Calcolo Esempi

$\int_{4}^{5} x \sqrt{x - 4} d x$

Passaggio 1

Integra per parti usando la formula $\int u d v = u v - \int v d u$ , dove $u = x$ e $d v = \sqrt{x - 4}$ .

$x (\frac{2}{3} {(x - 4)}^{\frac{3}{2}})]_{4}^{5} - \int_{4}^{5} \frac{2}{3} {(x - 4)}^{\frac{3}{2}} d x$

Passaggio 2

Semplifica.

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Passaggio 2.1

$\frac{2}{3}$ e ${(x - 4)}^{\frac{3}{2}}$ .

$x \frac{2 {(x - 4)}^{\frac{3}{2}}}{3}]_{4}^{5} - \int_{4}^{5} \frac{2}{3} {(x - 4)}^{\frac{3}{2}} d x$

Passaggio 2.2

$x$ e $\frac{2 {(x - 4)}^{\frac{3}{2}}}{3}$ .

$\frac{x (2 {(x - 4)}^{\frac{3}{2}})}{3}]_{4}^{5} - \int_{4}^{5} \frac{2}{3} {(x - 4)}^{\frac{3}{2}} d x$

Passaggio 3

Poiché $\frac{2}{3}$ è costante rispetto a $x$ , sposta $\frac{2}{3}$ fuori dall'integrale.

$\frac{x (2 {(x - 4)}^{\frac{3}{2}})}{3}]_{4}^{5} - (\frac{2}{3} \int_{4}^{5} {(x - 4)}^{\frac{3}{2}} d x)$

Passaggio 4

Sia $u = x - 4$ . Allora $d u = d x$ . Riscrivi usando $u$ e $d$ $u$ .

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Passaggio 4.1

Sia $u = x - 4$ . Trova $\frac{d u}{d x}$ .

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Passaggio 4.1.1

Differenzia $x - 4$ .

$\frac{d}{d x} [x - 4]$

Passaggio 4.1.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $x - 4$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 4]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 4]$

Passaggio 4.1.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [- 4]$

Passaggio 4.1.4

Poiché $- 4$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 4$ rispetto a $x$ è $0$ .

$1 + 0$

Passaggio 4.1.5

Somma $1$ e $0$ .

$1$

Passaggio 4.2

Sostituisci il limite inferiore a $x$ in $u = x - 4$ .

$u_{lower} = 4 - 4$

Passaggio 4.3

Sottrai $4$ da $4$ .

$u_{lower} = 0$

Passaggio 4.4

Sostituisci il limite superiore a $x$ in $u = x - 4$ .

$u_{upper} = 5 - 4$

Passaggio 4.5

Sottrai $4$ da $5$ .

$u_{upper} = 1$

Passaggio 4.6

I valori trovati per $u_{lower}$ e $u_{upper}$ saranno usati per calcolare l'integrale definito.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = 1$

Passaggio 4.7

Riscrivi il problema usando $u$ , $d u$ e i nuovi limiti dell'integrazione.

$\frac{x (2 {(x - 4)}^{\frac{3}{2}})}{3}]_{4}^{5} - \frac{2}{3} \int_{0}^{1} u^{\frac{3}{2}} d u$

Passaggio 5

Secondo la regola della potenza, l'intero di $u^{\frac{3}{2}}$ rispetto a $u$ è $\frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}}$ .

$\frac{x (2 {(x - 4)}^{\frac{3}{2}})}{3}]_{4}^{5} - \frac{2}{3} \frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}}]_{0}^{1}$

Passaggio 6

Sostituisci e semplifica.

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Passaggio 6.1

Calcola $\frac{x (2 {(x - 4)}^{\frac{3}{2}})}{3}$ per $5$ e per $4$ .

$(\frac{5 (2 {(5 - 4)}^{\frac{3}{2}})}{3}) - \frac{4 (2 {(4 - 4)}^{\frac{3}{2}})}{3} - \frac{2}{3} \frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}}]_{0}^{1}$

Passaggio 6.2

Calcola $\frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}}$ per $1$ e per $0$ .

$(\frac{5 (2 {(5 - 4)}^{\frac{3}{2}})}{3}) - \frac{4 (2 {(4 - 4)}^{\frac{3}{2}})}{3} - \frac{2}{3} ((\frac{2}{5} \cdot 1^{\frac{5}{2}}) - \frac{2}{5} \cdot 0^{\frac{5}{2}})$

Passaggio 6.3

Semplifica.

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Passaggio 6.3.1

Sottrai $4$ da $5$ .

$\frac{5 (2 \cdot 1^{\frac{3}{2}})}{3} - \frac{4 (2 {(4 - 4)}^{\frac{3}{2}})}{3} - \frac{2}{3} ((\frac{2}{5} \cdot 1^{\frac{5}{2}}) - \frac{2}{5} \cdot 0^{\frac{5}{2}})$

Passaggio 6.3.2

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$\frac{5 (2 \cdot 1)}{3} - \frac{4 (2 {(4 - 4)}^{\frac{3}{2}})}{3} - \frac{2}{3} ((\frac{2}{5} \cdot 1^{\frac{5}{2}}) - \frac{2}{5} \cdot 0^{\frac{5}{2}})$

Passaggio 6.3.3

Moltiplica $2$ per $1$ .

$\frac{5 \cdot 2}{3} - \frac{4 (2 {(4 - 4)}^{\frac{3}{2}})}{3} - \frac{2}{3} ((\frac{2}{5} \cdot 1^{\frac{5}{2}}) - \frac{2}{5} \cdot 0^{\frac{5}{2}})$

Passaggio 6.3.4

Moltiplica $5$ per $2$ .

$\frac{10}{3} - \frac{4 (2 {(4 - 4)}^{\frac{3}{2}})}{3} - \frac{2}{3} ((\frac{2}{5} \cdot 1^{\frac{5}{2}}) - \frac{2}{5} \cdot 0^{\frac{5}{2}})$

Passaggio 6.3.5

Sottrai $4$ da $4$ .

$\frac{10}{3} - \frac{4 (2 \cdot 0^{\frac{3}{2}})}{3} - \frac{2}{3} ((\frac{2}{5} \cdot 1^{\frac{5}{2}}) - \frac{2}{5} \cdot 0^{\frac{5}{2}})$

Passaggio 6.3.6

Riscrivi $0$ come $0^{2}$ .

$\frac{10}{3} - \frac{4 (2 \cdot {(0^{2})}^{\frac{3}{2}})}{3} - \frac{2}{3} ((\frac{2}{5} \cdot 1^{\frac{5}{2}}) - \frac{2}{5} \cdot 0^{\frac{5}{2}})$

Passaggio 6.3.7

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{10}{3} - \frac{4 (2 \cdot 0^{2 (\frac{3}{2})})}{3} - \frac{2}{3} ((\frac{2}{5} \cdot 1^{\frac{5}{2}}) - \frac{2}{5} \cdot 0^{\frac{5}{2}})$

Passaggio 6.3.8

Elimina il fattore comune di $2$ .

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Passaggio 6.3.8.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{10}{3} - \frac{4 (2 \cdot 0^{2 (\frac{3}{2})})}{3} - \frac{2}{3} ((\frac{2}{5} \cdot 1^{\frac{5}{2}}) - \frac{2}{5} \cdot 0^{\frac{5}{2}})$

Passaggio 6.3.8.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{10}{3} - \frac{4 (2 \cdot 0^{3})}{3} - \frac{2}{3} ((\frac{2}{5} \cdot 1^{\frac{5}{2}}) - \frac{2}{5} \cdot 0^{\frac{5}{2}})$

Passaggio 6.3.9

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$\frac{10}{3} - \frac{4 (2 \cdot 0)}{3} - \frac{2}{3} ((\frac{2}{5} \cdot 1^{\frac{5}{2}}) - \frac{2}{5} \cdot 0^{\frac{5}{2}})$

Passaggio 6.3.10

Moltiplica $2$ per $0$ .

$\frac{10}{3} - \frac{4 \cdot 0}{3} - \frac{2}{3} ((\frac{2}{5} \cdot 1^{\frac{5}{2}}) - \frac{2}{5} \cdot 0^{\frac{5}{2}})$

Passaggio 6.3.11

Moltiplica $4$ per $0$ .

$\frac{10}{3} - \frac{0}{3} - \frac{2}{3} ((\frac{2}{5} \cdot 1^{\frac{5}{2}}) - \frac{2}{5} \cdot 0^{\frac{5}{2}})$

Passaggio 6.3.12

Elimina il fattore comune di $0$ e $3$ .

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Passaggio 6.3.12.1

Scomponi $3$ da $0$ .

$\frac{10}{3} - \frac{3 (0)}{3} - \frac{2}{3} ((\frac{2}{5} \cdot 1^{\frac{5}{2}}) - \frac{2}{5} \cdot 0^{\frac{5}{2}})$

Passaggio 6.3.12.2

Elimina i fattori comuni.

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Passaggio 6.3.12.2.1

Scomponi $3$ da $3$ .

$\frac{10}{3} - \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1} - \frac{2}{3} ((\frac{2}{5} \cdot 1^{\frac{5}{2}}) - \frac{2}{5} \cdot 0^{\frac{5}{2}})$

Passaggio 6.3.12.2.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{10}{3} - \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1} - \frac{2}{3} ((\frac{2}{5} \cdot 1^{\frac{5}{2}}) - \frac{2}{5} \cdot 0^{\frac{5}{2}})$

Passaggio 6.3.12.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{10}{3} - \frac{0}{1} - \frac{2}{3} ((\frac{2}{5} \cdot 1^{\frac{5}{2}}) - \frac{2}{5} \cdot 0^{\frac{5}{2}})$

Passaggio 6.3.12.2.4

Dividi $0$ per $1$ .

$\frac{10}{3} - 0 - \frac{2}{3} ((\frac{2}{5} \cdot 1^{\frac{5}{2}}) - \frac{2}{5} \cdot 0^{\frac{5}{2}})$

Passaggio 6.3.13

Moltiplica $- 1$ per $0$ .

$\frac{10}{3} + 0 - \frac{2}{3} ((\frac{2}{5} \cdot 1^{\frac{5}{2}}) - \frac{2}{5} \cdot 0^{\frac{5}{2}})$

Passaggio 6.3.14

Somma $\frac{10}{3}$ e $0$ .

$\frac{10}{3} - \frac{2}{3} ((\frac{2}{5} \cdot 1^{\frac{5}{2}}) - \frac{2}{5} \cdot 0^{\frac{5}{2}})$

Passaggio 6.3.15

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$\frac{10}{3} - \frac{2}{3} (\frac{2}{5} \cdot 1 - \frac{2}{5} \cdot 0^{\frac{5}{2}})$

Passaggio 6.3.16

Moltiplica $\frac{2}{5}$ per $1$ .

$\frac{10}{3} - \frac{2}{3} (\frac{2}{5} - \frac{2}{5} \cdot 0^{\frac{5}{2}})$

Passaggio 6.3.17

Riscrivi $0$ come $0^{2}$ .

$\frac{10}{3} - \frac{2}{3} (\frac{2}{5} - \frac{2}{5} \cdot {(0^{2})}^{\frac{5}{2}})$

Passaggio 6.3.18

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{10}{3} - \frac{2}{3} (\frac{2}{5} - \frac{2}{5} \cdot 0^{2 (\frac{5}{2})})$

Passaggio 6.3.19

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.19.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{10}{3} - \frac{2}{3} (\frac{2}{5} - \frac{2}{5} \cdot 0^{2 (\frac{5}{2})})$

Passaggio 6.3.19.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{10}{3} - \frac{2}{3} (\frac{2}{5} - \frac{2}{5} \cdot 0^{5})$

Passaggio 6.3.20

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$\frac{10}{3} - \frac{2}{3} (\frac{2}{5} - \frac{2}{5} \cdot 0)$

Passaggio 6.3.21

Moltiplica $0$ per $- 1$ .

$\frac{10}{3} - \frac{2}{3} (\frac{2}{5} + 0 (\frac{2}{5}))$

Passaggio 6.3.22

Moltiplica $0$ per $\frac{2}{5}$ .

$\frac{10}{3} - \frac{2}{3} (\frac{2}{5} + 0)$

Passaggio 6.3.23

Somma $\frac{2}{5}$ e $0$ .

$\frac{10}{3} - \frac{2}{3} \cdot \frac{2}{5}$

Passaggio 6.3.24

Moltiplica $\frac{2}{5}$ per $\frac{2}{3}$ .

$\frac{10}{3} - \frac{2 \cdot 2}{5 \cdot 3}$

Passaggio 6.3.25

Moltiplica $2$ per $2$ .

$\frac{10}{3} - \frac{4}{5 \cdot 3}$

Passaggio 6.3.26

Moltiplica $5$ per $3$ .

$\frac{10}{3} - \frac{4}{15}$

Passaggio 6.3.27

Per scrivere $\frac{10}{3}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{5}{5}$ .

$\frac{10}{3} \cdot \frac{5}{5} - \frac{4}{15}$

Passaggio 6.3.28

Scrivi ogni espressione con un comune denominatore di $15$ , moltiplicando ciascuna per il fattore appropriato di $1$ .

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Passaggio 6.3.28.1

Moltiplica $\frac{10}{3}$ per $\frac{5}{5}$ .

$\frac{10 \cdot 5}{3 \cdot 5} - \frac{4}{15}$

Passaggio 6.3.28.2

Moltiplica $3$ per $5$ .

$\frac{10 \cdot 5}{15} - \frac{4}{15}$

Passaggio 6.3.29

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{10 \cdot 5 - 4}{15}$

Passaggio 6.3.30

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 6.3.30.1

Moltiplica $10$ per $5$ .

$\frac{50 - 4}{15}$

Passaggio 6.3.30.2

Sottrai $4$ da $50$ .

$\frac{46}{15}$

Passaggio 7

Il risultato può essere mostrato in più forme.

Forma esatta:

$\frac{46}{15}$

Forma decimale:

$3.0\overline{6}$

Forma numero misto:

$3 \frac{1}{15}$

Passaggio 8