Calcolo Esempi

$x^{2} + y^{2} = 25$

Passaggio 1

Solve the equation as $y$ in terms of $x$ .

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Passaggio 1.1

Sottrai $x^{2}$ da entrambi i lati dell'equazione.

$y^{2} = 25 - x^{2}$

Passaggio 1.2

Trova la radice quadrata specificata di entrambi i lati dell'equazione per eliminare l'esponente sul lato sinistro.

$y = \pm \sqrt{25 - x^{2}}$

Passaggio 1.3

Semplifica $\pm \sqrt{25 - x^{2}}$ .

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Passaggio 1.3.1

Riscrivi $25$ come $5^{2}$ .

$y = \pm \sqrt{5^{2} - x^{2}}$

Passaggio 1.3.2

Poiché entrambi i termini sono dei quadrati perfetti, fattorizza usando la formula della differenza di quadrati, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ dove $a = 5$ e $b = x$ .

$y = \pm \sqrt{(5 + x) (5 - x)}$

Passaggio 1.4

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

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Passaggio 1.4.1

Per prima cosa, usa il valore positivo di $\pm$ per trovare la prima soluzione.

$y = \sqrt{(5 + x) (5 - x)}$

Passaggio 1.4.2

Ora, usa il valore negativo del $\pm$ per trovare la seconda soluzione.

$y = - \sqrt{(5 + x) (5 - x)}$

Passaggio 1.4.3

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

$y = \sqrt{(5 + x) (5 - x)}$

$y = - \sqrt{(5 + x) (5 - x)}$

$y = \sqrt{(5 + x) (5 - x)}$

$y = - \sqrt{(5 + x) (5 - x)}$

$y = \sqrt{(5 + x) (5 - x)}$

$y = - \sqrt{(5 + x) (5 - x)}$

Passaggio 2

Set each solution of $y$ as a function of $x$ .

$y = \sqrt{(5 + x) (5 - x)} \to f (x) = \sqrt{(5 + x) (5 - x)}$

$y = - \sqrt{(5 + x) (5 - x)} \to f (x) = - \sqrt{(5 + x) (5 - x)}$

Passaggio 3

Because the $y$ variable in the equation $x^{2} + y^{2} = 25$ has a degree greater than $1$ , use implicit differentiation to solve for the derivative $\frac{d y}{d x}$ .

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Passaggio 3.1

Differenzia entrambi i lati dell'equazione.

$\frac{d}{d x} (x^{2} + y^{2}) = \frac{d}{d x} (25)$

Passaggio 3.2

Differenzia il lato sinistro dell'equazione.

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Passaggio 3.2.1

Differenzia.

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Passaggio 3.2.1.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $x^{2} + y^{2}$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [y^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [y^{2}]$

Passaggio 3.2.1.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$2 x + \frac{d}{d x} [y^{2}]$

Passaggio 3.2.2

Calcola $\frac{d}{d x} [y^{2}]$ .

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Passaggio 3.2.2.1

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = y$ .

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Passaggio 3.2.2.1.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $y$ .

$2 x + \frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [y]$

Passaggio 3.2.2.1.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ è $n u^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$2 x + 2 u \frac{d}{d x} [y]$

Passaggio 3.2.2.1.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $y$ .

$2 x + 2 y \frac{d}{d x} [y]$

Passaggio 3.2.2.2

Riscrivi $\frac{d}{d x} [y]$ come $y'$ .

$2 x + 2 y y'$

Passaggio 3.2.3

Riordina i termini.

$2 y y' + 2 x$

Passaggio 3.3

Poiché $25$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $25$ rispetto a $x$ è $0$ .

$0$

Passaggio 3.4

Forma nuovamente l'equazione eguagliando il lato sinistro al lato destro.

$2 y y' + 2 x = 0$

Passaggio 3.5

Risolvi per $y'$ .

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Passaggio 3.5.1

Sottrai $2 x$ da entrambi i lati dell'equazione.

$2 y y' = - 2 x$

Passaggio 3.5.2

Dividi per $2 y$ ciascun termine in $2 y y' = - 2 x$ e semplifica.

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Passaggio 3.5.2.1

Dividi per $2 y$ ciascun termine in $2 y y' = - 2 x$ .

$\frac{2 y y'}{2 y} = \frac{- 2 x}{2 y}$

Passaggio 3.5.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.2.2.1

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.2.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{2 y y'}{2 y} = \frac{- 2 x}{2 y}$

Passaggio 3.5.2.2.1.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{y y'}{y} = \frac{- 2 x}{2 y}$

Passaggio 3.5.2.2.2

Elimina il fattore comune di $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.2.2.2.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{y y'}{y} = \frac{- 2 x}{2 y}$

Passaggio 3.5.2.2.2.2

Dividi $y'$ per $1$ .

$y' = \frac{- 2 x}{2 y}$

Passaggio 3.5.2.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.2.3.1

Elimina il fattore comune di $- 2$ e $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.2.3.1.1

Scomponi $2$ da $- 2 x$ .

$y' = \frac{2 (- x)}{2 y}$

Passaggio 3.5.2.3.1.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.2.3.1.2.1

Scomponi $2$ da $2 y$ .

$y' = \frac{2 (- x)}{2 (y)}$

Passaggio 3.5.2.3.1.2.2

Elimina il fattore comune.

$y' = \frac{2 (- x)}{2 y}$

Passaggio 3.5.2.3.1.2.3

Riscrivi l'espressione.

$y' = \frac{- x}{y}$

Passaggio 3.5.2.3.2

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$y' = - \frac{x}{y}$

Passaggio 3.6

Sostituisci $y'$ con $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{x}{y}$

Passaggio 4

Poni il numeratore uguale a zero.

$x = 0$

Passaggio 5

Solve the function $f (x) = \sqrt{(5 + x) (5 - x)}$ at $x = 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Sostituisci la variabile $x$ con $0$ nell'espressione.

$f (0) = \sqrt{(5 + 0) (5 - (0))}$

Passaggio 5.2

Semplifica il risultato.

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Passaggio 5.2.1

Rimuovi le parentesi.

$f (0) = \sqrt{(5 + 0) (5 - (0))}$

Passaggio 5.2.2

Somma $5$ e $0$ .

$f (0) = \sqrt{5 (5 - (0))}$

Passaggio 5.2.3

Moltiplica $- 1$ per $0$ .

$f (0) = \sqrt{5 (5 + 0)}$

Passaggio 5.2.4

Somma $5$ e $0$ .

$f (0) = \sqrt{5 \cdot 5}$

Passaggio 5.2.5

Moltiplica $5$ per $5$ .

$f (0) = \sqrt{25}$

Passaggio 5.2.6

Riscrivi $25$ come $5^{2}$ .

$f (0) = \sqrt{5^{2}}$

Passaggio 5.2.7

Estrai i termini dal radicale, presupponendo numeri reali positivi.

$f (0) = 5$

Passaggio 5.2.8

La risposta finale è $5$ .

$5$

Passaggio 6

Solve the function $f (x) = - \sqrt{(5 + x) (5 - x)}$ at $x = 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Sostituisci la variabile $x$ con $0$ nell'espressione.

$f (0) = - \sqrt{(5 + 0) (5 - (0))}$

Passaggio 6.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1

Rimuovi le parentesi.

$f (0) = - \sqrt{(5 + 0) (5 - (0))}$

Passaggio 6.2.2

Somma $5$ e $0$ .

$f (0) = - \sqrt{5 (5 - (0))}$

Passaggio 6.2.3

Moltiplica $- 1$ per $0$ .

$f (0) = - \sqrt{5 (5 + 0)}$

Passaggio 6.2.4

Somma $5$ e $0$ .

$f (0) = - \sqrt{5 \cdot 5}$

Passaggio 6.2.5

Moltiplica $5$ per $5$ .

$f (0) = - \sqrt{25}$

Passaggio 6.2.6

Riscrivi $25$ come $5^{2}$ .

$f (0) = - \sqrt{5^{2}}$

Passaggio 6.2.7

Estrai i termini dal radicale, presupponendo numeri reali positivi.

$f (0) = - 1 \cdot 5$

Passaggio 6.2.8

Moltiplica $- 1$ per $5$ .

$f (0) = - 5$

Passaggio 6.2.9

La risposta finale è $- 5$ .

$- 5$

Passaggio 7

The horizontal tangent lines are $y = 5, y = - 5$

$y = 5, y = - 5$

Passaggio 8