Calcolo Esempi

$\int_{64}^{8} 1 \frac{\ln (y)}{\sqrt{y}} d y$

Passaggio 1

Moltiplica $\frac{\ln (y)}{\sqrt{y}}$ per $1$ .

$\int_{64}^{8} \frac{\ln (y)}{\sqrt{y}} d y$

Passaggio 2

Riscrivi $\frac{\ln (y)}{\sqrt{y}}$ come un prodotto.

$\int_{64}^{8} \ln (y) \frac{1}{\sqrt{y}} d y$

Passaggio 3

Integra per parti usando la formula $\int u d v = u v - \int v d u$ , dove $u = \ln (y)$ e $d v = \frac{1}{\sqrt{y}}$ .

$\ln (y) (2 y^{\frac{1}{2}})]_{64}^{8} - \int_{64}^{8} 2 y^{\frac{1}{2}} \frac{1}{y} d y$

Passaggio 4

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

$2$ e $\frac{1}{y}$ .

$\ln (y) (2 y^{\frac{1}{2}})]_{64}^{8} - \int_{64}^{8} y^{\frac{1}{2}} \frac{2}{y} d y$

Passaggio 4.2

$y^{\frac{1}{2}}$ e $\frac{2}{y}$ .

$\ln (y) (2 y^{\frac{1}{2}})]_{64}^{8} - \int_{64}^{8} \frac{y^{\frac{1}{2}} \cdot 2}{y} d y$

Passaggio 4.3

Sposta $2$ alla sinistra di $y^{\frac{1}{2}}$ .

$\ln (y) (2 y^{\frac{1}{2}})]_{64}^{8} - \int_{64}^{8} \frac{2 \cdot y^{\frac{1}{2}}}{y} d y$

Passaggio 4.4

Sposta $y^{\frac{1}{2}}$ al denominatore usando la regola dell'esponente negativo $b^{n} = \frac{1}{b^{- n}}$ .

$\ln (y) (2 y^{\frac{1}{2}})]_{64}^{8} - \int_{64}^{8} \frac{2}{y \cdot y^{- \frac{1}{2}}} d y$

Passaggio 4.5

Moltiplica $y$ per $y^{- \frac{1}{2}}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.5.1

Moltiplica $y$ per $y^{- \frac{1}{2}}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.5.1.1

Eleva $y$ alla potenza di $1$ .

$\ln (y) (2 y^{\frac{1}{2}})]_{64}^{8} - \int_{64}^{8} \frac{2}{y^{1} y^{- \frac{1}{2}}} d y$

Passaggio 4.5.1.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\ln (y) (2 y^{\frac{1}{2}})]_{64}^{8} - \int_{64}^{8} \frac{2}{y^{1 - \frac{1}{2}}} d y$

Passaggio 4.5.2

Scrivi $1$ come una frazione con un comune denominatore.

$\ln (y) (2 y^{\frac{1}{2}})]_{64}^{8} - \int_{64}^{8} \frac{2}{y^{\frac{2}{2} - \frac{1}{2}}} d y$

Passaggio 4.5.3

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\ln (y) (2 y^{\frac{1}{2}})]_{64}^{8} - \int_{64}^{8} \frac{2}{y^{\frac{2 - 1}{2}}} d y$

Passaggio 4.5.4

Sottrai $1$ da $2$ .

$\ln (y) (2 y^{\frac{1}{2}})]_{64}^{8} - \int_{64}^{8} \frac{2}{y^{\frac{1}{2}}} d y$

Passaggio 5

Poiché $2$ è costante rispetto a $y$ , sposta $2$ fuori dall'integrale.

$\ln (y) (2 y^{\frac{1}{2}})]_{64}^{8} - (2 \int_{64}^{8} \frac{1}{y^{\frac{1}{2}}} d y)$

Passaggio 6

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$\ln (y) (2 y^{\frac{1}{2}})]_{64}^{8} - 2 \int_{64}^{8} \frac{1}{y^{\frac{1}{2}}} d y$

Passaggio 6.2

Sposta $y^{\frac{1}{2}}$ fuori dal denominatore elevandolo alla potenza di $- 1$ .

$\ln (y) (2 y^{\frac{1}{2}})]_{64}^{8} - 2 \int_{64}^{8} {(y^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d y$

Passaggio 6.3

Moltiplica gli esponenti in ${(y^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\ln (y) (2 y^{\frac{1}{2}})]_{64}^{8} - 2 \int_{64}^{8} y^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d y$

Passaggio 6.3.2

$\frac{1}{2}$ e $- 1$ .

$\ln (y) (2 y^{\frac{1}{2}})]_{64}^{8} - 2 \int_{64}^{8} y^{\frac{- 1}{2}} d y$

Passaggio 6.3.3

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$\ln (y) (2 y^{\frac{1}{2}})]_{64}^{8} - 2 \int_{64}^{8} y^{- \frac{1}{2}} d y$

Passaggio 7

Secondo la regola della potenza, l'intero di $y^{- \frac{1}{2}}$ rispetto a $y$ è $2 y^{\frac{1}{2}}$ .

$\ln (y) (2 y^{\frac{1}{2}})]_{64}^{8} - 2 (2 y^{\frac{1}{2}}]_{64}^{8})$

Passaggio 8

Sostituisci e semplifica.

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Passaggio 8.1

Calcola $\ln (y) (2 y^{\frac{1}{2}})$ per $8$ e per $64$ .

$(\ln (8) (2 \cdot 8^{\frac{1}{2}})) - \ln (64) (2 \cdot 64^{\frac{1}{2}}) - 2 (2 y^{\frac{1}{2}}]_{64}^{8})$

Passaggio 8.2

Calcola $2 y^{\frac{1}{2}}$ per $8$ e per $64$ .

$(\ln (8) (2 \cdot 8^{\frac{1}{2}})) - \ln (64) (2 \cdot 64^{\frac{1}{2}}) - 2 ((2 \cdot 8^{\frac{1}{2}}) - 2 \cdot 64^{\frac{1}{2}})$

Passaggio 8.3

Semplifica.

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Passaggio 8.3.1

Riscrivi $8$ come $2^{3}$ .

$\ln (8) (2 \cdot {(2^{3})}^{\frac{1}{2}}) - \ln (64) (2 \cdot 64^{\frac{1}{2}}) - 2 ((2 \cdot 8^{\frac{1}{2}}) - 2 \cdot 64^{\frac{1}{2}})$

Passaggio 8.3.2

Moltiplica gli esponenti in ${(2^{3})}^{\frac{1}{2}}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.3.2.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\ln (8) (2 \cdot 2^{3 (\frac{1}{2})}) - \ln (64) (2 \cdot 64^{\frac{1}{2}}) - 2 ((2 \cdot 8^{\frac{1}{2}}) - 2 \cdot 64^{\frac{1}{2}})$

Passaggio 8.3.2.2

$3$ e $\frac{1}{2}$ .

$\ln (8) (2 \cdot 2^{\frac{3}{2}}) - \ln (64) (2 \cdot 64^{\frac{1}{2}}) - 2 ((2 \cdot 8^{\frac{1}{2}}) - 2 \cdot 64^{\frac{1}{2}})$

Passaggio 8.3.3

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\ln (8) \cdot 2^{1 + \frac{3}{2}} - \ln (64) (2 \cdot 64^{\frac{1}{2}}) - 2 ((2 \cdot 8^{\frac{1}{2}}) - 2 \cdot 64^{\frac{1}{2}})$

Passaggio 8.3.4

Scrivi $1$ come una frazione con un comune denominatore.

$\ln (8) \cdot 2^{\frac{2}{2} + \frac{3}{2}} - \ln (64) (2 \cdot 64^{\frac{1}{2}}) - 2 ((2 \cdot 8^{\frac{1}{2}}) - 2 \cdot 64^{\frac{1}{2}})$

Passaggio 8.3.5

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\ln (8) \cdot 2^{\frac{2 + 3}{2}} - \ln (64) (2 \cdot 64^{\frac{1}{2}}) - 2 ((2 \cdot 8^{\frac{1}{2}}) - 2 \cdot 64^{\frac{1}{2}})$

Passaggio 8.3.6

Somma $2$ e $3$ .

$\ln (8) \cdot 2^{\frac{5}{2}} - \ln (64) (2 \cdot 64^{\frac{1}{2}}) - 2 ((2 \cdot 8^{\frac{1}{2}}) - 2 \cdot 64^{\frac{1}{2}})$

Passaggio 8.3.7

Riscrivi $64$ come $8^{2}$ .

$\ln (8) \cdot 2^{\frac{5}{2}} - \ln (64) (2 \cdot {(8^{2})}^{\frac{1}{2}}) - 2 ((2 \cdot 8^{\frac{1}{2}}) - 2 \cdot 64^{\frac{1}{2}})$

Passaggio 8.3.8

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\ln (8) \cdot 2^{\frac{5}{2}} - \ln (64) (2 \cdot 8^{2 (\frac{1}{2})}) - 2 ((2 \cdot 8^{\frac{1}{2}}) - 2 \cdot 64^{\frac{1}{2}})$

Passaggio 8.3.9

Elimina il fattore comune di $2$ .

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Passaggio 8.3.9.1

Elimina il fattore comune.

$\ln (8) \cdot 2^{\frac{5}{2}} - \ln (64) (2 \cdot 8^{2 (\frac{1}{2})}) - 2 ((2 \cdot 8^{\frac{1}{2}}) - 2 \cdot 64^{\frac{1}{2}})$

Passaggio 8.3.9.2

Riscrivi l'espressione.

$\ln (8) \cdot 2^{\frac{5}{2}} - \ln (64) (2 \cdot 8^{1}) - 2 ((2 \cdot 8^{\frac{1}{2}}) - 2 \cdot 64^{\frac{1}{2}})$

Passaggio 8.3.10

Calcola l'esponente.

$\ln (8) \cdot 2^{\frac{5}{2}} - \ln (64) (2 \cdot 8) - 2 ((2 \cdot 8^{\frac{1}{2}}) - 2 \cdot 64^{\frac{1}{2}})$

Passaggio 8.3.11

Moltiplica $2$ per $8$ .

$\ln (8) \cdot 2^{\frac{5}{2}} - \ln (64) \cdot 16 - 2 ((2 \cdot 8^{\frac{1}{2}}) - 2 \cdot 64^{\frac{1}{2}})$

Passaggio 8.3.12

Moltiplica $16$ per $- 1$ .

$\ln (8) \cdot 2^{\frac{5}{2}} - 16 \ln (64) - 2 ((2 \cdot 8^{\frac{1}{2}}) - 2 \cdot 64^{\frac{1}{2}})$

Passaggio 8.3.13

Riscrivi $8$ come $2^{3}$ .

$\ln (8) \cdot 2^{\frac{5}{2}} - 16 \ln (64) - 2 (2 \cdot {(2^{3})}^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot 64^{\frac{1}{2}})$

Passaggio 8.3.14

Moltiplica gli esponenti in ${(2^{3})}^{\frac{1}{2}}$ .

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Passaggio 8.3.14.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\ln (8) \cdot 2^{\frac{5}{2}} - 16 \ln (64) - 2 (2 \cdot 2^{3 (\frac{1}{2})} - 2 \cdot 64^{\frac{1}{2}})$

Passaggio 8.3.14.2

$3$ e $\frac{1}{2}$ .

$\ln (8) \cdot 2^{\frac{5}{2}} - 16 \ln (64) - 2 (2 \cdot 2^{\frac{3}{2}} - 2 \cdot 64^{\frac{1}{2}})$

Passaggio 8.3.15

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\ln (8) \cdot 2^{\frac{5}{2}} - 16 \ln (64) - 2 (2^{1 + \frac{3}{2}} - 2 \cdot 64^{\frac{1}{2}})$

Passaggio 8.3.16

Scrivi $1$ come una frazione con un comune denominatore.

$\ln (8) \cdot 2^{\frac{5}{2}} - 16 \ln (64) - 2 (2^{\frac{2}{2} + \frac{3}{2}} - 2 \cdot 64^{\frac{1}{2}})$

Passaggio 8.3.17

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\ln (8) \cdot 2^{\frac{5}{2}} - 16 \ln (64) - 2 (2^{\frac{2 + 3}{2}} - 2 \cdot 64^{\frac{1}{2}})$

Passaggio 8.3.18

Somma $2$ e $3$ .

$\ln (8) \cdot 2^{\frac{5}{2}} - 16 \ln (64) - 2 (2^{\frac{5}{2}} - 2 \cdot 64^{\frac{1}{2}})$

Passaggio 8.3.19

Riscrivi $64$ come $8^{2}$ .

$\ln (8) \cdot 2^{\frac{5}{2}} - 16 \ln (64) - 2 (2^{\frac{5}{2}} - 2 \cdot {(8^{2})}^{\frac{1}{2}})$

Passaggio 8.3.20

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\ln (8) \cdot 2^{\frac{5}{2}} - 16 \ln (64) - 2 (2^{\frac{5}{2}} - 2 \cdot 8^{2 (\frac{1}{2})})$

Passaggio 8.3.21

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.3.21.1

Elimina il fattore comune.

$\ln (8) \cdot 2^{\frac{5}{2}} - 16 \ln (64) - 2 (2^{\frac{5}{2}} - 2 \cdot 8^{2 (\frac{1}{2})})$

Passaggio 8.3.21.2

Riscrivi l'espressione.

$\ln (8) \cdot 2^{\frac{5}{2}} - 16 \ln (64) - 2 (2^{\frac{5}{2}} - 2 \cdot 8^{1})$

Passaggio 8.3.22

Calcola l'esponente.

$\ln (8) \cdot 2^{\frac{5}{2}} - 16 \ln (64) - 2 (2^{\frac{5}{2}} - 2 \cdot 8)$

Passaggio 8.3.23

Moltiplica $- 2$ per $8$ .

$\ln (8) \cdot 2^{\frac{5}{2}} - 16 \ln (64) - 2 (2^{\frac{5}{2}} - 16)$

Passaggio 9

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 9.1

Riscrivi $\ln (64)$ come $\ln (2^{6})$ .

$\ln (8) \cdot 2^{\frac{5}{2}} - 16 \ln (2^{6}) - 2 (2^{\frac{5}{2}} - 16)$

Passaggio 9.2

Espandi $\ln (2^{6})$ spostando $6$ fuori dal logaritmo.

$\ln (8) \cdot 2^{\frac{5}{2}} - 16 (6 \ln (2)) - 2 (2^{\frac{5}{2}} - 16)$

Passaggio 9.3

Moltiplica $6$ per $- 16$ .

$\ln (8) \cdot 2^{\frac{5}{2}} - 96 \ln (2) - 2 (2^{\frac{5}{2}} - 16)$

Passaggio 9.4

Applica la proprietà distributiva.

$\ln (8) \cdot 2^{\frac{5}{2}} - 96 \ln (2) - 2 \cdot 2^{\frac{5}{2}} - 2 \cdot - 16$

Passaggio 9.5

Moltiplica $- 2 \cdot 2^{\frac{5}{2}}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.5.1

Metti in evidenza il valore negativo.

$\ln (8) \cdot 2^{\frac{5}{2}} - 96 \ln (2) - (2 \cdot 2^{\frac{5}{2}}) - 2 \cdot - 16$

Passaggio 9.5.2

Eleva $2$ alla potenza di $1$ .

$\ln (8) \cdot 2^{\frac{5}{2}} - 96 \ln (2) - (2^{1} \cdot 2^{\frac{5}{2}}) - 2 \cdot - 16$

Passaggio 9.5.3

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\ln (8) \cdot 2^{\frac{5}{2}} - 96 \ln (2) - 2^{1 + \frac{5}{2}} - 2 \cdot - 16$

Passaggio 9.5.4

Scrivi $1$ come una frazione con un comune denominatore.

$\ln (8) \cdot 2^{\frac{5}{2}} - 96 \ln (2) - 2^{\frac{2}{2} + \frac{5}{2}} - 2 \cdot - 16$

Passaggio 9.5.5

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\ln (8) \cdot 2^{\frac{5}{2}} - 96 \ln (2) - 2^{\frac{2 + 5}{2}} - 2 \cdot - 16$

Passaggio 9.5.6

Somma $2$ e $5$ .

$\ln (8) \cdot 2^{\frac{5}{2}} - 96 \ln (2) - 2^{\frac{7}{2}} - 2 \cdot - 16$

Passaggio 9.6

Moltiplica $- 2$ per $- 16$ .

$\ln (8) \cdot 2^{\frac{5}{2}} - 96 \ln (2) - 2^{\frac{7}{2}} + 32$

Passaggio 10

Il risultato può essere mostrato in più forme.

Forma esatta:

$\ln (8) \cdot 2^{\frac{5}{2}} - 96 \ln (2) - 2^{\frac{7}{2}} + 32$

Forma decimale:

$- 34.09274011 \dots$