Calcolo Esempi

$\int 8 e^{4 y} d y$

Passaggio 1

Poiché $8$ è costante rispetto a $y$ , sposta $8$ fuori dall'integrale.

$8 \int e^{4 y} d y$

Passaggio 2

Sia $u = 4 y$ . Allora $d u = 4 d y$ , quindi $\frac{1}{4} d u = d y$ . Riscrivi usando $u$ e $d$ $u$ .

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Passaggio 2.1

Sia $u = 4 y$ . Trova $\frac{d u}{d y}$ .

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Passaggio 2.1.1

Differenzia $4 y$ .

$\frac{d}{d y} [4 y]$

Passaggio 2.1.2

Poiché $4$ è costante rispetto a $y$ , la derivata di $4 y$ rispetto a $y$ è $4 \frac{d}{d y} [y]$ .

$4 \frac{d}{d y} [y]$

Passaggio 2.1.3

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ è $n y^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$4 \cdot 1$

Passaggio 2.1.4

Moltiplica $4$ per $1$ .

$4$

Passaggio 2.2

Riscrivi il problema utilizzando $u$ e $d u$ .

$8 \int e^{u} \frac{1}{4} d u$

Passaggio 3

$e^{u}$ e $\frac{1}{4}$ .

$8 \int \frac{e^{u}}{4} d u$

Passaggio 4

Poiché $\frac{1}{4}$ è costante rispetto a $u$ , sposta $\frac{1}{4}$ fuori dall'integrale.

$8 (\frac{1}{4} \int e^{u} d u)$

Passaggio 5

Semplifica.

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Passaggio 5.1

$\frac{1}{4}$ e $8$ .

$\frac{8}{4} \int e^{u} d u$

Passaggio 5.2

Elimina il fattore comune di $8$ e $4$ .

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Passaggio 5.2.1

Scomponi $4$ da $8$ .

$\frac{4 \cdot 2}{4} \int e^{u} d u$

Passaggio 5.2.2

Elimina i fattori comuni.

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Passaggio 5.2.2.1

Scomponi $4$ da $4$ .

$\frac{4 \cdot 2}{4 (1)} \int e^{u} d u$

Passaggio 5.2.2.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{4 \cdot 2}{4 \cdot 1} \int e^{u} d u$

Passaggio 5.2.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{2}{1} \int e^{u} d u$

Passaggio 5.2.2.4

Dividi $2$ per $1$ .

$2 \int e^{u} d u$

Passaggio 6

L'integrale di $e^{u}$ rispetto a $u$ è $e^{u}$ .

$2 (e^{u} + C)$

Passaggio 7

Semplifica.

$2 e^{u} + C$

Passaggio 8

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $4 y$ .

$2 e^{4 y} + C$