Calcolo Esempi

$f (x) = \frac{x}{x^{2} + 1}$

Passaggio 1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Differenzia usando la regola del quoziente, che indica che $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ è $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ dove $f (x) = x$ e $g (x) = x^{2} + 1$ .

$f' (x) = \frac{(x^{2} + 1) \frac{d}{d x} (x) - x \frac{d}{d x} (x^{2} + 1)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Passaggio 1.2

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$f' (x) = \frac{(x^{2} + 1) \cdot 1 - x \frac{d}{d x} (x^{2} + 1)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Passaggio 1.2.2

Moltiplica $x^{2} + 1$ per $1$ .

$f' (x) = \frac{x^{2} + 1 - x \frac{d}{d x} (x^{2} + 1)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Passaggio 1.2.3

Secondo la regola della somma, la derivata di $x^{2} + 1$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$f' (x) = \frac{x^{2} + 1 - x (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (1))}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Passaggio 1.2.4

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$f' (x) = \frac{x^{2} + 1 - x (2 x + \frac{d}{d x} (1))}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Passaggio 1.2.5

Poiché $1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$f' (x) = \frac{x^{2} + 1 - x (2 x + 0)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Passaggio 1.2.6

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.6.1

Somma $2 x$ e $0$ .

$f' (x) = \frac{x^{2} + 1 - x (2 x)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Passaggio 1.2.6.2

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$f' (x) = \frac{x^{2} + 1 - 2 x \cdot x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Passaggio 1.3

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$f' (x) = \frac{x^{2} + 1 - 2 (x \cdot x)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Passaggio 1.4

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$f' (x) = \frac{x^{2} + 1 - 2 (x \cdot x)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Passaggio 1.5

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$f' (x) = \frac{x^{2} + 1 - 2 x^{1 + 1}}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Passaggio 1.6

Somma $1$ e $1$ .

$f' (x) = \frac{x^{2} + 1 - 2 x^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Passaggio 1.7

Sottrai $2 x^{2}$ da $x^{2}$ .

$f' (x) = \frac{- x^{2} + 1}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Passaggio 2

Trova la derivata seconda.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 1)}^{2} \frac{d}{d x} (- x^{2} + 1) - (- x^{2} + 1) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 1)}^{2}}{{({(x^{2} + 1)}^{2})}^{2}}$

Passaggio 2.2

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Moltiplica gli esponenti in ${({(x^{2} + 1)}^{2})}^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1.1

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 1)}^{2} \frac{d}{d x} (- x^{2} + 1) - (- x^{2} + 1) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 1)}^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{2 \cdot 2}}$

Passaggio 2.2.1.2

Moltiplica $2$ per $2$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 1)}^{2} \frac{d}{d x} (- x^{2} + 1) - (- x^{2} + 1) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 1)}^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Passaggio 2.2.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $- x^{2} + 1$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 1)}^{2} (\frac{d}{d x} (- x^{2}) + \frac{d}{d x} (1)) - (- x^{2} + 1) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 1)}^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Passaggio 2.2.3

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- x^{2}$ rispetto a $x$ è $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 1)}^{2} (- \frac{d}{d x} x^{2} + \frac{d}{d x} (1)) - (- x^{2} + 1) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 1)}^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Passaggio 2.2.4

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 1)}^{2} (- (2 x) + \frac{d}{d x} (1)) - (- x^{2} + 1) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 1)}^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Passaggio 2.2.5

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 1)}^{2} (- 2 x + \frac{d}{d x} (1)) - (- x^{2} + 1) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 1)}^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Passaggio 2.2.6

Poiché $1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 1)}^{2} (- 2 x + 0) - (- x^{2} + 1) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 1)}^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Passaggio 2.2.7

Somma $- 2 x$ e $0$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 1)}^{2} (- 2 x) - (- x^{2} + 1) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 1)}^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Passaggio 2.3

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = x^{2} + 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $x^{2} + 1$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 1)}^{2} (- 2 x) - (- x^{2} + 1) (\frac{d}{d u} (u^{2}) \frac{d}{d x} (x^{2} + 1))}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Passaggio 2.3.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ è $n u^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 1)}^{2} (- 2 x) - (- x^{2} + 1) (2 u \frac{d}{d x} (x^{2} + 1))}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Passaggio 2.3.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $x^{2} + 1$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 1)}^{2} (- 2 x) - (- x^{2} + 1) (2 (x^{2} + 1) \frac{d}{d x} (x^{2} + 1))}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Passaggio 2.4

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.1

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 1)}^{2} (- 2 x) - 2 (- x^{2} + 1) ((x^{2} + 1) \frac{d}{d x} (x^{2} + 1))}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Passaggio 2.4.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $x^{2} + 1$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 1)}^{2} (- 2 x) - 2 (- x^{2} + 1) ((x^{2} + 1) (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (1)))}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Passaggio 2.4.3

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 1)}^{2} (- 2 x) - 2 (- x^{2} + 1) ((x^{2} + 1) (2 x + \frac{d}{d x} (1)))}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Passaggio 2.4.4

Poiché $1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 1)}^{2} (- 2 x) - 2 (- x^{2} + 1) ((x^{2} + 1) (2 x + 0))}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Passaggio 2.4.5

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.5.1

Somma $2 x$ e $0$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 1)}^{2} (- 2 x) - 2 (- x^{2} + 1) ((x^{2} + 1) (2 x))}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Passaggio 2.4.5.2

Sposta $2$ alla sinistra di $x^{2} + 1$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 1)}^{2} (- 2 x) - 2 (- x^{2} + 1) (2 \cdot ((x^{2} + 1) x))}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Passaggio 2.4.5.3

Moltiplica $2$ per $- 2$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 1)}^{2} (- 2 x) - 4 (- x^{2} + 1) ((x^{2} + 1) x)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Passaggio 2.5

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.1

Applica la proprietà distributiva.

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 1)}^{2} (- 2 x) + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot 1) ((x^{2} + 1) x)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Passaggio 2.5.2

Applica la proprietà distributiva.

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 1)}^{2} (- 2 x) + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot 1) (x^{2} x + 1 x)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Passaggio 2.5.3

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.3.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.3.1.1

Riscrivi utilizzando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$f'' (x) = \frac{- 2 {(x^{2} + 1)}^{2} x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot 1) (x^{2} x + 1 x)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Passaggio 2.5.3.1.2

Riscrivi ${(x^{2} + 1)}^{2}$ come $(x^{2} + 1) (x^{2} + 1)$ .

$f'' (x) = \frac{- 2 ((x^{2} + 1) (x^{2} + 1)) x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot 1) (x^{2} x + 1 x)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Passaggio 2.5.3.1.3

Espandi $(x^{2} + 1) (x^{2} + 1)$ usando il metodo FOIL.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.3.1.3.1

Applica la proprietà distributiva.

$f'' (x) = \frac{- 2 (x^{2} (x^{2} + 1) + 1 (x^{2} + 1)) x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot 1) (x^{2} x + 1 x)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Passaggio 2.5.3.1.3.2

Applica la proprietà distributiva.

$f'' (x) = \frac{- 2 (x^{2} x^{2} + x^{2} \cdot 1 + 1 (x^{2} + 1)) x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot 1) (x^{2} x + 1 x)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Passaggio 2.5.3.1.3.3

Applica la proprietà distributiva.

$f'' (x) = \frac{- 2 (x^{2} x^{2} + x^{2} \cdot 1 + 1 x^{2} + 1 \cdot 1) x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot 1) (x^{2} x + 1 x)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Passaggio 2.5.3.1.4

Semplifica e combina i termini simili.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.3.1.4.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.3.1.4.1.1

Moltiplica $x^{2}$ per $x^{2}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.3.1.4.1.1.1

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$f'' (x) = \frac{- 2 (x^{2 + 2} + x^{2} \cdot 1 + 1 x^{2} + 1 \cdot 1) x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot 1) (x^{2} x + 1 x)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Passaggio 2.5.3.1.4.1.1.2

Somma $2$ e $2$ .

$f'' (x) = \frac{- 2 (x^{4} + x^{2} \cdot 1 + 1 x^{2} + 1 \cdot 1) x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot 1) (x^{2} x + 1 x)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Passaggio 2.5.3.1.4.1.2

Moltiplica $x^{2}$ per $1$ .

$f'' (x) = \frac{- 2 (x^{4} + x^{2} + 1 x^{2} + 1 \cdot 1) x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot 1) (x^{2} x + 1 x)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Passaggio 2.5.3.1.4.1.3

Moltiplica $x^{2}$ per $1$ .

$f'' (x) = \frac{- 2 (x^{4} + x^{2} + x^{2} + 1 \cdot 1) x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot 1) (x^{2} x + 1 x)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Passaggio 2.5.3.1.4.1.4

Moltiplica $1$ per $1$ .

$f'' (x) = \frac{- 2 (x^{4} + x^{2} + x^{2} + 1) x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot 1) (x^{2} x + 1 x)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Passaggio 2.5.3.1.4.2

Somma $x^{2}$ e $x^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{- 2 (x^{4} + 2 x^{2} + 1) x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot 1) (x^{2} x + 1 x)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Passaggio 2.5.3.1.5

Applica la proprietà distributiva.

$f'' (x) = \frac{(- 2 x^{4} - 2 (2 x^{2}) - 2 \cdot 1) x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot 1) (x^{2} x + 1 x)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Passaggio 2.5.3.1.6

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.3.1.6.1

Moltiplica $2$ per $- 2$ .

$f'' (x) = \frac{(- 2 x^{4} - 4 x^{2} - 2 \cdot 1) x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot 1) (x^{2} x + 1 x)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Passaggio 2.5.3.1.6.2

Moltiplica $- 2$ per $1$ .

$f'' (x) = \frac{(- 2 x^{4} - 4 x^{2} - 2) x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot 1) (x^{2} x + 1 x)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Passaggio 2.5.3.1.7

Applica la proprietà distributiva.

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{4} x - 4 x^{2} x - 2 x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot 1) (x^{2} x + 1 x)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Passaggio 2.5.3.1.8

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.3.1.8.1

Moltiplica $x^{4}$ per $x$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.3.1.8.1.1

Sposta $x$ .

$f'' (x) = \frac{- 2 (x \cdot x^{4}) - 4 x^{2} x - 2 x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot 1) (x^{2} x + 1 x)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Passaggio 2.5.3.1.8.1.2

Moltiplica $x$ per $x^{4}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.3.1.8.1.2.1

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$f'' (x) = \frac{- 2 (x \cdot x^{4}) - 4 x^{2} x - 2 x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot 1) (x^{2} x + 1 x)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Passaggio 2.5.3.1.8.1.2.2

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{1 + 4} - 4 x^{2} x - 2 x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot 1) (x^{2} x + 1 x)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Passaggio 2.5.3.1.8.1.3

Somma $1$ e $4$ .

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{5} - 4 x^{2} x - 2 x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot 1) (x^{2} x + 1 x)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Passaggio 2.5.3.1.8.2

Moltiplica $x^{2}$ per $x$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.3.1.8.2.1

Sposta $x$ .

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{5} - 4 (x \cdot x^{2}) - 2 x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot 1) (x^{2} x + 1 x)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Passaggio 2.5.3.1.8.2.2

Moltiplica $x$ per $x^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.3.1.8.2.2.1

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{5} - 4 (x \cdot x^{2}) - 2 x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot 1) (x^{2} x + 1 x)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Passaggio 2.5.3.1.8.2.2.2

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{5} - 4 x^{1 + 2} - 2 x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot 1) (x^{2} x + 1 x)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Passaggio 2.5.3.1.8.2.3

Somma $1$ e $2$ .

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{5} - 4 x^{3} - 2 x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot 1) (x^{2} x + 1 x)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Passaggio 2.5.3.1.9

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.3.1.9.1

Moltiplica $- 1$ per $- 4$ .

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{5} - 4 x^{3} - 2 x + (4 x^{2} - 4 \cdot 1) (x^{2} x + 1 x)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Passaggio 2.5.3.1.9.2

Moltiplica $- 4$ per $1$ .

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{5} - 4 x^{3} - 2 x + (4 x^{2} - 4) (x^{2} x + 1 x)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Passaggio 2.5.3.1.10

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.3.1.10.1

Moltiplica $x^{2}$ per $x$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.3.1.10.1.1

Moltiplica $x^{2}$ per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.3.1.10.1.1.1

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{5} - 4 x^{3} - 2 x + (4 x^{2} - 4) (x^{2} x + 1 x)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Passaggio 2.5.3.1.10.1.1.2

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{5} - 4 x^{3} - 2 x + (4 x^{2} - 4) (x^{2 + 1} + 1 x)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Passaggio 2.5.3.1.10.1.2

Somma $2$ e $1$ .

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{5} - 4 x^{3} - 2 x + (4 x^{2} - 4) (x^{3} + 1 x)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Passaggio 2.5.3.1.10.2

Moltiplica $x$ per $1$ .

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{5} - 4 x^{3} - 2 x + (4 x^{2} - 4) (x^{3} + x)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Passaggio 2.5.3.1.11

Espandi $(4 x^{2} - 4) (x^{3} + x)$ usando il metodo FOIL.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.3.1.11.1

Applica la proprietà distributiva.

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{5} - 4 x^{3} - 2 x + 4 x^{2} (x^{3} + x) - 4 (x^{3} + x)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Passaggio 2.5.3.1.11.2

Applica la proprietà distributiva.

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{5} - 4 x^{3} - 2 x + 4 x^{2} x^{3} + 4 x^{2} x - 4 (x^{3} + x)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Passaggio 2.5.3.1.11.3

Applica la proprietà distributiva.

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{5} - 4 x^{3} - 2 x + 4 x^{2} x^{3} + 4 x^{2} x - 4 x^{3} - 4 x}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Passaggio 2.5.3.1.12

Semplifica e combina i termini simili.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.3.1.12.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.3.1.12.1.1

Moltiplica $x^{2}$ per $x^{3}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.3.1.12.1.1.1

Sposta $x^{3}$ .

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{5} - 4 x^{3} - 2 x + 4 (x^{3} x^{2}) + 4 x^{2} x - 4 x^{3} - 4 x}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Passaggio 2.5.3.1.12.1.1.2

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{5} - 4 x^{3} - 2 x + 4 x^{3 + 2} + 4 x^{2} x - 4 x^{3} - 4 x}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Passaggio 2.5.3.1.12.1.1.3

Somma $3$ e $2$ .

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{5} - 4 x^{3} - 2 x + 4 x^{5} + 4 x^{2} x - 4 x^{3} - 4 x}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Passaggio 2.5.3.1.12.1.2

Moltiplica $x^{2}$ per $x$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.3.1.12.1.2.1

Sposta $x$ .

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{5} - 4 x^{3} - 2 x + 4 x^{5} + 4 (x \cdot x^{2}) - 4 x^{3} - 4 x}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Passaggio 2.5.3.1.12.1.2.2

Moltiplica $x$ per $x^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.3.1.12.1.2.2.1

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{5} - 4 x^{3} - 2 x + 4 x^{5} + 4 (x \cdot x^{2}) - 4 x^{3} - 4 x}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Passaggio 2.5.3.1.12.1.2.2.2

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{5} - 4 x^{3} - 2 x + 4 x^{5} + 4 x^{1 + 2} - 4 x^{3} - 4 x}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Passaggio 2.5.3.1.12.1.2.3

Somma $1$ e $2$ .

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{5} - 4 x^{3} - 2 x + 4 x^{5} + 4 x^{3} - 4 x^{3} - 4 x}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Passaggio 2.5.3.1.12.2

Sottrai $4 x^{3}$ da $4 x^{3}$ .

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{5} - 4 x^{3} - 2 x + 4 x^{5} + 0 - 4 x}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Passaggio 2.5.3.1.12.3

Somma $4 x^{5}$ e $0$ .

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{5} - 4 x^{3} - 2 x + 4 x^{5} - 4 x}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Passaggio 2.5.3.2

Somma $- 2 x^{5}$ e $4 x^{5}$ .

$f'' (x) = \frac{2 x^{5} - 4 x^{3} - 2 x - 4 x}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Passaggio 2.5.3.3

Sottrai $4 x$ da $- 2 x$ .

$f'' (x) = \frac{2 x^{5} - 4 x^{3} - 6 x}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Passaggio 2.5.4

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.4.1

Scomponi $2 x$ da $2 x^{5} - 4 x^{3} - 6 x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.4.1.1

Scomponi $2 x$ da $2 x^{5}$ .

$f'' (x) = \frac{2 x (x^{4}) - 4 x^{3} - 6 x}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Passaggio 2.5.4.1.2

Scomponi $2 x$ da $- 4 x^{3}$ .

$f'' (x) = \frac{2 x (x^{4}) + 2 x (- 2 x^{2}) - 6 x}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Passaggio 2.5.4.1.3

Scomponi $2 x$ da $- 6 x$ .

$f'' (x) = \frac{2 x (x^{4}) + 2 x (- 2 x^{2}) + 2 x (- 3)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Passaggio 2.5.4.1.4

Scomponi $2 x$ da $2 x (x^{4}) + 2 x (- 2 x^{2})$ .

$f'' (x) = \frac{2 x (x^{4} - 2 x^{2}) + 2 x (- 3)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Passaggio 2.5.4.1.5

Scomponi $2 x$ da $2 x (x^{4} - 2 x^{2}) + 2 x (- 3)$ .

$f'' (x) = \frac{2 x (x^{4} - 2 x^{2} - 3)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Passaggio 2.5.4.2

Riscrivi $x^{4}$ come ${(x^{2})}^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{2 x ({(x^{2})}^{2} - 2 x^{2} - 3)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Passaggio 2.5.4.3

Sia $u = x^{2}$ . Sostituisci tutte le occorrenze di $x^{2}$ con $u$ .

$f'' (x) = \frac{2 x (u^{2} - 2 u - 3)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Passaggio 2.5.4.4

Scomponi $u^{2} - 2 u - 3$ usando il metodo AC.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.4.4.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Trova una coppia di interi il cui prodotto è $c$ e la cui formula è $b$ . In questo caso, il cui prodotto è $- 3$ e la cui somma è $- 2$ .

$- 3, 1$

Passaggio 2.5.4.4.2

Scrivi la forma fattorizzata utilizzando questi interi.

$f'' (x) = \frac{2 x ((u - 3) (u + 1))}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Passaggio 2.5.4.5

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $x^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{2 x (x^{2} - 3) (x^{2} + 1)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Passaggio 2.5.5

Elimina il fattore comune di $x^{2} + 1$ e ${(x^{2} + 1)}^{4}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.5.1

Scomponi $x^{2} + 1$ da $2 x (x^{2} - 3) (x^{2} + 1)$ .

$f'' (x) = \frac{(x^{2} + 1) (2 x (x^{2} - 3))}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Passaggio 2.5.5.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.5.2.1

Scomponi $x^{2} + 1$ da ${(x^{2} + 1)}^{4}$ .

$f'' (x) = \frac{(x^{2} + 1) (2 x (x^{2} - 3))}{(x^{2} + 1) {(x^{2} + 1)}^{3}}$

Passaggio 2.5.5.2.2

Elimina il fattore comune.

$f'' (x) = \frac{(x^{2} + 1) (2 x (x^{2} - 3))}{(x^{2} + 1) {(x^{2} + 1)}^{3}}$

Passaggio 2.5.5.2.3

Riscrivi l'espressione.

$f'' (x) = \frac{2 x (x^{2} - 3)}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Passaggio 3

Trova la derivata terza.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $\frac{2 x (x^{2} - 3)}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$ rispetto a $x$ è $2 \frac{d}{d x} [\frac{x (x^{2} - 3)}{{(x^{2} + 1)}^{3}}]$ .

$f''' (x) = 2 \frac{d}{d x} (\frac{x (x^{2} - 3)}{{(x^{2} + 1)}^{3}})$

Passaggio 3.2

$f''' (x) = 2 (\frac{{(x^{2} + 1)}^{3} \frac{d}{d x} (x (x^{2} - 3)) - x (x^{2} - 3) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 1)}^{3}}{{({(x^{2} + 1)}^{3})}^{2}})$

Passaggio 3.3

Moltiplica gli esponenti in ${({(x^{2} + 1)}^{3})}^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f''' (x) = 2 (\frac{{(x^{2} + 1)}^{3} \frac{d}{d x} (x (x^{2} - 3)) - x (x^{2} - 3) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 1)}^{3}}{{(x^{2} + 1)}^{3 \cdot 2}})$

Passaggio 3.3.2

Moltiplica $3$ per $2$ .

$f''' (x) = 2 (\frac{{(x^{2} + 1)}^{3} \frac{d}{d x} (x (x^{2} - 3)) - x (x^{2} - 3) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 1)}^{3}}{{(x^{2} + 1)}^{6}})$

Passaggio 3.4

Differenzia usando la regola del prodotto, che indica che $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = x$ e $g (x) = x^{2} - 3$ .

$f''' (x) = 2 (\frac{{(x^{2} + 1)}^{3} (x \frac{d}{d x} (x^{2} - 3) + (x^{2} - 3) \frac{d}{d x} (x)) - x (x^{2} - 3) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 1)}^{3}}{{(x^{2} + 1)}^{6}})$

Passaggio 3.5

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $x^{2} - 3$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3]$ .

$f''' (x) = 2 (\frac{{(x^{2} + 1)}^{3} (x (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 3)) + (x^{2} - 3) \frac{d}{d x} (x)) - x (x^{2} - 3) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 1)}^{3}}{{(x^{2} + 1)}^{6}})$

Passaggio 3.5.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$f''' (x) = 2 (\frac{{(x^{2} + 1)}^{3} (x (2 x + \frac{d}{d x} (- 3)) + (x^{2} - 3) \frac{d}{d x} (x)) - x (x^{2} - 3) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 1)}^{3}}{{(x^{2} + 1)}^{6}})$

Passaggio 3.5.3

Poiché $- 3$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 3$ rispetto a $x$ è $0$ .

$f''' (x) = 2 (\frac{{(x^{2} + 1)}^{3} (x (2 x + 0) + (x^{2} - 3) \frac{d}{d x} (x)) - x (x^{2} - 3) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 1)}^{3}}{{(x^{2} + 1)}^{6}})$

Passaggio 3.5.4

Somma $2 x$ e $0$ .

$f''' (x) = 2 (\frac{{(x^{2} + 1)}^{3} (x (2 x) + (x^{2} - 3) \frac{d}{d x} (x)) - x (x^{2} - 3) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 1)}^{3}}{{(x^{2} + 1)}^{6}})$

Passaggio 3.6

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$f''' (x) = 2 (\frac{{(x^{2} + 1)}^{3} (2 (x \cdot x) + (x^{2} - 3) \frac{d}{d x} (x)) - x (x^{2} - 3) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 1)}^{3}}{{(x^{2} + 1)}^{6}})$

Passaggio 3.7

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$f''' (x) = 2 (\frac{{(x^{2} + 1)}^{3} (2 (x \cdot x) + (x^{2} - 3) \frac{d}{d x} (x)) - x (x^{2} - 3) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 1)}^{3}}{{(x^{2} + 1)}^{6}})$

Passaggio 3.8

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$f''' (x) = 2 (\frac{{(x^{2} + 1)}^{3} (2 x^{1 + 1} + (x^{2} - 3) \frac{d}{d x} (x)) - x (x^{2} - 3) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 1)}^{3}}{{(x^{2} + 1)}^{6}})$

Passaggio 3.9

Differenzia usando la regola di potenza.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.9.1

Somma $1$ e $1$ .

$f''' (x) = 2 (\frac{{(x^{2} + 1)}^{3} (2 x^{2} + (x^{2} - 3) \frac{d}{d x} (x)) - x (x^{2} - 3) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 1)}^{3}}{{(x^{2} + 1)}^{6}})$

Passaggio 3.9.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$f''' (x) = 2 (\frac{{(x^{2} + 1)}^{3} (2 x^{2} + (x^{2} - 3) \cdot 1) - x (x^{2} - 3) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 1)}^{3}}{{(x^{2} + 1)}^{6}})$

Passaggio 3.9.3

Semplifica aggiungendo i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.9.3.1

Moltiplica $x^{2} - 3$ per $1$ .

$f''' (x) = 2 (\frac{{(x^{2} + 1)}^{3} (2 x^{2} + x^{2} - 3) - x (x^{2} - 3) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 1)}^{3}}{{(x^{2} + 1)}^{6}})$

Passaggio 3.9.3.2

Somma $2 x^{2}$ e $x^{2}$ .

$f''' (x) = 2 (\frac{{(x^{2} + 1)}^{3} (3 x^{2} - 3) - x (x^{2} - 3) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 1)}^{3}}{{(x^{2} + 1)}^{6}})$

Passaggio 3.10

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{3}$ e $g (x) = x^{2} + 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.10.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $x^{2} + 1$ .

$f''' (x) = 2 (\frac{{(x^{2} + 1)}^{3} (3 x^{2} - 3) - x (x^{2} - 3) (\frac{d}{d u} (u^{3}) \frac{d}{d x} (x^{2} + 1))}{{(x^{2} + 1)}^{6}})$

Passaggio 3.10.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ è $n u^{n - 1}$ dove $n = 3$ .

$f''' (x) = 2 (\frac{{(x^{2} + 1)}^{3} (3 x^{2} - 3) - x (x^{2} - 3) (3 u^{2} \frac{d}{d x} (x^{2} + 1))}{{(x^{2} + 1)}^{6}})$

Passaggio 3.10.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $x^{2} + 1$ .

$f''' (x) = 2 (\frac{{(x^{2} + 1)}^{3} (3 x^{2} - 3) - x (x^{2} - 3) (3 {(x^{2} + 1)}^{2} \frac{d}{d x} (x^{2} + 1))}{{(x^{2} + 1)}^{6}})$

Passaggio 3.11

Semplifica tramite esclusione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.11.1

Moltiplica $3$ per $- 1$ .

$f''' (x) = 2 (\frac{{(x^{2} + 1)}^{3} (3 x^{2} - 3) - 3 x (x^{2} - 3) ({(x^{2} + 1)}^{2} \frac{d}{d x} (x^{2} + 1))}{{(x^{2} + 1)}^{6}})$

Passaggio 3.11.2

Scomponi ${(x^{2} + 1)}^{2}$ da ${(x^{2} + 1)}^{3} (3 x^{2} - 3) - 3 x (x^{2} - 3) ({(x^{2} + 1)}^{2} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1])$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.11.2.1

Scomponi ${(x^{2} + 1)}^{2}$ da ${(x^{2} + 1)}^{3} (3 x^{2} - 3)$ .

$f''' (x) = 2 (\frac{{(x^{2} + 1)}^{2} ((x^{2} + 1) (3 x^{2} - 3)) - 3 x (x^{2} - 3) ({(x^{2} + 1)}^{2} \frac{d}{d x} (x^{2} + 1))}{{(x^{2} + 1)}^{6}})$

Passaggio 3.11.2.2

Scomponi ${(x^{2} + 1)}^{2}$ da $- 3 x (x^{2} - 3) ({(x^{2} + 1)}^{2} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1])$ .

$f''' (x) = 2 (\frac{{(x^{2} + 1)}^{2} ((x^{2} + 1) (3 x^{2} - 3)) + {(x^{2} + 1)}^{2} (- 3 x (x^{2} - 3) (\frac{d}{d x} (x^{2} + 1)))}{{(x^{2} + 1)}^{6}})$

Passaggio 3.11.2.3

Scomponi ${(x^{2} + 1)}^{2}$ da ${(x^{2} + 1)}^{2} ((x^{2} + 1) (3 x^{2} - 3)) + {(x^{2} + 1)}^{2} (- 3 x (x^{2} - 3) (\frac{d}{d x} [x^{2} + 1]))$ .

$f''' (x) = 2 (\frac{{(x^{2} + 1)}^{2} ((x^{2} + 1) (3 x^{2} - 3) - 3 x (x^{2} - 3) (\frac{d}{d x} (x^{2} + 1)))}{{(x^{2} + 1)}^{6}})$

Passaggio 3.12

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.12.1

Scomponi ${(x^{2} + 1)}^{2}$ da ${(x^{2} + 1)}^{6}$ .

$f''' (x) = 2 (\frac{{(x^{2} + 1)}^{2} ((x^{2} + 1) (3 x^{2} - 3) - 3 x (x^{2} - 3) (\frac{d}{d x} (x^{2} + 1)))}{{(x^{2} + 1)}^{2} {(x^{2} + 1)}^{4}})$

Passaggio 3.12.2

Elimina il fattore comune.

$f''' (x) = 2 (\frac{{(x^{2} + 1)}^{2} ((x^{2} + 1) (3 x^{2} - 3) - 3 x (x^{2} - 3) (\frac{d}{d x} (x^{2} + 1)))}{{(x^{2} + 1)}^{2} {(x^{2} + 1)}^{4}})$

Passaggio 3.12.3

Riscrivi l'espressione.

$f''' (x) = 2 (\frac{(x^{2} + 1) (3 x^{2} - 3) - 3 x (x^{2} - 3) (\frac{d}{d x} (x^{2} + 1))}{{(x^{2} + 1)}^{4}})$

Passaggio 3.13

Secondo la regola della somma, la derivata di $x^{2} + 1$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$f''' (x) = 2 (\frac{(x^{2} + 1) (3 x^{2} - 3) - 3 x (x^{2} - 3) (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (1))}{{(x^{2} + 1)}^{4}})$

Passaggio 3.14

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$f''' (x) = 2 (\frac{(x^{2} + 1) (3 x^{2} - 3) - 3 x (x^{2} - 3) (2 x + \frac{d}{d x} (1))}{{(x^{2} + 1)}^{4}})$

Passaggio 3.15

Poiché $1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$f''' (x) = 2 (\frac{(x^{2} + 1) (3 x^{2} - 3) - 3 x (x^{2} - 3) (2 x + 0)}{{(x^{2} + 1)}^{4}})$

Passaggio 3.16

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.16.1

Somma $2 x$ e $0$ .

$f''' (x) = 2 (\frac{(x^{2} + 1) (3 x^{2} - 3) - 3 x (x^{2} - 3) (2 x)}{{(x^{2} + 1)}^{4}})$

Passaggio 3.16.2

Moltiplica $2$ per $- 3$ .

$f''' (x) = 2 (\frac{(x^{2} + 1) (3 x^{2} - 3) - 6 x (x^{2} - 3) x}{{(x^{2} + 1)}^{4}})$

Passaggio 3.17

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$f''' (x) = 2 (\frac{(x^{2} + 1) (3 x^{2} - 3) - 6 (x \cdot x) (x^{2} - 3)}{{(x^{2} + 1)}^{4}})$

Passaggio 3.18

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$f''' (x) = 2 (\frac{(x^{2} + 1) (3 x^{2} - 3) - 6 (x \cdot x) (x^{2} - 3)}{{(x^{2} + 1)}^{4}})$

Passaggio 3.19

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$f''' (x) = 2 (\frac{(x^{2} + 1) (3 x^{2} - 3) - 6 x^{1 + 1} (x^{2} - 3)}{{(x^{2} + 1)}^{4}})$

Passaggio 3.20

Somma $1$ e $1$ .

$f''' (x) = 2 (\frac{(x^{2} + 1) (3 x^{2} - 3) - 6 x^{2} (x^{2} - 3)}{{(x^{2} + 1)}^{4}})$

Passaggio 3.21

$2$ e $\frac{(x^{2} + 1) (3 x^{2} - 3) - 6 x^{2} (x^{2} - 3)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$ .

$f''' (x) = \frac{2 ((x^{2} + 1) (3 x^{2} - 3) - 6 x^{2} (x^{2} - 3))}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Passaggio 3.22

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.22.1

Applica la proprietà distributiva.

$f''' (x) = \frac{2 ((x^{2} + 1) (3 x^{2} - 3) - 6 x^{2} x^{2} - 6 x^{2} \cdot - 3)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Passaggio 3.22.2

Applica la proprietà distributiva.

$f''' (x) = \frac{2 ((x^{2} + 1) (3 x^{2} - 3)) + 2 (- 6 x^{2} x^{2}) + 2 (- 6 x^{2} \cdot - 3)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Passaggio 3.22.3

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.22.3.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.22.3.1.1

Espandi $(x^{2} + 1) (3 x^{2} - 3)$ usando il metodo FOIL.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.22.3.1.1.1

Applica la proprietà distributiva.

$f''' (x) = \frac{2 (x^{2} (3 x^{2} - 3) + 1 (3 x^{2} - 3)) + 2 (- 6 x^{2} x^{2}) + 2 (- 6 x^{2} \cdot - 3)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Passaggio 3.22.3.1.1.2

Applica la proprietà distributiva.

$f''' (x) = \frac{2 (x^{2} (3 x^{2}) + x^{2} \cdot - 3 + 1 (3 x^{2} - 3)) + 2 (- 6 x^{2} x^{2}) + 2 (- 6 x^{2} \cdot - 3)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Passaggio 3.22.3.1.1.3

Applica la proprietà distributiva.

$f''' (x) = \frac{2 (x^{2} (3 x^{2}) + x^{2} \cdot - 3 + 1 (3 x^{2}) + 1 \cdot - 3) + 2 (- 6 x^{2} x^{2}) + 2 (- 6 x^{2} \cdot - 3)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Passaggio 3.22.3.1.2

Semplifica e combina i termini simili.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.22.3.1.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.22.3.1.2.1.1

Riscrivi utilizzando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$f''' (x) = \frac{2 (3 x^{2} x^{2} + x^{2} \cdot - 3 + 1 (3 x^{2}) + 1 \cdot - 3) + 2 (- 6 x^{2} x^{2}) + 2 (- 6 x^{2} \cdot - 3)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Passaggio 3.22.3.1.2.1.2

Moltiplica $x^{2}$ per $x^{2}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.22.3.1.2.1.2.1

Sposta $x^{2}$ .

$f''' (x) = \frac{2 (3 (x^{2} x^{2}) + x^{2} \cdot - 3 + 1 (3 x^{2}) + 1 \cdot - 3) + 2 (- 6 x^{2} x^{2}) + 2 (- 6 x^{2} \cdot - 3)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Passaggio 3.22.3.1.2.1.2.2

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$f''' (x) = \frac{2 (3 x^{2 + 2} + x^{2} \cdot - 3 + 1 (3 x^{2}) + 1 \cdot - 3) + 2 (- 6 x^{2} x^{2}) + 2 (- 6 x^{2} \cdot - 3)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Passaggio 3.22.3.1.2.1.2.3

Somma $2$ e $2$ .

$f''' (x) = \frac{2 (3 x^{4} + x^{2} \cdot - 3 + 1 (3 x^{2}) + 1 \cdot - 3) + 2 (- 6 x^{2} x^{2}) + 2 (- 6 x^{2} \cdot - 3)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Passaggio 3.22.3.1.2.1.3

Sposta $- 3$ alla sinistra di $x^{2}$ .

$f''' (x) = \frac{2 (3 x^{4} - 3 \cdot x^{2} + 1 (3 x^{2}) + 1 \cdot - 3) + 2 (- 6 x^{2} x^{2}) + 2 (- 6 x^{2} \cdot - 3)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Passaggio 3.22.3.1.2.1.4

Moltiplica $3 x^{2}$ per $1$ .

$f''' (x) = \frac{2 (3 x^{4} - 3 x^{2} + 3 x^{2} + 1 \cdot - 3) + 2 (- 6 x^{2} x^{2}) + 2 (- 6 x^{2} \cdot - 3)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Passaggio 3.22.3.1.2.1.5

Moltiplica $- 3$ per $1$ .

$f''' (x) = \frac{2 (3 x^{4} - 3 x^{2} + 3 x^{2} - 3) + 2 (- 6 x^{2} x^{2}) + 2 (- 6 x^{2} \cdot - 3)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Passaggio 3.22.3.1.2.2

Somma $- 3 x^{2}$ e $3 x^{2}$ .

$f''' (x) = \frac{2 (3 x^{4} + 0 - 3) + 2 (- 6 x^{2} x^{2}) + 2 (- 6 x^{2} \cdot - 3)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Passaggio 3.22.3.1.2.3

Somma $3 x^{4}$ e $0$ .

$f''' (x) = \frac{2 (3 x^{4} - 3) + 2 (- 6 x^{2} x^{2}) + 2 (- 6 x^{2} \cdot - 3)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Passaggio 3.22.3.1.3

Applica la proprietà distributiva.

$f''' (x) = \frac{2 (3 x^{4}) + 2 \cdot - 3 + 2 (- 6 x^{2} x^{2}) + 2 (- 6 x^{2} \cdot - 3)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Passaggio 3.22.3.1.4

Moltiplica $3$ per $2$ .

$f''' (x) = \frac{6 x^{4} + 2 \cdot - 3 + 2 (- 6 x^{2} x^{2}) + 2 (- 6 x^{2} \cdot - 3)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Passaggio 3.22.3.1.5

Moltiplica $2$ per $- 3$ .

$f''' (x) = \frac{6 x^{4} - 6 + 2 (- 6 x^{2} x^{2}) + 2 (- 6 x^{2} \cdot - 3)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Passaggio 3.22.3.1.6

Moltiplica $x^{2}$ per $x^{2}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.22.3.1.6.1

Sposta $x^{2}$ .

$f''' (x) = \frac{6 x^{4} - 6 + 2 (- 6 (x^{2} x^{2})) + 2 (- 6 x^{2} \cdot - 3)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Passaggio 3.22.3.1.6.2

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$f''' (x) = \frac{6 x^{4} - 6 + 2 (- 6 x^{2 + 2}) + 2 (- 6 x^{2} \cdot - 3)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Passaggio 3.22.3.1.6.3

Somma $2$ e $2$ .

$f''' (x) = \frac{6 x^{4} - 6 + 2 (- 6 x^{4}) + 2 (- 6 x^{2} \cdot - 3)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Passaggio 3.22.3.1.7

Moltiplica $- 6$ per $2$ .

$f''' (x) = \frac{6 x^{4} - 6 - 12 x^{4} + 2 (- 6 x^{2} \cdot - 3)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Passaggio 3.22.3.1.8

Moltiplica $- 3$ per $- 6$ .

$f''' (x) = \frac{6 x^{4} - 6 - 12 x^{4} + 2 (18 x^{2})}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Passaggio 3.22.3.1.9

Moltiplica $18$ per $2$ .

$f''' (x) = \frac{6 x^{4} - 6 - 12 x^{4} + 36 x^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Passaggio 3.22.3.2

Sottrai $12 x^{4}$ da $6 x^{4}$ .

$f''' (x) = \frac{- 6 x^{4} - 6 + 36 x^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Passaggio 3.22.4

Riordina i termini.

$f''' (x) = \frac{- 6 x^{4} + 36 x^{2} - 6}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Passaggio 3.22.5

Scomponi $6$ da $- 6 x^{4} + 36 x^{2} - 6$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.22.5.1

Scomponi $6$ da $- 6 x^{4}$ .

$f''' (x) = \frac{6 (- x^{4}) + 36 x^{2} - 6}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Passaggio 3.22.5.2

Scomponi $6$ da $36 x^{2}$ .

$f''' (x) = \frac{6 (- x^{4}) + 6 (6 x^{2}) - 6}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Passaggio 3.22.5.3

Scomponi $6$ da $- 6$ .

$f''' (x) = \frac{6 (- x^{4}) + 6 (6 x^{2}) + 6 (- 1)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Passaggio 3.22.5.4

Scomponi $6$ da $6 (- x^{4}) + 6 (6 x^{2})$ .

$f''' (x) = \frac{6 (- x^{4} + 6 x^{2}) + 6 (- 1)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Passaggio 3.22.5.5

Scomponi $6$ da $6 (- x^{4} + 6 x^{2}) + 6 (- 1)$ .

$f''' (x) = \frac{6 (- x^{4} + 6 x^{2} - 1)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Passaggio 3.22.6

Scomponi $- 1$ da $- x^{4}$ .

$f''' (x) = \frac{6 (- (x^{4}) + 6 x^{2} - 1)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Passaggio 3.22.7

Scomponi $- 1$ da $6 x^{2}$ .

$f''' (x) = \frac{6 (- (x^{4}) - (- 6 x^{2}) - 1)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Passaggio 3.22.8

Scomponi $- 1$ da $- (x^{4}) - (- 6 x^{2})$ .

$f''' (x) = \frac{6 (- (x^{4} - 6 x^{2}) - 1)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Passaggio 3.22.9

Riscrivi $- 1$ come $- 1 (1)$ .

$f''' (x) = \frac{6 (- (x^{4} - 6 x^{2}) - 1 \cdot 1)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Passaggio 3.22.10

Scomponi $- 1$ da $- (x^{4} - 6 x^{2}) - 1 (1)$ .

$f''' (x) = \frac{6 (- (x^{4} - 6 x^{2} + 1))}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Passaggio 3.22.11

Riscrivi $- (x^{4} - 6 x^{2} + 1)$ come $- 1 (x^{4} - 6 x^{2} + 1)$ .

$f''' (x) = \frac{6 (- 1 (x^{4} - 6 x^{2} + 1))}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Passaggio 3.22.12

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$f''' (x) = - \frac{6 (x^{4} - 6 x^{2} + 1)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Passaggio 4

Trova la derivata quarta.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Poiché $- 6$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- \frac{6 (x^{4} - 6 x^{2} + 1)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$ rispetto a $x$ è $- 6 \frac{d}{d x} [\frac{x^{4} - 6 x^{2} + 1}{{(x^{2} + 1)}^{4}}]$ .

$f^{4} (x) = - 6 \frac{d}{d x} \frac{x^{4} - 6 x^{2} + 1}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Passaggio 4.2

$f^{4} (x) = - 6 \frac{{(x^{2} + 1)}^{4} \frac{d}{d x} (x^{4} - 6 x^{2} + 1) - (x^{4} - 6 x^{2} + 1) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 1)}^{4}}{{({(x^{2} + 1)}^{4})}^{2}}$

Passaggio 4.3

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.1

Moltiplica gli esponenti in ${({(x^{2} + 1)}^{4})}^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.1.1

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f^{4} (x) = - 6 \frac{{(x^{2} + 1)}^{4} \frac{d}{d x} (x^{4} - 6 x^{2} + 1) - (x^{4} - 6 x^{2} + 1) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 1)}^{4}}{{(x^{2} + 1)}^{4 \cdot 2}}$

Passaggio 4.3.1.2

Moltiplica $4$ per $2$ .

$f^{4} (x) = - 6 \frac{{(x^{2} + 1)}^{4} \frac{d}{d x} (x^{4} - 6 x^{2} + 1) - (x^{4} - 6 x^{2} + 1) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 1)}^{4}}{{(x^{2} + 1)}^{8}}$

Passaggio 4.3.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $x^{4} - 6 x^{2} + 1$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 6 x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$f^{4} (x) = - 6 \frac{{(x^{2} + 1)}^{4} (\frac{d}{d x} (x^{4}) + \frac{d}{d x} (- 6 x^{2}) + \frac{d}{d x} (1)) - (x^{4} - 6 x^{2} + 1) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 1)}^{4}}{{(x^{2} + 1)}^{8}}$

Passaggio 4.3.3

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 4$ .

$f^{4} (x) = - 6 \frac{{(x^{2} + 1)}^{4} (4 x^{3} + \frac{d}{d x} (- 6 x^{2}) + \frac{d}{d x} (1)) - (x^{4} - 6 x^{2} + 1) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 1)}^{4}}{{(x^{2} + 1)}^{8}}$

Passaggio 4.3.4

Poiché $- 6$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 6 x^{2}$ rispetto a $x$ è $- 6 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f^{4} (x) = - 6 \frac{{(x^{2} + 1)}^{4} (4 x^{3} - 6 \frac{d}{d x} x^{2} + \frac{d}{d x} (1)) - (x^{4} - 6 x^{2} + 1) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 1)}^{4}}{{(x^{2} + 1)}^{8}}$

Passaggio 4.3.5

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$f^{4} (x) = - 6 \frac{{(x^{2} + 1)}^{4} (4 x^{3} - 6 (2 x) + \frac{d}{d x} (1)) - (x^{4} - 6 x^{2} + 1) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 1)}^{4}}{{(x^{2} + 1)}^{8}}$

Passaggio 4.3.6

Moltiplica $2$ per $- 6$ .

$f^{4} (x) = - 6 \frac{{(x^{2} + 1)}^{4} (4 x^{3} - 12 x + \frac{d}{d x} (1)) - (x^{4} - 6 x^{2} + 1) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 1)}^{4}}{{(x^{2} + 1)}^{8}}$

Passaggio 4.3.7

Poiché $1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$f^{4} (x) = - 6 \frac{{(x^{2} + 1)}^{4} (4 x^{3} - 12 x + 0) - (x^{4} - 6 x^{2} + 1) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 1)}^{4}}{{(x^{2} + 1)}^{8}}$

Passaggio 4.3.8

Somma $4 x^{3} - 12 x$ e $0$ .

$f^{4} (x) = - 6 \frac{{(x^{2} + 1)}^{4} (4 x^{3} - 12 x) - (x^{4} - 6 x^{2} + 1) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 1)}^{4}}{{(x^{2} + 1)}^{8}}$

Passaggio 4.4

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{4}$ e $g (x) = x^{2} + 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.4.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $x^{2} + 1$ .

$f^{4} (x) = - 6 \frac{{(x^{2} + 1)}^{4} (4 x^{3} - 12 x) - (x^{4} - 6 x^{2} + 1) (\frac{d}{d u} (u^{4}) \frac{d}{d x} (x^{2} + 1))}{{(x^{2} + 1)}^{8}}$

Passaggio 4.4.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ è $n u^{n - 1}$ dove $n = 4$ .

$f^{4} (x) = - 6 \frac{{(x^{2} + 1)}^{4} (4 x^{3} - 12 x) - (x^{4} - 6 x^{2} + 1) (4 u^{3} \frac{d}{d x} (x^{2} + 1))}{{(x^{2} + 1)}^{8}}$

Passaggio 4.4.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $x^{2} + 1$ .

$f^{4} (x) = - 6 \frac{{(x^{2} + 1)}^{4} (4 x^{3} - 12 x) - (x^{4} - 6 x^{2} + 1) (4 {(x^{2} + 1)}^{3} \frac{d}{d x} (x^{2} + 1))}{{(x^{2} + 1)}^{8}}$

Passaggio 4.5

Semplifica tramite esclusione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.5.1

Moltiplica $4$ per $- 1$ .

$f^{4} (x) = - 6 \frac{{(x^{2} + 1)}^{4} (4 x^{3} - 12 x) - 4 (x^{4} - 6 x^{2} + 1) ({(x^{2} + 1)}^{3} \frac{d}{d x} (x^{2} + 1))}{{(x^{2} + 1)}^{8}}$

Passaggio 4.5.2

Scomponi ${(x^{2} + 1)}^{3}$ da ${(x^{2} + 1)}^{4} (4 x^{3} - 12 x) - 4 (x^{4} - 6 x^{2} + 1) ({(x^{2} + 1)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1])$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.5.2.1

Scomponi ${(x^{2} + 1)}^{3}$ da ${(x^{2} + 1)}^{4} (4 x^{3} - 12 x)$ .

$f^{4} (x) = - 6 \frac{{(x^{2} + 1)}^{3} ((x^{2} + 1) (4 x^{3} - 12 x)) - 4 (x^{4} - 6 x^{2} + 1) ({(x^{2} + 1)}^{3} \frac{d}{d x} (x^{2} + 1))}{{(x^{2} + 1)}^{8}}$

Passaggio 4.5.2.2

Scomponi ${(x^{2} + 1)}^{3}$ da $- 4 (x^{4} - 6 x^{2} + 1) ({(x^{2} + 1)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1])$ .

$f^{4} (x) = - 6 \frac{{(x^{2} + 1)}^{3} ((x^{2} + 1) (4 x^{3} - 12 x)) + {(x^{2} + 1)}^{3} (- 4 (x^{4} - 6 x^{2} + 1) (\frac{d}{d x} (x^{2} + 1)))}{{(x^{2} + 1)}^{8}}$

Passaggio 4.5.2.3

Scomponi ${(x^{2} + 1)}^{3}$ da ${(x^{2} + 1)}^{3} ((x^{2} + 1) (4 x^{3} - 12 x)) + {(x^{2} + 1)}^{3} (- 4 (x^{4} - 6 x^{2} + 1) (\frac{d}{d x} [x^{2} + 1]))$ .

$f^{4} (x) = - 6 \frac{{(x^{2} + 1)}^{3} ((x^{2} + 1) (4 x^{3} - 12 x) - 4 (x^{4} - 6 x^{2} + 1) (\frac{d}{d x} (x^{2} + 1)))}{{(x^{2} + 1)}^{8}}$

Passaggio 4.6

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.6.1

Scomponi ${(x^{2} + 1)}^{3}$ da ${(x^{2} + 1)}^{8}$ .

$f^{4} (x) = - 6 \frac{{(x^{2} + 1)}^{3} ((x^{2} + 1) (4 x^{3} - 12 x) - 4 (x^{4} - 6 x^{2} + 1) (\frac{d}{d x} (x^{2} + 1)))}{{(x^{2} + 1)}^{3} {(x^{2} + 1)}^{5}}$

Passaggio 4.6.2

Elimina il fattore comune.

$f^{4} (x) = - 6 \frac{{(x^{2} + 1)}^{3} ((x^{2} + 1) (4 x^{3} - 12 x) - 4 (x^{4} - 6 x^{2} + 1) (\frac{d}{d x} (x^{2} + 1)))}{{(x^{2} + 1)}^{3} {(x^{2} + 1)}^{5}}$

Passaggio 4.6.3

Riscrivi l'espressione.

$f^{4} (x) = - 6 \frac{(x^{2} + 1) (4 x^{3} - 12 x) - 4 (x^{4} - 6 x^{2} + 1) (\frac{d}{d x} (x^{2} + 1))}{{(x^{2} + 1)}^{5}}$

Passaggio 4.7

Secondo la regola della somma, la derivata di $x^{2} + 1$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$f^{4} (x) = - 6 \frac{(x^{2} + 1) (4 x^{3} - 12 x) - 4 (x^{4} - 6 x^{2} + 1) (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (1))}{{(x^{2} + 1)}^{5}}$

Passaggio 4.8

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$f^{4} (x) = - 6 \frac{(x^{2} + 1) (4 x^{3} - 12 x) - 4 (x^{4} - 6 x^{2} + 1) (2 x + \frac{d}{d x} (1))}{{(x^{2} + 1)}^{5}}$

Passaggio 4.9

Poiché $1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$f^{4} (x) = - 6 \frac{(x^{2} + 1) (4 x^{3} - 12 x) - 4 (x^{4} - 6 x^{2} + 1) (2 x + 0)}{{(x^{2} + 1)}^{5}}$

Passaggio 4.10

Riduci le frazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.10.1

Somma $2 x$ e $0$ .

$f^{4} (x) = - 6 \frac{(x^{2} + 1) (4 x^{3} - 12 x) - 4 (x^{4} - 6 x^{2} + 1) (2 x)}{{(x^{2} + 1)}^{5}}$

Passaggio 4.10.2

Moltiplica $2$ per $- 4$ .

$f^{4} (x) = - 6 \frac{(x^{2} + 1) (4 x^{3} - 12 x) - 8 (x^{4} - 6 x^{2} + 1) x}{{(x^{2} + 1)}^{5}}$

Passaggio 4.10.3

$- 6$ e $\frac{(x^{2} + 1) (4 x^{3} - 12 x) - 8 (x^{4} - 6 x^{2} + 1) x}{{(x^{2} + 1)}^{5}}$ .

$f^{4} (x) = \frac{- 6 ((x^{2} + 1) (4 x^{3} - 12 x) - 8 (x^{4} - 6 x^{2} + 1) x)}{{(x^{2} + 1)}^{5}}$

Passaggio 4.10.4

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$f^{4} (x) = - \frac{(6) ((x^{2} + 1) (4 x^{3} - 12 x) - 8 (x^{4} - 6 x^{2} + 1) x)}{{(x^{2} + 1)}^{5}}$

Passaggio 4.11

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.11.1

Applica la proprietà distributiva.

$f^{4} (x) = - \frac{6 ((x^{2} + 1) (4 x^{3} - 12 x) + (- 8 x^{4} - 8 (- 6 x^{2}) - 8 \cdot 1) x)}{{(x^{2} + 1)}^{5}}$

Passaggio 4.11.2

Applica la proprietà distributiva.

$f^{4} (x) = - \frac{6 ((x^{2} + 1) (4 x^{3} - 12 x) - 8 x^{4} x - 8 (- 6 x^{2}) x - 8 \cdot (1 x))}{{(x^{2} + 1)}^{5}}$

Passaggio 4.11.3

Applica la proprietà distributiva.

$f^{4} (x) = - \frac{6 ((x^{2} + 1) (4 x^{3} - 12 x)) + 6 (- 8 x^{4} x) + 6 (- 8 (- 6 x^{2}) x) + 6 (- 8 \cdot (1 x))}{{(x^{2} + 1)}^{5}}$

Passaggio 4.11.4

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.11.4.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.11.4.1.1

Espandi $(x^{2} + 1) (4 x^{3} - 12 x)$ usando il metodo FOIL.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.11.4.1.1.1

Applica la proprietà distributiva.

$f^{4} (x) = - \frac{6 (x^{2} (4 x^{3} - 12 x) + 1 (4 x^{3} - 12 x)) + 6 (- 8 x^{4} x) + 6 (- 8 (- 6 x^{2}) x) + 6 (- 8 \cdot (1 x))}{{(x^{2} + 1)}^{5}}$

Passaggio 4.11.4.1.1.2

Applica la proprietà distributiva.

$f^{4} (x) = - \frac{6 (x^{2} (4 x^{3}) + x^{2} (- 12 x) + 1 (4 x^{3} - 12 x)) + 6 (- 8 x^{4} x) + 6 (- 8 (- 6 x^{2}) x) + 6 (- 8 \cdot (1 x))}{{(x^{2} + 1)}^{5}}$

Passaggio 4.11.4.1.1.3

Applica la proprietà distributiva.

$f^{4} (x) = - \frac{6 (x^{2} (4 x^{3}) + x^{2} (- 12 x) + 1 (4 x^{3}) + 1 (- 12 x)) + 6 (- 8 x^{4} x) + 6 (- 8 (- 6 x^{2}) x) + 6 (- 8 \cdot (1 x))}{{(x^{2} + 1)}^{5}}$

Passaggio 4.11.4.1.2

Semplifica e combina i termini simili.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.11.4.1.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.11.4.1.2.1.1

Riscrivi utilizzando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$f^{4} (x) = - \frac{6 (4 x^{2} x^{3} + x^{2} (- 12 x) + 1 (4 x^{3}) + 1 (- 12 x)) + 6 (- 8 x^{4} x) + 6 (- 8 (- 6 x^{2}) x) + 6 (- 8 \cdot (1 x))}{{(x^{2} + 1)}^{5}}$

Passaggio 4.11.4.1.2.1.2

Moltiplica $x^{2}$ per $x^{3}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.11.4.1.2.1.2.1

Sposta $x^{3}$ .

$f^{4} (x) = - \frac{6 (4 (x^{3} x^{2}) + x^{2} (- 12 x) + 1 (4 x^{3}) + 1 (- 12 x)) + 6 (- 8 x^{4} x) + 6 (- 8 (- 6 x^{2}) x) + 6 (- 8 \cdot (1 x))}{{(x^{2} + 1)}^{5}}$

Passaggio 4.11.4.1.2.1.2.2

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$f^{4} (x) = - \frac{6 (4 x^{3 + 2} + x^{2} (- 12 x) + 1 (4 x^{3}) + 1 (- 12 x)) + 6 (- 8 x^{4} x) + 6 (- 8 (- 6 x^{2}) x) + 6 (- 8 \cdot (1 x))}{{(x^{2} + 1)}^{5}}$

Passaggio 4.11.4.1.2.1.2.3

Somma $3$ e $2$ .

$f^{4} (x) = - \frac{6 (4 x^{5} + x^{2} (- 12 x) + 1 (4 x^{3}) + 1 (- 12 x)) + 6 (- 8 x^{4} x) + 6 (- 8 (- 6 x^{2}) x) + 6 (- 8 \cdot (1 x))}{{(x^{2} + 1)}^{5}}$

Passaggio 4.11.4.1.2.1.3

Riscrivi utilizzando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$f^{4} (x) = - \frac{6 (4 x^{5} - 12 x^{2} x + 1 (4 x^{3}) + 1 (- 12 x)) + 6 (- 8 x^{4} x) + 6 (- 8 (- 6 x^{2}) x) + 6 (- 8 \cdot (1 x))}{{(x^{2} + 1)}^{5}}$

Passaggio 4.11.4.1.2.1.4

Moltiplica $x^{2}$ per $x$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.11.4.1.2.1.4.1

Sposta $x$ .

$f^{4} (x) = - \frac{6 (4 x^{5} - 12 (x \cdot x^{2}) + 1 (4 x^{3}) + 1 (- 12 x)) + 6 (- 8 x^{4} x) + 6 (- 8 (- 6 x^{2}) x) + 6 (- 8 \cdot (1 x))}{{(x^{2} + 1)}^{5}}$

Passaggio 4.11.4.1.2.1.4.2

Moltiplica $x$ per $x^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.11.4.1.2.1.4.2.1

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$f^{4} (x) = - \frac{6 (4 x^{5} - 12 (x \cdot x^{2}) + 1 (4 x^{3}) + 1 (- 12 x)) + 6 (- 8 x^{4} x) + 6 (- 8 (- 6 x^{2}) x) + 6 (- 8 \cdot (1 x))}{{(x^{2} + 1)}^{5}}$

Passaggio 4.11.4.1.2.1.4.2.2

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$f^{4} (x) = - \frac{6 (4 x^{5} - 12 x^{1 + 2} + 1 (4 x^{3}) + 1 (- 12 x)) + 6 (- 8 x^{4} x) + 6 (- 8 (- 6 x^{2}) x) + 6 (- 8 \cdot (1 x))}{{(x^{2} + 1)}^{5}}$

Passaggio 4.11.4.1.2.1.4.3

Somma $1$ e $2$ .

$f^{4} (x) = - \frac{6 (4 x^{5} - 12 x^{3} + 1 (4 x^{3}) + 1 (- 12 x)) + 6 (- 8 x^{4} x) + 6 (- 8 (- 6 x^{2}) x) + 6 (- 8 \cdot (1 x))}{{(x^{2} + 1)}^{5}}$

Passaggio 4.11.4.1.2.1.5

Moltiplica $4 x^{3}$ per $1$ .

$f^{4} (x) = - \frac{6 (4 x^{5} - 12 x^{3} + 4 x^{3} + 1 (- 12 x)) + 6 (- 8 x^{4} x) + 6 (- 8 (- 6 x^{2}) x) + 6 (- 8 \cdot (1 x))}{{(x^{2} + 1)}^{5}}$

Passaggio 4.11.4.1.2.1.6

Moltiplica $- 12 x$ per $1$ .

$f^{4} (x) = - \frac{6 (4 x^{5} - 12 x^{3} + 4 x^{3} - 12 x) + 6 (- 8 x^{4} x) + 6 (- 8 (- 6 x^{2}) x) + 6 (- 8 \cdot (1 x))}{{(x^{2} + 1)}^{5}}$

Passaggio 4.11.4.1.2.2

Somma $- 12 x^{3}$ e $4 x^{3}$ .

$f^{4} (x) = - \frac{6 (4 x^{5} - 8 x^{3} - 12 x) + 6 (- 8 x^{4} x) + 6 (- 8 (- 6 x^{2}) x) + 6 (- 8 \cdot (1 x))}{{(x^{2} + 1)}^{5}}$

Passaggio 4.11.4.1.3

Applica la proprietà distributiva.

$f^{4} (x) = - \frac{6 (4 x^{5}) + 6 (- 8 x^{3}) + 6 (- 12 x) + 6 (- 8 x^{4} x) + 6 (- 8 (- 6 x^{2}) x) + 6 (- 8 \cdot (1 x))}{{(x^{2} + 1)}^{5}}$

Passaggio 4.11.4.1.4

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.11.4.1.4.1

Moltiplica $4$ per $6$ .

$f^{4} (x) = - \frac{24 x^{5} + 6 (- 8 x^{3}) + 6 (- 12 x) + 6 (- 8 x^{4} x) + 6 (- 8 (- 6 x^{2}) x) + 6 (- 8 \cdot (1 x))}{{(x^{2} + 1)}^{5}}$

Passaggio 4.11.4.1.4.2

Moltiplica $- 8$ per $6$ .

$f^{4} (x) = - \frac{24 x^{5} - 48 x^{3} + 6 (- 12 x) + 6 (- 8 x^{4} x) + 6 (- 8 (- 6 x^{2}) x) + 6 (- 8 \cdot (1 x))}{{(x^{2} + 1)}^{5}}$

Passaggio 4.11.4.1.4.3

Moltiplica $- 12$ per $6$ .

$f^{4} (x) = - \frac{24 x^{5} - 48 x^{3} - 72 x + 6 (- 8 x^{4} x) + 6 (- 8 (- 6 x^{2}) x) + 6 (- 8 \cdot (1 x))}{{(x^{2} + 1)}^{5}}$

Passaggio 4.11.4.1.5

Moltiplica $x^{4}$ per $x$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.11.4.1.5.1

Sposta $x$ .

$f^{4} (x) = - \frac{24 x^{5} - 48 x^{3} - 72 x + 6 (- 8 (x \cdot x^{4})) + 6 (- 8 (- 6 x^{2}) x) + 6 (- 8 \cdot (1 x))}{{(x^{2} + 1)}^{5}}$

Passaggio 4.11.4.1.5.2

Moltiplica $x$ per $x^{4}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.11.4.1.5.2.1

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$f^{4} (x) = - \frac{24 x^{5} - 48 x^{3} - 72 x + 6 (- 8 (x \cdot x^{4})) + 6 (- 8 (- 6 x^{2}) x) + 6 (- 8 \cdot (1 x))}{{(x^{2} + 1)}^{5}}$

Passaggio 4.11.4.1.5.2.2

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$f^{4} (x) = - \frac{24 x^{5} - 48 x^{3} - 72 x + 6 (- 8 x^{1 + 4}) + 6 (- 8 (- 6 x^{2}) x) + 6 (- 8 \cdot (1 x))}{{(x^{2} + 1)}^{5}}$

Passaggio 4.11.4.1.5.3

Somma $1$ e $4$ .

$f^{4} (x) = - \frac{24 x^{5} - 48 x^{3} - 72 x + 6 (- 8 x^{5}) + 6 (- 8 (- 6 x^{2}) x) + 6 (- 8 \cdot (1 x))}{{(x^{2} + 1)}^{5}}$

Passaggio 4.11.4.1.6

Moltiplica $- 8$ per $6$ .

$f^{4} (x) = - \frac{24 x^{5} - 48 x^{3} - 72 x - 48 x^{5} + 6 (- 8 (- 6 x^{2}) x) + 6 (- 8 \cdot (1 x))}{{(x^{2} + 1)}^{5}}$

Passaggio 4.11.4.1.7

Moltiplica $x^{2}$ per $x$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.11.4.1.7.1

Sposta $x$ .

$f^{4} (x) = - \frac{24 x^{5} - 48 x^{3} - 72 x - 48 x^{5} + 6 (- 8 (- 6 (x \cdot x^{2}))) + 6 (- 8 \cdot (1 x))}{{(x^{2} + 1)}^{5}}$

Passaggio 4.11.4.1.7.2

Moltiplica $x$ per $x^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.11.4.1.7.2.1

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$f^{4} (x) = - \frac{24 x^{5} - 48 x^{3} - 72 x - 48 x^{5} + 6 (- 8 (- 6 (x \cdot x^{2}))) + 6 (- 8 \cdot (1 x))}{{(x^{2} + 1)}^{5}}$

Passaggio 4.11.4.1.7.2.2

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$f^{4} (x) = - \frac{24 x^{5} - 48 x^{3} - 72 x - 48 x^{5} + 6 (- 8 (- 6 x^{1 + 2})) + 6 (- 8 \cdot (1 x))}{{(x^{2} + 1)}^{5}}$

Passaggio 4.11.4.1.7.3

Somma $1$ e $2$ .

$f^{4} (x) = - \frac{24 x^{5} - 48 x^{3} - 72 x - 48 x^{5} + 6 (- 8 (- 6 x^{3})) + 6 (- 8 \cdot (1 x))}{{(x^{2} + 1)}^{5}}$

Passaggio 4.11.4.1.8

Moltiplica $- 6$ per $- 8$ .

$f^{4} (x) = - \frac{24 x^{5} - 48 x^{3} - 72 x - 48 x^{5} + 6 (48 x^{3}) + 6 (- 8 \cdot (1 x))}{{(x^{2} + 1)}^{5}}$

Passaggio 4.11.4.1.9

Moltiplica $48$ per $6$ .

$f^{4} (x) = - \frac{24 x^{5} - 48 x^{3} - 72 x - 48 x^{5} + 288 x^{3} + 6 (- 8 \cdot (1 x))}{{(x^{2} + 1)}^{5}}$

Passaggio 4.11.4.1.10

Moltiplica $- 8$ per $1$ .

$f^{4} (x) = - \frac{24 x^{5} - 48 x^{3} - 72 x - 48 x^{5} + 288 x^{3} + 6 (- 8 x)}{{(x^{2} + 1)}^{5}}$

Passaggio 4.11.4.1.11

Moltiplica $- 8$ per $6$ .

$f^{4} (x) = - \frac{24 x^{5} - 48 x^{3} - 72 x - 48 x^{5} + 288 x^{3} - 48 x}{{(x^{2} + 1)}^{5}}$

Passaggio 4.11.4.2

Sottrai $48 x^{5}$ da $24 x^{5}$ .

$f^{4} (x) = - \frac{- 24 x^{5} - 48 x^{3} - 72 x + 288 x^{3} - 48 x}{{(x^{2} + 1)}^{5}}$

Passaggio 4.11.4.3

Somma $- 48 x^{3}$ e $288 x^{3}$ .

$f^{4} (x) = - \frac{- 24 x^{5} + 240 x^{3} - 72 x - 48 x}{{(x^{2} + 1)}^{5}}$

Passaggio 4.11.4.4

Sottrai $48 x$ da $- 72 x$ .

$f^{4} (x) = - \frac{- 24 x^{5} + 240 x^{3} - 120 x}{{(x^{2} + 1)}^{5}}$

Passaggio 4.11.5

Scomponi $24 x$ da $- 24 x^{5} + 240 x^{3} - 120 x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.11.5.1

Scomponi $24 x$ da $- 24 x^{5}$ .

$f^{4} (x) = - \frac{24 x (- x^{4}) + 240 x^{3} - 120 x}{{(x^{2} + 1)}^{5}}$

Passaggio 4.11.5.2

Scomponi $24 x$ da $240 x^{3}$ .

$f^{4} (x) = - \frac{24 x (- x^{4}) + 24 x (10 x^{2}) - 120 x}{{(x^{2} + 1)}^{5}}$

Passaggio 4.11.5.3

Scomponi $24 x$ da $- 120 x$ .

$f^{4} (x) = - \frac{24 x (- x^{4}) + 24 x (10 x^{2}) + 24 x (- 5)}{{(x^{2} + 1)}^{5}}$

Passaggio 4.11.5.4

Scomponi $24 x$ da $24 x (- x^{4}) + 24 x (10 x^{2})$ .

$f^{4} (x) = - \frac{24 x (- x^{4} + 10 x^{2}) + 24 x (- 5)}{{(x^{2} + 1)}^{5}}$

Passaggio 4.11.5.5

Scomponi $24 x$ da $24 x (- x^{4} + 10 x^{2}) + 24 x (- 5)$ .

$f^{4} (x) = - \frac{24 x (- x^{4} + 10 x^{2} - 5)}{{(x^{2} + 1)}^{5}}$

Passaggio 4.11.6

Scomponi $- 1$ da $- x^{4}$ .

$f^{4} (x) = - \frac{24 x (- (x^{4}) + 10 x^{2} - 5)}{{(x^{2} + 1)}^{5}}$

Passaggio 4.11.7

Scomponi $- 1$ da $10 x^{2}$ .

$f^{4} (x) = - \frac{24 x (- (x^{4}) - (- 10 x^{2}) - 5)}{{(x^{2} + 1)}^{5}}$

Passaggio 4.11.8

Scomponi $- 1$ da $- (x^{4}) - (- 10 x^{2})$ .

$f^{4} (x) = - \frac{24 x (- (x^{4} - 10 x^{2}) - 5)}{{(x^{2} + 1)}^{5}}$

Passaggio 4.11.9

Riscrivi $- 5$ come $- 1 (5)$ .

$f^{4} (x) = - \frac{24 x (- (x^{4} - 10 x^{2}) - 1 \cdot 5)}{{(x^{2} + 1)}^{5}}$

Passaggio 4.11.10

Scomponi $- 1$ da $- (x^{4} - 10 x^{2}) - 1 (5)$ .

$f^{4} (x) = - \frac{24 x (- (x^{4} - 10 x^{2} + 5))}{{(x^{2} + 1)}^{5}}$

Passaggio 4.11.11

Riscrivi $- (x^{4} - 10 x^{2} + 5)$ come $- 1 (x^{4} - 10 x^{2} + 5)$ .

$f^{4} (x) = - \frac{24 x (- 1 (x^{4} - 10 x^{2} + 5))}{{(x^{2} + 1)}^{5}}$

Passaggio 4.11.12

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$f^{4} (x) = \frac{(24 x) (x^{4} - 10 x^{2} + 5)}{{(x^{2} + 1)}^{5}}$

Passaggio 4.11.13

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$f^{4} (x) = 1 (\frac{(24 x) (x^{4} - 10 x^{2} + 5)}{{(x^{2} + 1)}^{5}})$

Passaggio 4.11.14

Moltiplica $\frac{(24 x) (x^{4} - 10 x^{2} + 5)}{{(x^{2} + 1)}^{5}}$ per $1$ .

$f^{4} (x) = \frac{(24 x) (x^{4} - 10 x^{2} + 5)}{{(x^{2} + 1)}^{5}}$

Passaggio 4.11.15

Riordina i fattori in $\frac{(24 x) (x^{4} - 10 x^{2} + 5)}{{(x^{2} + 1)}^{5}}$ .

$f^{4} (x) = \frac{24 x (x^{4} - 10 x^{2} + 5)}{{(x^{2} + 1)}^{5}}$

Passaggio 5

La derivata quarta di $f (x)$ rispetto a $x$ è $\frac{24 x (x^{4} - 10 x^{2} + 5)}{{(x^{2} + 1)}^{5}}$ .

$\frac{24 x (x^{4} - 10 x^{2} + 5)}{{(x^{2} + 1)}^{5}}$