Calcolo Esempi

$x^{\frac{1}{x}}$

Passaggio 1

Usa la proprietà dei logaritmi per semplificare la differenziazione.

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Passaggio 1.1

Riscrivi $x^{\frac{1}{x}}$ come $e^{\ln (x^{\frac{1}{x}})}$ .

$\frac{d}{d x} [e^{\ln (x^{\frac{1}{x}})}]$

Passaggio 1.2

Espandi $\ln (x^{\frac{1}{x}})$ spostando $\frac{1}{x}$ fuori dal logaritmo.

$\frac{d}{d x} [e^{\frac{1}{x} \ln (x)}]$

Passaggio 2

$\frac{1}{x}$ e $\ln (x)$ .

$\frac{d}{d x} [e^{\frac{\ln (x)}{x}}]$

Passaggio 3

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = e^{x}$ e $g (x) = \frac{\ln (x)}{x}$ .

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Passaggio 3.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $\frac{\ln (x)}{x}$ .

$\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [\frac{\ln (x)}{x}]$

Passaggio 3.2

Differenzia usando la regola esponenziale, che indica che $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ è $a^{u} \ln (a)$ dove $a$ = $e$ .

$e^{u} \frac{d}{d x} [\frac{\ln (x)}{x}]$

Passaggio 3.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $\frac{\ln (x)}{x}$ .

$e^{\frac{\ln (x)}{x}} \frac{d}{d x} [\frac{\ln (x)}{x}]$

Passaggio 4

Differenzia usando la regola del quoziente, che indica che $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ è $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ dove $f (x) = \ln (x)$ e $g (x) = x$ .

$e^{\frac{\ln (x)}{x}} \frac{x \frac{d}{d x} [\ln (x)] - \ln (x) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Passaggio 5

La derivata di $\ln (x)$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{x}$ .

$e^{\frac{\ln (x)}{x}} \frac{x \frac{1}{x} - \ln (x) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Passaggio 6

Differenzia usando la regola di potenza.

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Passaggio 6.1

$x$ e $\frac{1}{x}$ .

$e^{\frac{\ln (x)}{x}} \frac{\frac{x}{x} - \ln (x) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Passaggio 6.2

Elimina il fattore comune di $x$ .

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Passaggio 6.2.1

Elimina il fattore comune.

$e^{\frac{\ln (x)}{x}} \frac{\frac{x}{x} - \ln (x) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Passaggio 6.2.2

Riscrivi l'espressione.

$e^{\frac{\ln (x)}{x}} \frac{1 - \ln (x) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Passaggio 6.3

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$e^{\frac{\ln (x)}{x}} \frac{1 - \ln (x) \cdot 1}{x^{2}}$

Passaggio 6.4

Riduci le frazioni.

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Passaggio 6.4.1

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$e^{\frac{\ln (x)}{x}} \frac{1 - \ln (x)}{x^{2}}$

Passaggio 6.4.2

$e^{\frac{\ln (x)}{x}}$ e $\frac{1 - \ln (x)}{x^{2}}$ .

$\frac{e^{\frac{\ln (x)}{x}} (1 - \ln (x))}{x^{2}}$

Passaggio 7

Semplifica.

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Passaggio 7.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{e^{\frac{\ln (x)}{x}} \cdot 1 + e^{\frac{\ln (x)}{x}} (- \ln (x))}{x^{2}}$

Passaggio 7.2

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 7.2.1

Moltiplica $e^{\frac{\ln (x)}{x}}$ per $1$ .

$\frac{e^{\frac{\ln (x)}{x}} + e^{\frac{\ln (x)}{x}} (- \ln (x))}{x^{2}}$

Passaggio 7.2.2

Riscrivi utilizzando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$\frac{e^{\frac{\ln (x)}{x}} - e^{\frac{\ln (x)}{x}} \ln (x)}{x^{2}}$

Passaggio 7.3

Riordina i termini.

$\frac{- e^{\frac{\ln (x)}{x}} \ln (x) + e^{\frac{\ln (x)}{x}}}{x^{2}}$