Calcolo Esempi

$\int (x + 1) e^{4 x^{2} + 8 x} d x$

Passaggio 1

Sia $u = 4 x^{2} + 8 x$ . Allora $d u = (8 x + 8) d x$ , quindi $\frac{1}{8} d u = (x + 1) d x$ . Riscrivi usando $u$ e $d$ $u$ .

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Passaggio 1.1

Sia $u = 4 x^{2} + 8 x$ . Trova $\frac{d u}{d x}$ .

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Passaggio 1.1.1

Differenzia $4 x^{2} + 8 x$ .

$\frac{d}{d x} [4 x^{2} + 8 x]$

Passaggio 1.1.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $4 x^{2} + 8 x$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [8 x]$ .

$\frac{d}{d x} [4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [8 x]$

Passaggio 1.1.3

Calcola $\frac{d}{d x} [4 x^{2}]$ .

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Passaggio 1.1.3.1

Poiché $4$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $4 x^{2}$ rispetto a $x$ è $4 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$4 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [8 x]$

Passaggio 1.1.3.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$4 (2 x) + \frac{d}{d x} [8 x]$

Passaggio 1.1.3.3

Moltiplica $2$ per $4$ .

$8 x + \frac{d}{d x} [8 x]$

Passaggio 1.1.4

Calcola $\frac{d}{d x} [8 x]$ .

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Passaggio 1.1.4.1

Poiché $8$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $8 x$ rispetto a $x$ è $8 \frac{d}{d x} [x]$ .

$8 x + 8 \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 1.1.4.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$8 x + 8 \cdot 1$

Passaggio 1.1.4.3

Moltiplica $8$ per $1$ .

$8 x + 8$

Passaggio 1.2

Riscrivi il problema utilizzando $u$ e $d u$ .

$\int e^{u} \frac{1}{8} d u$

Passaggio 2

$e^{u}$ e $\frac{1}{8}$ .

$\int \frac{e^{u}}{8} d u$

Passaggio 3

Poiché $\frac{1}{8}$ è costante rispetto a $u$ , sposta $\frac{1}{8}$ fuori dall'integrale.

$\frac{1}{8} \int e^{u} d u$

Passaggio 4

L'integrale di $e^{u}$ rispetto a $u$ è $e^{u}$ .

$\frac{1}{8} (e^{u} + C)$

Passaggio 5

Semplifica.

$\frac{1}{8} e^{u} + C$

Passaggio 6

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $4 x^{2} + 8 x$ .

$\frac{1}{8} e^{4 x^{2} + 8 x} + C$