Calcolo Esempi

$y = x$ , $y = \sqrt{x}$

Passaggio 1

Risolvi tramite sostituzione per trovare l'intersezione tra le curve.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Elimina i lati uguali di ciascuna equazione e combinale.

$x = \sqrt{x}$

Passaggio 1.2

Risolvi $x = \sqrt{x}$ per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1

Poiché il radicale si trova sul lato destro dell'equazione, inverti i lati così che si trovi sul lato sinistro.

$\sqrt{x} = x$

Passaggio 1.2.2

Per rimuovere il radicale sul lato sinistro dell'equazione, eleva al quadrato entrambi i lati dell'equazione.

${\sqrt{x}}^{2} = x^{2}$

Passaggio 1.2.3

Semplifica ogni lato dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.3.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{x}$ come $x^{\frac{1}{2}}$ .

${(x^{\frac{1}{2}})}^{2} = x^{2}$

Passaggio 1.2.3.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.3.2.1

Semplifica ${(x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.3.2.1.1

Moltiplica gli esponenti in ${(x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.3.2.1.1.1

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x^{\frac{1}{2} \cdot 2} = x^{2}$

Passaggio 1.2.3.2.1.1.2

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.3.2.1.1.2.1

Elimina il fattore comune.

$x^{\frac{1}{2} \cdot 2} = x^{2}$

Passaggio 1.2.3.2.1.1.2.2

Riscrivi l'espressione.

$x^{1} = x^{2}$

Passaggio 1.2.3.2.1.2

Semplifica.

$x = x^{2}$

Passaggio 1.2.4

Risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.4.1

Sottrai $x^{2}$ da entrambi i lati dell'equazione.

$x - x^{2} = 0$

Passaggio 1.2.4.2

Scomponi il primo membro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.4.2.1

Sia $u = x$ . Sostituisci tutte le occorrenze di $x$ con $u$ .

$u - u^{2} = 0$

Passaggio 1.2.4.2.2

Scomponi $u$ da $u - u^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.4.2.2.1

Eleva $u$ alla potenza di $1$ .

$u - u^{2} = 0$

Passaggio 1.2.4.2.2.2

Scomponi $u$ da $u^{1}$ .

$u \cdot 1 - u^{2} = 0$

Passaggio 1.2.4.2.2.3

Scomponi $u$ da $- u^{2}$ .

$u \cdot 1 + u (- u) = 0$

Passaggio 1.2.4.2.2.4

Scomponi $u$ da $u \cdot 1 + u (- u)$ .

$u (1 - u) = 0$

Passaggio 1.2.4.2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $x$ .

$x (1 - x) = 0$

Passaggio 1.2.4.3

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a $0$ , l'intera espressione sarà uguale a $0$ .

$x = 0$

$1 - x = 0 + y = \sqrt{x}$

Passaggio 1.2.4.4

Imposta $x$ uguale a $0$ .

$x = 0$

Passaggio 1.2.4.5

Imposta $1 - x$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.4.5.1

Imposta $1 - x$ uguale a $0$ .

$1 - x = 0$

Passaggio 1.2.4.5.2

Risolvi $1 - x = 0$ per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.4.5.2.1

Sottrai $1$ da entrambi i lati dell'equazione.

$- x = - 1$

Passaggio 1.2.4.5.2.2

Dividi per $- 1$ ciascun termine in $- x = - 1$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.4.5.2.2.1

Dividi per $- 1$ ciascun termine in $- x = - 1$ .

$\frac{- x}{- 1} = \frac{- 1}{- 1}$

Passaggio 1.2.4.5.2.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.4.5.2.2.2.1

Dividendo due valori negativi si ottiene un valore positivo.

$\frac{x}{1} = \frac{- 1}{- 1}$

Passaggio 1.2.4.5.2.2.2.2

Dividi $x$ per $1$ .

$x = \frac{- 1}{- 1}$

Passaggio 1.2.4.5.2.2.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.4.5.2.2.3.1

Dividi $- 1$ per $- 1$ .

$x = 1$

Passaggio 1.2.4.6

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono $x (1 - x) = 0$ vera.

$x = 0, 1$

Passaggio 1.3

Risolvi $y$ quando $x = 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.1

Sostituisci $x$ per $0$ .

$y = \sqrt{0}$

Passaggio 1.3.2

Semplifica $\sqrt{0}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.2.1

Rimuovi le parentesi.

$y = \sqrt{0}$

Passaggio 1.3.2.2

Riscrivi $0$ come $0^{2}$ .

$y = \sqrt{0^{2}}$

Passaggio 1.3.2.3

Estrai i termini dal radicale, presupponendo numeri reali positivi.

$y = 0$

Passaggio 1.4

Risolvi $y$ quando $x = 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.1

Sostituisci $x$ per $1$ .

$y = \sqrt{1}$

Passaggio 1.4.2

Semplifica $\sqrt{1}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.2.1

Rimuovi le parentesi.

$y = \sqrt{1}$

Passaggio 1.4.2.2

Qualsiasi radice di $1$ è $1$ .

$y = 1$

Passaggio 1.5

La soluzione del sistema è l'insieme completo di coppie ordinate che sono soluzioni valide.

$(0, 0)$

$(1, 1)$

$(0, 0)$

$(1, 1)$

Passaggio 2

L'area della regione tra le curve è definita come l'integrale della curva superiore meno l'integrale della curva inferiore rispetto a ciascuna regione. Le regioni sono determinate dai punti di intersezione delle curve. Questa operazione si può svolgere algebricamente o graficamente.

$A r e a = \int_{0}^{1} \sqrt{x} d x - \int_{0}^{1} x d x$

Passaggio 3

Integra per trovare l'area tra $0$ e $1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Combina gli interi in un singolo intero.

$\int_{0}^{1} \sqrt{x} - (x) d x$

Passaggio 3.2

Moltiplica $- 1$ per $x$ .

$\int_{0}^{1} \sqrt{x} - x d x$

Passaggio 3.3

Dividi il singolo integrale in più integrali.

$\int_{0}^{1} \sqrt{x} d x + \int_{0}^{1} - x d x$

Passaggio 3.4

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{x}$ come $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\int_{0}^{1} x^{\frac{1}{2}} d x + \int_{0}^{1} - x d x$

Passaggio 3.5

Secondo la regola di potenza, l'intero di $x^{\frac{1}{2}}$ rispetto a $x$ è $\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}]_{0}^{1} + \int_{0}^{1} - x d x$

Passaggio 3.6

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , sposta $- 1$ fuori dall'integrale.

$\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}]_{0}^{1} - \int_{0}^{1} x d x$

Passaggio 3.7

Secondo la regola di potenza, l'intero di $x$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}]_{0}^{1} - (\frac{1}{2} x^{2}]_{0}^{1})$

Passaggio 3.8

Semplifica la risposta.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.8.1

$\frac{1}{2}$ e $x^{2}$ .

$\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}]_{0}^{1} - (\frac{x^{2}}{2}]_{0}^{1})$

Passaggio 3.8.2

Sostituisci e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.8.2.1

Calcola $\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}$ per $1$ e per $0$ .

$(\frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}) - \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}} - (\frac{x^{2}}{2}]_{0}^{1})$

Passaggio 3.8.2.2

Calcola $\frac{x^{2}}{2}$ per $1$ e per $0$ .

$\frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}} - \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}} - (\frac{1^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Passaggio 3.8.2.3

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.8.2.3.1

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$\frac{2}{3} \cdot 1 - \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}} - (\frac{1^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Passaggio 3.8.2.3.2

Moltiplica $\frac{2}{3}$ per $1$ .

$\frac{2}{3} - \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}} - (\frac{1^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Passaggio 3.8.2.3.3

Riscrivi $0$ come $0^{2}$ .

$\frac{2}{3} - \frac{2}{3} \cdot {(0^{2})}^{\frac{3}{2}} - (\frac{1^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Passaggio 3.8.2.3.4

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{2}{3} - \frac{2}{3} \cdot 0^{2 (\frac{3}{2})} - (\frac{1^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Passaggio 3.8.2.3.5

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.8.2.3.5.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{2}{3} - \frac{2}{3} \cdot 0^{2 (\frac{3}{2})} - (\frac{1^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Passaggio 3.8.2.3.5.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{2}{3} - \frac{2}{3} \cdot 0^{3} - (\frac{1^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Passaggio 3.8.2.3.6

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$\frac{2}{3} - \frac{2}{3} \cdot 0 - (\frac{1^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Passaggio 3.8.2.3.7

Moltiplica $0$ per $- 1$ .

$\frac{2}{3} + 0 (\frac{2}{3}) - (\frac{1^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Passaggio 3.8.2.3.8

Moltiplica $0$ per $\frac{2}{3}$ .

$\frac{2}{3} + 0 - (\frac{1^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Passaggio 3.8.2.3.9

Somma $\frac{2}{3}$ e $0$ .

$\frac{2}{3} - (\frac{1^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Passaggio 3.8.2.3.10

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$\frac{2}{3} - (\frac{1}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Passaggio 3.8.2.3.11

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$\frac{2}{3} - (\frac{1}{2} - \frac{0}{2})$

Passaggio 3.8.2.3.12

Elimina il fattore comune di $0$ e $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.8.2.3.12.1

Scomponi $2$ da $0$ .

$\frac{2}{3} - (\frac{1}{2} - \frac{2 (0)}{2})$

Passaggio 3.8.2.3.12.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.8.2.3.12.2.1

Scomponi $2$ da $2$ .

$\frac{2}{3} - (\frac{1}{2} - \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1})$

Passaggio 3.8.2.3.12.2.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{2}{3} - (\frac{1}{2} - \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1})$

Passaggio 3.8.2.3.12.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{2}{3} - (\frac{1}{2} - \frac{0}{1})$

Passaggio 3.8.2.3.12.2.4

Dividi $0$ per $1$ .

$\frac{2}{3} - (\frac{1}{2} - 0)$

Passaggio 3.8.2.3.13

Moltiplica $- 1$ per $0$ .

$\frac{2}{3} - (\frac{1}{2} + 0)$

Passaggio 3.8.2.3.14

Somma $\frac{1}{2}$ e $0$ .

$\frac{2}{3} - \frac{1}{2}$

Passaggio 3.8.2.3.15

Per scrivere $\frac{2}{3}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$\frac{2}{3} \cdot \frac{2}{2} - \frac{1}{2}$

Passaggio 3.8.2.3.16

Per scrivere $- \frac{1}{2}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{3}{3}$ .

$\frac{2}{3} \cdot \frac{2}{2} - \frac{1}{2} \cdot \frac{3}{3}$

Passaggio 3.8.2.3.17

Scrivi ogni espressione con un comune denominatore di $6$ , moltiplicando ciascuna per il fattore appropriato di $1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.8.2.3.17.1

Moltiplica $\frac{2}{3}$ per $\frac{2}{2}$ .

$\frac{2 \cdot 2}{3 \cdot 2} - \frac{1}{2} \cdot \frac{3}{3}$

Passaggio 3.8.2.3.17.2

Moltiplica $3$ per $2$ .

$\frac{2 \cdot 2}{6} - \frac{1}{2} \cdot \frac{3}{3}$

Passaggio 3.8.2.3.17.3

Moltiplica $\frac{1}{2}$ per $\frac{3}{3}$ .

$\frac{2 \cdot 2}{6} - \frac{3}{2 \cdot 3}$

Passaggio 3.8.2.3.17.4

Moltiplica $2$ per $3$ .

$\frac{2 \cdot 2}{6} - \frac{3}{6}$

Passaggio 3.8.2.3.18

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{2 \cdot 2 - 3}{6}$

Passaggio 3.8.2.3.19

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.8.2.3.19.1

Moltiplica $2$ per $2$ .

$\frac{4 - 3}{6}$

Passaggio 3.8.2.3.19.2

Sottrai $3$ da $4$ .

$\frac{1}{6}$

Passaggio 4