Calcolo Esempi

Trovare i Massimi e i Minimi Locali f(x)=( logaritmo naturale di x)/x
Passaggio 1
Trova la derivata prima della funzione.
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 1.1
Differenzia usando la regola del quoziente secondo cui è dove e .
Passaggio 1.2
La derivata di rispetto a è .
Passaggio 1.3
Differenzia usando la regola della potenza.
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 1.3.1
e .
Passaggio 1.3.2
Elimina il fattore comune di .
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 1.3.2.1
Elimina il fattore comune.
Passaggio 1.3.2.2
Riscrivi l'espressione.
Passaggio 1.3.3
Differenzia usando la regola della potenza secondo cui è dove .
Passaggio 1.3.4
Moltiplica per .
Passaggio 2
Trova la derivata seconda della funzione.
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 2.1
Differenzia usando la regola del quoziente secondo cui è dove e .
Passaggio 2.2
Differenzia.
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 2.2.1
Moltiplica gli esponenti in .
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 2.2.1.1
Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, .
Passaggio 2.2.1.2
Moltiplica per .
Passaggio 2.2.2
Secondo la regola della somma, la derivata di rispetto a è .
Passaggio 2.2.3
Poiché è costante rispetto a , la derivata di rispetto a è .
Passaggio 2.2.4
Somma e .
Passaggio 2.2.5
Poiché è costante rispetto a , la derivata di rispetto a è .
Passaggio 2.3
La derivata di rispetto a è .
Passaggio 2.4
Differenzia usando la regola della potenza.
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 2.4.1
e .
Passaggio 2.4.2
Elimina il fattore comune di e .
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 2.4.2.1
Scomponi da .
Passaggio 2.4.2.2
Elimina i fattori comuni.
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 2.4.2.2.1
Eleva alla potenza di .
Passaggio 2.4.2.2.2
Scomponi da .
Passaggio 2.4.2.2.3
Elimina il fattore comune.
Passaggio 2.4.2.2.4
Riscrivi l'espressione.
Passaggio 2.4.2.2.5
Dividi per .
Passaggio 2.4.3
Differenzia usando la regola della potenza secondo cui è dove .
Passaggio 2.4.4
Semplifica tramite esclusione.
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 2.4.4.1
Moltiplica per .
Passaggio 2.4.4.2
Scomponi da .
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 2.4.4.2.1
Scomponi da .
Passaggio 2.4.4.2.2
Scomponi da .
Passaggio 2.4.4.2.3
Scomponi da .
Passaggio 2.5
Elimina i fattori comuni.
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 2.5.1
Scomponi da .
Passaggio 2.5.2
Elimina il fattore comune.
Passaggio 2.5.3
Riscrivi l'espressione.
Passaggio 2.6
Semplifica.
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 2.6.1
Applica la proprietà distributiva.
Passaggio 2.6.2
Semplifica il numeratore.
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 2.6.2.1
Semplifica ciascun termine.
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 2.6.2.1.1
Moltiplica per .
Passaggio 2.6.2.1.2
Moltiplica .
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 2.6.2.1.2.1
Moltiplica per .
Passaggio 2.6.2.1.2.2
Semplifica spostando all'interno del logaritmo.
Passaggio 2.6.2.2
Sottrai da .
Passaggio 2.6.3
Riscrivi come .
Passaggio 2.6.4
Scomponi da .
Passaggio 2.6.5
Scomponi da .
Passaggio 2.6.6
Sposta il negativo davanti alla frazione.
Passaggio 3
Per trovare i valori locali di minimo e di massimo della funzione, imposta la derivata in modo che sia uguale a e risolvi.
Passaggio 4
Trova la derivata prima.
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 4.1
Trova la derivata prima.
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 4.1.1
Differenzia usando la regola del quoziente secondo cui è dove e .
Passaggio 4.1.2
La derivata di rispetto a è .
Passaggio 4.1.3
Differenzia usando la regola della potenza.
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 4.1.3.1
e .
Passaggio 4.1.3.2
Elimina il fattore comune di .
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 4.1.3.2.1
Elimina il fattore comune.
Passaggio 4.1.3.2.2
Riscrivi l'espressione.
Passaggio 4.1.3.3
Differenzia usando la regola della potenza secondo cui è dove .
Passaggio 4.1.3.4
Moltiplica per .
Passaggio 4.2
La derivata prima di rispetto a è .
Passaggio 5
Poni la derivata prima uguale a quindi risolvi l'equazione .
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 5.1
Poni la derivata prima uguale a .
Passaggio 5.2
Poni il numeratore uguale a zero.
Passaggio 5.3
Risolvi l'equazione per .
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 5.3.1
Sottrai da entrambi i lati dell'equazione.
Passaggio 5.3.2
Dividi per ciascun termine in e semplifica.
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 5.3.2.1
Dividi per ciascun termine in .
Passaggio 5.3.2.2
Semplifica il lato sinistro.
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 5.3.2.2.1
Dividendo due valori negativi si ottiene un valore positivo.
Passaggio 5.3.2.2.2
Dividi per .
Passaggio 5.3.2.3
Semplifica il lato destro.
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 5.3.2.3.1
Dividi per .
Passaggio 5.3.3
Per risolvere per , riscrivi l'equazione usando le proprietà dei logaritmi.
Passaggio 5.3.4
Riscrivi in forma esponenziale usando la definizione di logaritmo. Se e sono numeri reali positivi e , allora è equivalente a .
Passaggio 5.3.5
Riscrivi l'equazione come .
Passaggio 6
Trova i valori per cui la derivata è indefinita.
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 6.1
Imposta il denominatore in in modo che sia uguale a per individuare dove l'espressione è indefinita.
Passaggio 6.2
Risolvi per .
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 6.2.1
Trova la radice quadrata specificata di entrambi i lati dell'equazione per eliminare l'esponente sul lato sinistro.
Passaggio 6.2.2
Semplifica .
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 6.2.2.1
Riscrivi come .
Passaggio 6.2.2.2
Estrai i termini dal radicale, presupponendo numeri reali positivi.
Passaggio 6.2.2.3
Più o meno è .
Passaggio 6.3
Imposta l'argomento in in modo che sia minore o uguale a per individuare dove l'espressione è definita.
Passaggio 6.4
L'equazione è indefinita dove il denominatore è uguale a , l'argomento di una radice quadrata è minore di o l'argomento di un logaritmo è minore di o uguale a .
Passaggio 7
Punti critici da calcolare.
Passaggio 8
Calcola la derivata seconda per . Se la derivata seconda è positiva, allora si tratta di un minimo locale. Se è negativa, allora è un massimo locale.
Passaggio 9
Semplifica il numeratore.
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 9.1
Usa le regole del logaritmo per togliere dall'esponente.
Passaggio 9.2
Il logaritmo naturale di è .
Passaggio 9.3
Moltiplica per .
Passaggio 9.4
Moltiplica per .
Passaggio 9.5
Sottrai da .
Passaggio 10
è un massimo locale perché il valore della derivata seconda è negativo. Ciò si definisce test della derivata seconda.
è un massimo locale
Passaggio 11
Trova il valore di y quando .
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 11.1
Sostituisci la variabile con nell'espressione.
Passaggio 11.2
Semplifica il risultato.
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 11.2.1
Il logaritmo naturale di è .
Passaggio 11.2.2
La risposta finale è .
Passaggio 12
Questi sono gli estremi locali per .
è un massimo locale
Passaggio 13