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Calcolo Esempi
Passaggio 1
Passaggio 1.1
Differenzia usando la regola del quoziente secondo cui è dove e .
Passaggio 1.2
La derivata di rispetto a è .
Passaggio 1.3
Differenzia usando la regola della potenza.
Passaggio 1.3.1
e .
Passaggio 1.3.2
Elimina il fattore comune di .
Passaggio 1.3.2.1
Elimina il fattore comune.
Passaggio 1.3.2.2
Riscrivi l'espressione.
Passaggio 1.3.3
Differenzia usando la regola della potenza secondo cui è dove .
Passaggio 1.3.4
Moltiplica per .
Passaggio 2
Passaggio 2.1
Differenzia usando la regola del quoziente secondo cui è dove e .
Passaggio 2.2
Differenzia.
Passaggio 2.2.1
Moltiplica gli esponenti in .
Passaggio 2.2.1.1
Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, .
Passaggio 2.2.1.2
Moltiplica per .
Passaggio 2.2.2
Secondo la regola della somma, la derivata di rispetto a è .
Passaggio 2.2.3
Poiché è costante rispetto a , la derivata di rispetto a è .
Passaggio 2.2.4
Somma e .
Passaggio 2.2.5
Poiché è costante rispetto a , la derivata di rispetto a è .
Passaggio 2.3
La derivata di rispetto a è .
Passaggio 2.4
Differenzia usando la regola della potenza.
Passaggio 2.4.1
e .
Passaggio 2.4.2
Elimina il fattore comune di e .
Passaggio 2.4.2.1
Scomponi da .
Passaggio 2.4.2.2
Elimina i fattori comuni.
Passaggio 2.4.2.2.1
Eleva alla potenza di .
Passaggio 2.4.2.2.2
Scomponi da .
Passaggio 2.4.2.2.3
Elimina il fattore comune.
Passaggio 2.4.2.2.4
Riscrivi l'espressione.
Passaggio 2.4.2.2.5
Dividi per .
Passaggio 2.4.3
Differenzia usando la regola della potenza secondo cui è dove .
Passaggio 2.4.4
Semplifica tramite esclusione.
Passaggio 2.4.4.1
Moltiplica per .
Passaggio 2.4.4.2
Scomponi da .
Passaggio 2.4.4.2.1
Scomponi da .
Passaggio 2.4.4.2.2
Scomponi da .
Passaggio 2.4.4.2.3
Scomponi da .
Passaggio 2.5
Elimina i fattori comuni.
Passaggio 2.5.1
Scomponi da .
Passaggio 2.5.2
Elimina il fattore comune.
Passaggio 2.5.3
Riscrivi l'espressione.
Passaggio 2.6
Semplifica.
Passaggio 2.6.1
Applica la proprietà distributiva.
Passaggio 2.6.2
Semplifica il numeratore.
Passaggio 2.6.2.1
Semplifica ciascun termine.
Passaggio 2.6.2.1.1
Moltiplica per .
Passaggio 2.6.2.1.2
Moltiplica .
Passaggio 2.6.2.1.2.1
Moltiplica per .
Passaggio 2.6.2.1.2.2
Semplifica spostando all'interno del logaritmo.
Passaggio 2.6.2.2
Sottrai da .
Passaggio 2.6.3
Riscrivi come .
Passaggio 2.6.4
Scomponi da .
Passaggio 2.6.5
Scomponi da .
Passaggio 2.6.6
Sposta il negativo davanti alla frazione.
Passaggio 3
Per trovare i valori locali di minimo e di massimo della funzione, imposta la derivata in modo che sia uguale a e risolvi.
Passaggio 4
Passaggio 4.1
Trova la derivata prima.
Passaggio 4.1.1
Differenzia usando la regola del quoziente secondo cui è dove e .
Passaggio 4.1.2
La derivata di rispetto a è .
Passaggio 4.1.3
Differenzia usando la regola della potenza.
Passaggio 4.1.3.1
e .
Passaggio 4.1.3.2
Elimina il fattore comune di .
Passaggio 4.1.3.2.1
Elimina il fattore comune.
Passaggio 4.1.3.2.2
Riscrivi l'espressione.
Passaggio 4.1.3.3
Differenzia usando la regola della potenza secondo cui è dove .
Passaggio 4.1.3.4
Moltiplica per .
Passaggio 4.2
La derivata prima di rispetto a è .
Passaggio 5
Passaggio 5.1
Poni la derivata prima uguale a .
Passaggio 5.2
Poni il numeratore uguale a zero.
Passaggio 5.3
Risolvi l'equazione per .
Passaggio 5.3.1
Sottrai da entrambi i lati dell'equazione.
Passaggio 5.3.2
Dividi per ciascun termine in e semplifica.
Passaggio 5.3.2.1
Dividi per ciascun termine in .
Passaggio 5.3.2.2
Semplifica il lato sinistro.
Passaggio 5.3.2.2.1
Dividendo due valori negativi si ottiene un valore positivo.
Passaggio 5.3.2.2.2
Dividi per .
Passaggio 5.3.2.3
Semplifica il lato destro.
Passaggio 5.3.2.3.1
Dividi per .
Passaggio 5.3.3
Per risolvere per , riscrivi l'equazione usando le proprietà dei logaritmi.
Passaggio 5.3.4
Riscrivi in forma esponenziale usando la definizione di logaritmo. Se e sono numeri reali positivi e , allora è equivalente a .
Passaggio 5.3.5
Riscrivi l'equazione come .
Passaggio 6
Passaggio 6.1
Imposta il denominatore in in modo che sia uguale a per individuare dove l'espressione è indefinita.
Passaggio 6.2
Risolvi per .
Passaggio 6.2.1
Trova la radice quadrata specificata di entrambi i lati dell'equazione per eliminare l'esponente sul lato sinistro.
Passaggio 6.2.2
Semplifica .
Passaggio 6.2.2.1
Riscrivi come .
Passaggio 6.2.2.2
Estrai i termini dal radicale, presupponendo numeri reali positivi.
Passaggio 6.2.2.3
Più o meno è .
Passaggio 6.3
Imposta l'argomento in in modo che sia minore o uguale a per individuare dove l'espressione è definita.
Passaggio 6.4
L'equazione è indefinita dove il denominatore è uguale a , l'argomento di una radice quadrata è minore di o l'argomento di un logaritmo è minore di o uguale a .
Passaggio 7
Punti critici da calcolare.
Passaggio 8
Calcola la derivata seconda per . Se la derivata seconda è positiva, allora si tratta di un minimo locale. Se è negativa, allora è un massimo locale.
Passaggio 9
Passaggio 9.1
Usa le regole del logaritmo per togliere dall'esponente.
Passaggio 9.2
Il logaritmo naturale di è .
Passaggio 9.3
Moltiplica per .
Passaggio 9.4
Moltiplica per .
Passaggio 9.5
Sottrai da .
Passaggio 10
è un massimo locale perché il valore della derivata seconda è negativo. Ciò si definisce test della derivata seconda.
è un massimo locale
Passaggio 11
Passaggio 11.1
Sostituisci la variabile con nell'espressione.
Passaggio 11.2
Semplifica il risultato.
Passaggio 11.2.1
Il logaritmo naturale di è .
Passaggio 11.2.2
La risposta finale è .
Passaggio 12
Questi sono gli estremi locali per .
è un massimo locale
Passaggio 13