frac{y \frac{d}{d x} [1] - 1 \cdot 1 \frac{d}{d x} [y]}{y^{2}}$

Passaggio 2.3.2

Poiché $1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$- x^{- 2} + \frac{y \cdot 0 - 1 \cdot 1 \frac{d}{d x} [y]}{y^{2}}$

Passaggio 2.3.3

Riscrivi $\frac{d}{d x} [y]$ come $y'$ .

$- x^{- 2} + \frac{y \cdot 0 - 1 \cdot 1 y'}{y^{2}}$

Passaggio 2.3.4

Moltiplica $y$ per $0$ .

$- x^{- 2} + \frac{0 - 1 \cdot 1 y'}{y^{2}}$

Passaggio 2.3.5

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$- x^{- 2} + \frac{0 - y'}{y^{2}}$

Passaggio 2.3.6

Sottrai $y'$ da $0$ .

$- x^{- 2} + \frac{- y'}{y^{2}}$

Passaggio 2.3.7

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$- x^{- 2} - \frac{y'}{y^{2}}$

Passaggio 2.4

Riscrivi l'espressione usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- \frac{1}{x^{2}} - \frac{y'}{y^{2}}$

Passaggio 3

Poiché $1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$0$

Passaggio 4

Forma nuovamente l'equazione eguagliando il lato sinistro al lato destro.

$- \frac{1}{x^{2}} - \frac{y'}{y^{2}} = 0$

Passaggio 5

Risolvi per $y'$ .

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Passaggio 5.1

Somma $\frac{1}{x^{2}}$ a entrambi i lati dell'equazione.

$- \frac{y'}{y^{2}} = \frac{1}{x^{2}}$

Passaggio 5.2

Dividi per $- 1$ ciascun termine in $- \frac{y'}{y^{2}} = \frac{1}{x^{2}}$ e semplifica.

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Passaggio 5.2.1

Dividi per $- 1$ ciascun termine in $- \frac{y'}{y^{2}} = \frac{1}{x^{2}}$ .

$\frac{- \frac{y'}{y^{2}}}{- 1} = \frac{\frac{1}{x^{2}}}{- 1}$

Passaggio 5.2.2

Semplifica il lato sinistro.

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Passaggio 5.2.2.1

Dividendo due valori negativi si ottiene un valore positivo.

$\frac{\frac{y'}{y^{2}}}{1} = \frac{\frac{1}{x^{2}}}{- 1}$

Passaggio 5.2.2.2

Dividi $\frac{y'}{y^{2}}$ per $1$ .

$\frac{y'}{y^{2}} = \frac{\frac{1}{x^{2}}}{- 1}$

Passaggio 5.2.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.3.1

Sposta quello negativo dal denominatore di $\frac{\frac{1}{x^{2}}}{- 1}$ .

$\frac{y'}{y^{2}} = - 1 \cdot \frac{1}{x^{2}}$

Passaggio 5.2.3.2

Riscrivi $- 1 \cdot \frac{1}{x^{2}}$ come $- \frac{1}{x^{2}}$ .

$\frac{y'}{y^{2}} = - \frac{1}{x^{2}}$

Passaggio 5.3

Moltiplica ogni lato per $y^{2}$ .

$\frac{y'}{y^{2}} y^{2} = - \frac{1}{x^{2}} y^{2}$

Passaggio 5.4

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.1

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.1.1

Elimina il fattore comune di $y^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.1.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{y'}{y^{2}} y^{2} = - \frac{1}{x^{2}} y^{2}$

Passaggio 5.4.1.1.2

Riscrivi l'espressione.

$y' = - \frac{1}{x^{2}} y^{2}$

Passaggio 5.4.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.2.1

$y^{2}$ e $\frac{1}{x^{2}}$ .

$y' = - \frac{y^{2}}{x^{2}}$

Passaggio 6

Sostituisci $y'$ con $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{y^{2}}{x^{2}}$