Calcolo Esempi

$\int \frac{x}{{(1 - x^{2})}^{3}} d x$

Passaggio 1

Sia $u = 1 - x^{2}$ . Allora $d u = - 2 x d x$ , quindi $- \frac{1}{2} d u = x d x$ . Riscrivi usando $u$ e $d$ $u$ .

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Passaggio 1.1

Sia $u = 1 - x^{2}$ . Trova $\frac{d u}{d x}$ .

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Passaggio 1.1.1

Differenzia $1 - x^{2}$ .

$\frac{d}{d x} [1 - x^{2}]$

Passaggio 1.1.2

Differenzia.

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Passaggio 1.1.2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $1 - x^{2}$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Passaggio 1.1.2.2

Poiché $1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Passaggio 1.1.3

Calcola $\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

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Passaggio 1.1.3.1

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- x^{2}$ rispetto a $x$ è $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$0 - \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Passaggio 1.1.3.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$0 - (2 x)$

Passaggio 1.1.3.3

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$0 - 2 x$

Passaggio 1.1.4

Sottrai $2 x$ da $0$ .

$- 2 x$

Passaggio 1.2

Riscrivi il problema utilizzando $u$ e $d u$ .

$\int \frac{1}{u^{3}} \cdot \frac{1}{- 2} d u$

Passaggio 2

Semplifica.

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Passaggio 2.1

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$\int \frac{1}{u^{3}} (- \frac{1}{2}) d u$

Passaggio 2.2

Moltiplica $\frac{1}{u^{3}}$ per $\frac{1}{2}$ .

$\int - \frac{1}{u^{3} \cdot 2} d u$

Passaggio 2.3

Sposta $2$ alla sinistra di $u^{3}$ .

$\int - \frac{1}{2 u^{3}} d u$

Passaggio 3

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $u$ , sposta $- 1$ fuori dall'integrale.

$- \int \frac{1}{2 u^{3}} d u$

Passaggio 4

Poiché $\frac{1}{2}$ è costante rispetto a $u$ , sposta $\frac{1}{2}$ fuori dall'integrale.

$- (\frac{1}{2} \int \frac{1}{u^{3}} d u)$

Passaggio 5

Applica le regole di base degli esponenti.

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Passaggio 5.1

Sposta $u^{3}$ fuori dal denominatore elevandolo alla potenza di $- 1$ .

$- \frac{1}{2} \int {(u^{3})}^{- 1} d u$

Passaggio 5.2

Moltiplica gli esponenti in ${(u^{3})}^{- 1}$ .

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Passaggio 5.2.1

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{1}{2} \int u^{3 \cdot - 1} d u$

Passaggio 5.2.2

Moltiplica $3$ per $- 1$ .

$- \frac{1}{2} \int u^{- 3} d u$

Passaggio 6

Secondo la regola di potenza, l'intero di $u^{- 3}$ rispetto a $u$ è $- \frac{1}{2} u^{- 2}$ .

$- \frac{1}{2} (- \frac{1}{2} u^{- 2} + C)$

Passaggio 7

Semplifica.

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Passaggio 7.1

Riscrivi $- \frac{1}{2} (- \frac{1}{2} u^{- 2} + C)$ come $- \frac{1}{2} (- \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{u^{2}}) + C$ .

$- \frac{1}{2} (- \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{u^{2}}) + C$

Passaggio 7.2

Semplifica.

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Passaggio 7.2.1

Moltiplica $\frac{1}{u^{2}}$ per $\frac{1}{2}$ .

$- \frac{1}{2} (- \frac{1}{u^{2} \cdot 2}) + C$

Passaggio 7.2.2

Sposta $2$ alla sinistra di $u^{2}$ .

$- \frac{1}{2} (- \frac{1}{2 \cdot u^{2}}) + C$

Passaggio 7.2.3

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$1 (\frac{1}{2}) \frac{1}{2 u^{2}} + C$

Passaggio 7.2.4

Moltiplica $\frac{1}{2}$ per $1$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2 u^{2}} + C$

Passaggio 7.2.5

Moltiplica $\frac{1}{2}$ per $\frac{1}{2 u^{2}}$ .

$\frac{1}{2 (2 u^{2})} + C$

Passaggio 7.2.6

Moltiplica $2$ per $2$ .

$\frac{1}{4 u^{2}} + C$

Passaggio 8

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $1 - x^{2}$ .

$\frac{1}{4 {(1 - x^{2})}^{2}} + C$