Calcolo Esempi

$x^{3} y^{3} - y = x$

Passaggio 1

Differenzia entrambi i lati dell'equazione.

$\frac{d}{d x} (x^{3} y^{3} - y) = \frac{d}{d x} (x)$

Passaggio 2

Differenzia il lato sinistro dell'equazione.

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Passaggio 2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $x^{3} y^{3} - y$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x^{3} y^{3}] + \frac{d}{d x} [- y]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{3} y^{3}] + \frac{d}{d x} [- y]$

Passaggio 2.2

Calcola $\frac{d}{d x} [x^{3} y^{3}]$ .

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Passaggio 2.2.1

Differenzia usando la regola del prodotto, che indica che $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = x^{3}$ e $g (x) = y^{3}$ .

$x^{3} \frac{d}{d x} [y^{3}] + y^{3} \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- y]$

Passaggio 2.2.2

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{3}$ e $g (x) = y$ .

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Passaggio 2.2.2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $y$ .

$x^{3} (\frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d x} [y]) + y^{3} \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- y]$

Passaggio 2.2.2.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ è $n u^{n - 1}$ dove $n = 3$ .

$x^{3} (3 u^{2} \frac{d}{d x} [y]) + y^{3} \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- y]$

Passaggio 2.2.2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $y$ .

$x^{3} (3 y^{2} \frac{d}{d x} [y]) + y^{3} \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- y]$

Passaggio 2.2.3

Riscrivi $\frac{d}{d x} [y]$ come $y'$ .

$x^{3} (3 y^{2} y') + y^{3} \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- y]$

Passaggio 2.2.4

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 3$ .

$x^{3} (3 y^{2} y') + y^{3} (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- y]$

Passaggio 2.2.5

Sposta $3$ alla sinistra di $x^{3}$ .

$3 \cdot x^{3} y^{2} y' + y^{3} (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- y]$

Passaggio 2.2.6

Sposta $3$ alla sinistra di $y^{3}$ .

$3 x^{3} y^{2} y' + 3 y^{3} x^{2} + \frac{d}{d x} [- y]$

Passaggio 2.3

Calcola $\frac{d}{d x} [- y]$ .

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Passaggio 2.3.1

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- y$ rispetto a $x$ è $- \frac{d}{d x} [y]$ .

$3 x^{3} y^{2} y' + 3 y^{3} x^{2} - \frac{d}{d x} [y]$

Passaggio 2.3.2

Riscrivi $\frac{d}{d x} [y]$ come $y'$ .

$3 x^{3} y^{2} y' + 3 y^{3} x^{2} - y'$

Passaggio 3

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$1$

Passaggio 4

Forma nuovamente l'equazione eguagliando il lato sinistro al lato destro.

$3 x^{3} y^{2} y' + 3 y^{3} x^{2} - y' = 1$

Passaggio 5

Risolvi per $y'$ .

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Passaggio 5.1

Sottrai $3 y^{3} x^{2}$ da entrambi i lati dell'equazione.

$3 x^{3} y^{2} y' - y' = 1 - 3 y^{3} x^{2}$

Passaggio 5.2

Scomponi $y'$ da $3 x^{3} y^{2} y' - y'$ .

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Passaggio 5.2.1

Scomponi $y'$ da $3 x^{3} y^{2} y'$ .

$y' (3 x^{3} y^{2}) - y' = 1 - 3 y^{3} x^{2}$

Passaggio 5.2.2

Scomponi $y'$ da $- y'$ .

$y' (3 x^{3} y^{2}) + y' \cdot - 1 = 1 - 3 y^{3} x^{2}$

Passaggio 5.2.3

Scomponi $y'$ da $y' (3 x^{3} y^{2}) + y' \cdot - 1$ .

$y' (3 x^{3} y^{2} - 1) = 1 - 3 y^{3} x^{2}$

Passaggio 5.3

Dividi per $3 x^{3} y^{2} - 1$ ciascun termine in $y' (3 x^{3} y^{2} - 1) = 1 - 3 y^{3} x^{2}$ e semplifica.

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Passaggio 5.3.1

Dividi per $3 x^{3} y^{2} - 1$ ciascun termine in $y' (3 x^{3} y^{2} - 1) = 1 - 3 y^{3} x^{2}$ .

$\frac{y' (3 x^{3} y^{2} - 1)}{3 x^{3} y^{2} - 1} = \frac{1}{3 x^{3} y^{2} - 1} + \frac{- 3 y^{3} x^{2}}{3 x^{3} y^{2} - 1}$

Passaggio 5.3.2

Semplifica il lato sinistro.

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Passaggio 5.3.2.1

Elimina il fattore comune di $3 x^{3} y^{2} - 1$ .

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Passaggio 5.3.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{y' (3 x^{3} y^{2} - 1)}{3 x^{3} y^{2} - 1} = \frac{1}{3 x^{3} y^{2} - 1} + \frac{- 3 y^{3} x^{2}}{3 x^{3} y^{2} - 1}$

Passaggio 5.3.2.1.2

Dividi $y'$ per $1$ .

$y' = \frac{1}{3 x^{3} y^{2} - 1} + \frac{- 3 y^{3} x^{2}}{3 x^{3} y^{2} - 1}$

Passaggio 5.3.3

Semplifica il lato destro.

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Passaggio 5.3.3.1

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$y' = \frac{1 - 3 y^{3} x^{2}}{3 x^{3} y^{2} - 1}$

Passaggio 6

Sostituisci $y'$ con $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{1 - 3 y^{3} x^{2}}{3 x^{3} y^{2} - 1}$