Calcolo Esempi

$\int \frac{x^{3}}{\sqrt{x^{2} + 36}} d x$

Passaggio 1

Sia $x = 6 \tan (t)$ , dove $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ . Allora $d x = 6 \sec^{2} (t) d t$ . Si noti che, poiché $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ , $6 \sec^{2} (t)$ è positivo.

$\int \frac{{(6 \tan (t))}^{3}}{\sqrt{{(6 \tan (t))}^{2} + 36}} (6 \sec^{2} (t)) d t$

Passaggio 2

Semplifica i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Semplifica $\sqrt{{(6 \tan (t))}^{2} + 36}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1.1

Applica la regola del prodotto a $6 \tan (t)$ .

$\int \frac{{(6 \tan (t))}^{3}}{\sqrt{6^{2} \tan^{2} (t) + 36}} (6 \sec^{2} (t)) d t$

Passaggio 2.1.1.2

Eleva $6$ alla potenza di $2$ .

$\int \frac{{(6 \tan (t))}^{3}}{\sqrt{36 \tan^{2} (t) + 36}} (6 \sec^{2} (t)) d t$

Passaggio 2.1.2

Scomponi $36$ da $36 \tan^{2} (t) + 36$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.2.1

Scomponi $36$ da $36 \tan^{2} (t)$ .

$\int \frac{{(6 \tan (t))}^{3}}{\sqrt{36 (\tan^{2} (t)) + 36}} (6 \sec^{2} (t)) d t$

Passaggio 2.1.2.2

Scomponi $36$ da $36$ .

$\int \frac{{(6 \tan (t))}^{3}}{\sqrt{36 (\tan^{2} (t)) + 36 (1)}} (6 \sec^{2} (t)) d t$

Passaggio 2.1.2.3

Scomponi $36$ da $36 (\tan^{2} (t)) + 36 (1)$ .

$\int \frac{{(6 \tan (t))}^{3}}{\sqrt{36 (\tan^{2} (t) + 1)}} (6 \sec^{2} (t)) d t$

Passaggio 2.1.3

Applica l'identità pitagorica.

$\int \frac{{(6 \tan (t))}^{3}}{\sqrt{36 \sec^{2} (t)}} (6 \sec^{2} (t)) d t$

Passaggio 2.1.4

Riscrivi $36 \sec^{2} (t)$ come ${(6 \sec (t))}^{2}$ .

$\int \frac{{(6 \tan (t))}^{3}}{\sqrt{{(6 \sec (t))}^{2}}} (6 \sec^{2} (t)) d t$

Passaggio 2.1.5

Estrai i termini dal radicale, presupponendo numeri reali positivi.

$\int \frac{{(6 \tan (t))}^{3}}{6 \sec (t)} (6 \sec^{2} (t)) d t$

Passaggio 2.2

Riduci l'espressione eliminando i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Elimina il fattore comune di $6 \sec (t)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1.1

Scomponi $6 \sec (t)$ da $6 \sec^{2} (t)$ .

$\int \frac{{(6 \tan (t))}^{3}}{6 \sec (t)} (6 \sec (t) (\sec (t))) d t$

Passaggio 2.2.1.2

Elimina il fattore comune.

$\int \frac{{(6 \tan (t))}^{3}}{6 \sec (t)} (6 \sec (t) \sec (t)) d t$

Passaggio 2.2.1.3

Riscrivi l'espressione.

$\int {(6 \tan (t))}^{3} \sec (t) d t$

Passaggio 2.2.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.2.1

Scomponi $6$ da $6 \tan (t)$ .

$\int {(6 (\tan (t)))}^{3} \sec (t) d t$

Passaggio 2.2.2.2

Applica la regola del prodotto a $6 (\tan (t))$ .

$\int 6^{3} \tan^{3} (t) \sec (t) d t$

Passaggio 2.2.2.3

Eleva $6$ alla potenza di $3$ .

$\int 216 \tan^{3} (t) \sec (t) d t$

Passaggio 3

Poiché $216$ è costante rispetto a $t$ , sposta $216$ fuori dall'integrale.

$216 \int \tan^{3} (t) \sec (t) d t$

Passaggio 4

Eleva $\sec (t)$ alla potenza di $1$ .

$216 \int \tan^{3} (t) \sec^{1} (t) d t$

Passaggio 5

Metti in evidenza $\tan^{2} (t)$ .

$216 \int \tan^{2} (t) \tan (t) \sec^{1} (t) d t$

Passaggio 6

Utilizzando l'identità pitagorica, riscrivi $\tan^{2} (t)$ come $- 1 + \sec^{2} (t)$ .

$216 \int (- 1 + \sec^{2} (t)) \tan (t) \sec^{1} (t) d t$

Passaggio 7

Semplifica.

$216 \int (- 1 + \sec^{2} (t)) \tan (t) \sec (t) d t$

Passaggio 8

Sia $u = \sec (t)$ . Allora $d u = \sec (t) \tan (t) d t$ , quindi $\frac{1}{\sec (t) \tan (t)} d u = d t$ . Riscrivi usando $u$ e $d$ $u$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.1

Sia $u = \sec (t)$ . Trova $\frac{d u}{d t}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.1.1

Differenzia $\sec (t)$ .

$\frac{d}{d t} [\sec (t)]$

Passaggio 8.1.2

La derivata di $\sec (t)$ rispetto a $t$ è $\sec (t) \tan (t)$ .

$\sec (t) \tan (t)$

Passaggio 8.2

Riscrivi il problema utilizzando $u$ e $d u$ .

$216 \int - 1 + u^{2} d u$

Passaggio 9

Dividi il singolo integrale in più integrali.

$216 (\int - 1 d u + \int u^{2} d u)$

Passaggio 10

Applica la regola costante.

$216 (- u + C + \int u^{2} d u)$

Passaggio 11

Secondo la regola di potenza, l'intero di $u^{2}$ rispetto a $u$ è $\frac{1}{3} u^{3}$ .

$216 (- u + C + \frac{1}{3} u^{3} + C)$

Passaggio 12

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.1

$\frac{1}{3}$ e $u^{3}$ .

$216 (- u + C + \frac{u^{3}}{3} + C)$

Passaggio 12.2

Semplifica.

$216 (- u + \frac{1}{3} u^{3}) + C$

Passaggio 13

Sostituisci al posto di ogni variabile di integrazione per sostituzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.1

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $\sec (t)$ .

$216 (- \sec (t) + \frac{1}{3} \sec^{3} (t)) + C$

Passaggio 13.2

Sostituisci tutte le occorrenze di $t$ con $\arctan (\frac{x}{6})$ .

$216 (- \sec (\arctan (\frac{x}{6})) + \frac{1}{3} \sec^{3} (\arctan (\frac{x}{6}))) + C$

Passaggio 14

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 14.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 14.1.1

Disegna un triangolo sul piano con i vertici $(1, \frac{x}{6})$ , $(1, 0)$ e l'origine. Poi $\arctan (\frac{x}{6})$ è l'angolo tra l'asse x positivo e il raggio che inizia dall'origine e passa attraverso $(1, \frac{x}{6})$ . Perciò, $\sec (\arctan (\frac{x}{6}))$ è $\sqrt{1 + {(\frac{x}{6})}^{2}}$ .

$216 (- \sqrt{1 + {(\frac{x}{6})}^{2}} + \frac{1}{3} \sec^{3} (\arctan (\frac{x}{6}))) + C$

Passaggio 14.1.2

Applica la regola del prodotto a $\frac{x}{6}$ .

$216 (- \sqrt{1 + \frac{x^{2}}{6^{2}}} + \frac{1}{3} \sec^{3} (\arctan (\frac{x}{6}))) + C$

Passaggio 14.1.3

Eleva $6$ alla potenza di $2$ .

$216 (- \sqrt{1 + \frac{x^{2}}{36}} + \frac{1}{3} \sec^{3} (\arctan (\frac{x}{6}))) + C$

Passaggio 14.1.4

Scrivi $1$ come una frazione con un comune denominatore.

$216 (- \sqrt{\frac{36}{36} + \frac{x^{2}}{36}} + \frac{1}{3} \sec^{3} (\arctan (\frac{x}{6}))) + C$

Passaggio 14.1.5

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$216 (- \sqrt{\frac{36 + x^{2}}{36}} + \frac{1}{3} \sec^{3} (\arctan (\frac{x}{6}))) + C$

Passaggio 14.1.6

Riscrivi $\frac{36 + x^{2}}{36}$ come ${(\frac{1}{6})}^{2} (36 + x^{2})$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 14.1.6.1

Scomponi la potenza perfetta $1^{2}$ su $36 + x^{2}$ .

$216 (- \sqrt{\frac{1^{2} (36 + x^{2})}{36}} + \frac{1}{3} \sec^{3} (\arctan (\frac{x}{6}))) + C$

Passaggio 14.1.6.2

Scomponi la potenza perfetta $6^{2}$ su $36$ .

$216 (- \sqrt{\frac{1^{2} (36 + x^{2})}{6^{2} \cdot 1}} + \frac{1}{3} \sec^{3} (\arctan (\frac{x}{6}))) + C$

Passaggio 14.1.6.3

Riordina la frazione $\frac{1^{2} (36 + x^{2})}{6^{2} \cdot 1}$ .

$216 (- \sqrt{{(\frac{1}{6})}^{2} (36 + x^{2})} + \frac{1}{3} \sec^{3} (\arctan (\frac{x}{6}))) + C$

Passaggio 14.1.7

Estrai i termini dal radicale.

$216 (- (\frac{1}{6} \sqrt{36 + x^{2}}) + \frac{1}{3} \sec^{3} (\arctan (\frac{x}{6}))) + C$

Passaggio 14.1.8

$\frac{1}{6}$ e $\sqrt{36 + x^{2}}$ .

$216 (- \frac{\sqrt{36 + x^{2}}}{6} + \frac{1}{3} \sec^{3} (\arctan (\frac{x}{6}))) + C$

Passaggio 14.1.9

$216 (- \frac{\sqrt{36 + x^{2}}}{6} + \frac{1}{3} {\sqrt{1 + {(\frac{x}{6})}^{2}}}^{3}) + C$

Passaggio 14.1.10

Applica la regola del prodotto a $\frac{x}{6}$ .

$216 (- \frac{\sqrt{36 + x^{2}}}{6} + \frac{1}{3} {\sqrt{1 + \frac{x^{2}}{6^{2}}}}^{3}) + C$

Passaggio 14.1.11

Eleva $6$ alla potenza di $2$ .

$216 (- \frac{\sqrt{36 + x^{2}}}{6} + \frac{1}{3} {\sqrt{1 + \frac{x^{2}}{36}}}^{3}) + C$

Passaggio 14.1.12

Scrivi $1$ come una frazione con un comune denominatore.

$216 (- \frac{\sqrt{36 + x^{2}}}{6} + \frac{1}{3} {\sqrt{\frac{36}{36} + \frac{x^{2}}{36}}}^{3}) + C$

Passaggio 14.1.13

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$216 (- \frac{\sqrt{36 + x^{2}}}{6} + \frac{1}{3} {\sqrt{\frac{36 + x^{2}}{36}}}^{3}) + C$

Passaggio 14.1.14

Riscrivi $\frac{36 + x^{2}}{36}$ come ${(\frac{1}{6})}^{2} (36 + x^{2})$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 14.1.14.1

Scomponi la potenza perfetta $1^{2}$ su $36 + x^{2}$ .

$216 (- \frac{\sqrt{36 + x^{2}}}{6} + \frac{1}{3} {\sqrt{\frac{1^{2} (36 + x^{2})}{36}}}^{3}) + C$

Passaggio 14.1.14.2

Scomponi la potenza perfetta $6^{2}$ su $36$ .

$216 (- \frac{\sqrt{36 + x^{2}}}{6} + \frac{1}{3} {\sqrt{\frac{1^{2} (36 + x^{2})}{6^{2} \cdot 1}}}^{3}) + C$

Passaggio 14.1.14.3

Riordina la frazione $\frac{1^{2} (36 + x^{2})}{6^{2} \cdot 1}$ .

$216 (- \frac{\sqrt{36 + x^{2}}}{6} + \frac{1}{3} {\sqrt{{(\frac{1}{6})}^{2} (36 + x^{2})}}^{3}) + C$

Passaggio 14.1.15

Estrai i termini dal radicale.

$216 (- \frac{\sqrt{36 + x^{2}}}{6} + \frac{1}{3} {(\frac{1}{6} \sqrt{36 + x^{2}})}^{3}) + C$

Passaggio 14.1.16

$\frac{1}{6}$ e $\sqrt{36 + x^{2}}$ .

$216 (- \frac{\sqrt{36 + x^{2}}}{6} + \frac{1}{3} {(\frac{\sqrt{36 + x^{2}}}{6})}^{3}) + C$

Passaggio 14.1.17

Applica la regola del prodotto a $\frac{\sqrt{36 + x^{2}}}{6}$ .

$216 (- \frac{\sqrt{36 + x^{2}}}{6} + \frac{1}{3} \cdot \frac{{\sqrt{36 + x^{2}}}^{3}}{6^{3}}) + C$

Passaggio 14.1.18

Combina.

$216 (- \frac{\sqrt{36 + x^{2}}}{6} + \frac{1 {\sqrt{36 + x^{2}}}^{3}}{3 \cdot 6^{3}}) + C$

Passaggio 14.1.19

Moltiplica ${\sqrt{36 + x^{2}}}^{3}$ per $1$ .

$216 (- \frac{\sqrt{36 + x^{2}}}{6} + \frac{{\sqrt{36 + x^{2}}}^{3}}{3 \cdot 6^{3}}) + C$

Passaggio 14.1.20

Eleva $6$ alla potenza di $3$ .

$216 (- \frac{\sqrt{36 + x^{2}}}{6} + \frac{{\sqrt{36 + x^{2}}}^{3}}{3 \cdot 216}) + C$

Passaggio 14.1.21

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 14.1.21.1

Riscrivi ${\sqrt{36 + x^{2}}}^{3}$ come $\sqrt{{(36 + x^{2})}^{3}}$ .

$216 (- \frac{\sqrt{36 + x^{2}}}{6} + \frac{\sqrt{{(36 + x^{2})}^{3}}}{3 \cdot 216}) + C$

Passaggio 14.1.21.2

Metti in evidenza ${(36 + x^{2})}^{2}$ .

$216 (- \frac{\sqrt{36 + x^{2}}}{6} + \frac{\sqrt{{(36 + x^{2})}^{2} (36 + x^{2})}}{3 \cdot 216}) + C$

Passaggio 14.1.21.3

Estrai i termini dal radicale.

$216 (- \frac{\sqrt{36 + x^{2}}}{6} + \frac{(36 + x^{2}) \sqrt{36 + x^{2}}}{3 \cdot 216}) + C$

Passaggio 14.1.21.4

Applica la proprietà distributiva.

$216 (- \frac{\sqrt{36 + x^{2}}}{6} + \frac{36 \sqrt{36 + x^{2}} + x^{2} \sqrt{36 + x^{2}}}{3 \cdot 216}) + C$

Passaggio 14.1.21.5

Scomponi $\sqrt{36 + x^{2}}$ da $36 \sqrt{36 + x^{2}} + x^{2} \sqrt{36 + x^{2}}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 14.1.21.5.1

Scomponi $\sqrt{36 + x^{2}}$ da $36 \sqrt{36 + x^{2}}$ .

$216 (- \frac{\sqrt{36 + x^{2}}}{6} + \frac{\sqrt{36 + x^{2}} \cdot 36 + x^{2} \sqrt{36 + x^{2}}}{3 \cdot 216}) + C$

Passaggio 14.1.21.5.2

Scomponi $\sqrt{36 + x^{2}}$ da $x^{2} \sqrt{36 + x^{2}}$ .

$216 (- \frac{\sqrt{36 + x^{2}}}{6} + \frac{\sqrt{36 + x^{2}} \cdot 36 + \sqrt{36 + x^{2}} x^{2}}{3 \cdot 216}) + C$

Passaggio 14.1.21.5.3

Scomponi $\sqrt{36 + x^{2}}$ da $\sqrt{36 + x^{2}} \cdot 36 + \sqrt{36 + x^{2}} x^{2}$ .

$216 (- \frac{\sqrt{36 + x^{2}}}{6} + \frac{\sqrt{36 + x^{2}} (36 + x^{2})}{3 \cdot 216}) + C$

Passaggio 14.1.22

Moltiplica $3$ per $216$ .

$216 (- \frac{\sqrt{36 + x^{2}}}{6} + \frac{\sqrt{36 + x^{2}} (36 + x^{2})}{648}) + C$

Passaggio 14.2

Per scrivere $- \frac{\sqrt{36 + x^{2}}}{6}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{108}{108}$ .

$216 (- \frac{\sqrt{36 + x^{2}}}{6} \cdot \frac{108}{108} + \frac{\sqrt{36 + x^{2}} (36 + x^{2})}{648}) + C$

Passaggio 14.3

Scrivi ogni espressione con un comune denominatore di $648$ , moltiplicando ciascuna per il fattore appropriato di $1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 14.3.1

Moltiplica $\frac{\sqrt{36 + x^{2}}}{6}$ per $\frac{108}{108}$ .

$216 (- \frac{\sqrt{36 + x^{2}} \cdot 108}{6 \cdot 108} + \frac{\sqrt{36 + x^{2}} (36 + x^{2})}{648}) + C$

Passaggio 14.3.2

Moltiplica $6$ per $108$ .

$216 (- \frac{\sqrt{36 + x^{2}} \cdot 108}{648} + \frac{\sqrt{36 + x^{2}} (36 + x^{2})}{648}) + C$

Passaggio 14.4

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$216 \frac{- \sqrt{36 + x^{2}} \cdot 108 + \sqrt{36 + x^{2}} (36 + x^{2})}{648} + C$

Passaggio 14.5

Elimina il fattore comune di $216$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 14.5.1

Scomponi $216$ da $648$ .

$216 \frac{- \sqrt{36 + x^{2}} \cdot 108 + \sqrt{36 + x^{2}} (36 + x^{2})}{216 (3)} + C$

Passaggio 14.5.2

Elimina il fattore comune.

$216 \frac{- \sqrt{36 + x^{2}} \cdot 108 + \sqrt{36 + x^{2}} (36 + x^{2})}{216 \cdot 3} + C$

Passaggio 14.5.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{- \sqrt{36 + x^{2}} \cdot 108 + \sqrt{36 + x^{2}} (36 + x^{2})}{3} + C$

Passaggio 14.6

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 14.6.1

Scomponi $\sqrt{36 + x^{2}}$ da $- \sqrt{36 + x^{2}} \cdot 108 + \sqrt{36 + x^{2}} (36 + x^{2})$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 14.6.1.1

Scomponi $\sqrt{36 + x^{2}}$ da $- \sqrt{36 + x^{2}} \cdot 108$ .

$\frac{\sqrt{36 + x^{2}} (- 1 \cdot 108) + \sqrt{36 + x^{2}} (36 + x^{2})}{3} + C$

Passaggio 14.6.1.2

Scomponi $\sqrt{36 + x^{2}}$ da $\sqrt{36 + x^{2}} (- 1 \cdot 108) + \sqrt{36 + x^{2}} (36 + x^{2})$ .

$\frac{\sqrt{36 + x^{2}} (- 1 \cdot 108 + 36 + x^{2})}{3} + C$

Passaggio 14.6.2

Moltiplica $- 1$ per $108$ .

$\frac{\sqrt{36 + x^{2}} (- 108 + 36 + x^{2})}{3} + C$

Passaggio 14.6.3

Somma $- 108$ e $36$ .

$\frac{\sqrt{36 + x^{2}} (- 72 + x^{2})}{3} + C$

Passaggio 14.7

Riscrivi $- 72$ come $- 1 (72)$ .

$\frac{\sqrt{36 + x^{2}} (- 1 (72) + x^{2})}{3} + C$

Passaggio 14.8

Scomponi $- 1$ da $x^{2}$ .

$\frac{\sqrt{36 + x^{2}} (- 1 (72) - 1 (- x^{2}))}{3} + C$

Passaggio 14.9

Scomponi $- 1$ da $- 1 (72) - 1 (- x^{2})$ .

$\frac{\sqrt{36 + x^{2}} (- 1 (72 - x^{2}))}{3} + C$

Passaggio 14.10

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$- \frac{\sqrt{36 + x^{2}} (72 - x^{2})}{3} + C$