Calcolo Esempi

$\int t^{3} e^{- t^{2}} d t$

Passaggio 1

Sia $u = - t^{2}$ . Allora $d u = - 2 t d t$ , quindi $- \frac{1}{2} d u = t d t$ . Riscrivi usando $u$ e $d$ $u$ .

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Passaggio 1.1

Sia $u = - t^{2}$ . Trova $\frac{d u}{d t}$ .

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Passaggio 1.1.1

Differenzia $- t^{2}$ .

$\frac{d}{d t} [- t^{2}]$

Passaggio 1.1.2

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $t$ , la derivata di $- t^{2}$ rispetto a $t$ è $- \frac{d}{d t} [t^{2}]$ .

$- \frac{d}{d t} [t^{2}]$

Passaggio 1.1.3

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ è $n t^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$- (2 t)$

Passaggio 1.1.4

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$- 2 t$

Passaggio 1.2

Riscrivi il problema utilizzando $u$ e $d u$ .

$\int {\sqrt{- u}}^{2} e^{u} \frac{1}{- 2} d u$

Passaggio 2

Semplifica.

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Passaggio 2.1

Riscrivi ${\sqrt{- u}}^{2}$ come $- u$ .

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Passaggio 2.1.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{- u}$ come ${(- u)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\int {({(- u)}^{\frac{1}{2}})}^{2} e^{u} \frac{1}{- 2} d u$

Passaggio 2.1.2

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int {(- u)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} e^{u} \frac{1}{- 2} d u$

Passaggio 2.1.3

$\frac{1}{2}$ e $2$ .

$\int {(- u)}^{\frac{2}{2}} e^{u} \frac{1}{- 2} d u$

Passaggio 2.1.4

Elimina il fattore comune di $2$ .

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Passaggio 2.1.4.1

Elimina il fattore comune.

$\int {(- u)}^{\frac{2}{2}} e^{u} \frac{1}{- 2} d u$

Passaggio 2.1.4.2

Riscrivi l'espressione.

$\int {(- u)}^{1} e^{u} \frac{1}{- 2} d u$

Passaggio 2.1.5

Semplifica.

$\int - u e^{u} \frac{1}{- 2} d u$

Passaggio 2.2

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$\int - u e^{u} (- \frac{1}{2}) d u$

Passaggio 2.3

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$\int 1 u e^{u} \frac{1}{2} d u$

Passaggio 2.4

Moltiplica $u$ per $1$ .

$\int u e^{u} \frac{1}{2} d u$

Passaggio 2.5

$\frac{1}{2}$ e $u$ .

$\int \frac{u}{2} e^{u} d u$

Passaggio 2.6

$\frac{u}{2}$ e $e^{u}$ .

$\int \frac{u e^{u}}{2} d u$

Passaggio 3

Poiché $\frac{1}{2}$ è costante rispetto a $u$ , sposta $\frac{1}{2}$ fuori dall'integrale.

$\frac{1}{2} \int u e^{u} d u$

Passaggio 4

Integra per parti usando la formula $\int w d v = w v - \int v d w$ , dove $w = u$ e $dv = e^{u}$ .

$\frac{1}{2} (u e^{u} - \int e^{u} d u)$

Passaggio 5

L'integrale di $e^{u}$ rispetto a $u$ è $e^{u}$ .

$\frac{1}{2} (u e^{u} - (e^{u} + C))$

Passaggio 6

Semplifica.

$\frac{1}{2} (u e^{u} - e^{u}) + C$

Passaggio 7

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $- t^{2}$ .

$\frac{1}{2} (- t^{2} e^{- t^{2}} - e^{- t^{2}}) + C$

Passaggio 8

Semplifica.

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Passaggio 8.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{1}{2} (- t^{2} e^{- t^{2}}) + \frac{1}{2} (- e^{- t^{2}}) + C$

Passaggio 8.2

Moltiplica $\frac{1}{2} (- t^{2} e^{- t^{2}})$ .

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Passaggio 8.2.1

$\frac{1}{2}$ e $t^{2}$ .

$- \frac{t^{2}}{2} e^{- t^{2}} + \frac{1}{2} (- e^{- t^{2}}) + C$

Passaggio 8.2.2

$e^{- t^{2}}$ e $\frac{t^{2}}{2}$ .

$- \frac{e^{- t^{2}} t^{2}}{2} + \frac{1}{2} (- e^{- t^{2}}) + C$

Passaggio 8.3

$\frac{1}{2}$ e $e^{- t^{2}}$ .

$- \frac{e^{- t^{2}} t^{2}}{2} - \frac{e^{- t^{2}}}{2} + C$

Passaggio 8.4

Riordina i fattori in $- \frac{e^{- t^{2}} t^{2}}{2} - \frac{e^{- t^{2}}}{2}$ .

$- \frac{t^{2} e^{- t^{2}}}{2} - \frac{e^{- t^{2}}}{2} + C$

Passaggio 9

Riordina i termini.

$- \frac{1}{2} t^{2} e^{- t^{2}} - \frac{1}{2} e^{- t^{2}} + C$