Calcolo Esempi

$f (x) = x^{3} - 3 x^{2}$

Passaggio 1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1

Differenzia.

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Passaggio 1.1.1.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $x^{3} - 3 x^{2}$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 3 x^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 3 x^{2}]$

Passaggio 1.1.1.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 3$ .

$3 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 3 x^{2}]$

Passaggio 1.1.2

Calcola $\frac{d}{d x} [- 3 x^{2}]$ .

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Passaggio 1.1.2.1

Poiché $- 3$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 3 x^{2}$ rispetto a $x$ è $- 3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$3 x^{2} - 3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Passaggio 1.1.2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$3 x^{2} - 3 (2 x)$

Passaggio 1.1.2.3

Moltiplica $2$ per $- 3$ .

$f' (x) = 3 x^{2} - 6 x$

Passaggio 1.2

La derivata prima di $f (x)$ rispetto a $x$ è $3 x^{2} - 6 x$ .

$3 x^{2} - 6 x$

Passaggio 2

Poni la derivata prima uguale a $0$ quindi risolvi l'equazione $3 x^{2} - 6 x = 0$ .

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Passaggio 2.1

Poni la derivata prima uguale a $0$ .

$3 x^{2} - 6 x = 0$

Passaggio 2.2

Scomponi $3 x$ da $3 x^{2} - 6 x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Scomponi $3 x$ da $3 x^{2}$ .

$3 x (x) - 6 x = 0$

Passaggio 2.2.2

Scomponi $3 x$ da $- 6 x$ .

$3 x (x) + 3 x (- 2) = 0$

Passaggio 2.2.3

Scomponi $3 x$ da $3 x (x) + 3 x (- 2)$ .

$3 x (x - 2) = 0$

Passaggio 2.3

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a $0$ , l'intera espressione sarà uguale a $0$ .

$x = 0$

$x - 2 = 0$

Passaggio 2.4

Imposta $x$ uguale a $0$ .

$x = 0$

Passaggio 2.5

Imposta $x - 2$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

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Passaggio 2.5.1

Imposta $x - 2$ uguale a $0$ .

$x - 2 = 0$

Passaggio 2.5.2

Somma $2$ a entrambi i lati dell'equazione.

$x = 2$

Passaggio 2.6

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono $3 x (x - 2) = 0$ vera.

$x = 0, 2$

Passaggio 3

Trova i valori per cui la derivata è indefinita.

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Passaggio 3.1

Il dominio dell'espressione sono tutti i numeri reali tranne nei casi in cui l'espressione sia indefinita. In questo caso, non c'è alcun numero reale che rende l'espressione indefinita.

Passaggio 4

Risolvi $x^{3} - 3 x^{2}$ per ciascun valore di $x$ dove la derivata è $0$ o indefinita.

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Passaggio 4.1

Calcola per $x = 0$ .

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Passaggio 4.1.1

Sostituisci $0$ a $x$ .

${(0)}^{3} - 3 {(0)}^{2}$

Passaggio 4.1.2

Semplifica.

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Passaggio 4.1.2.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 4.1.2.1.1

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$0 - 3 {(0)}^{2}$

Passaggio 4.1.2.1.2

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$0 - 3 \cdot 0$

Passaggio 4.1.2.1.3

Moltiplica $- 3$ per $0$ .

$0 + 0$

Passaggio 4.1.2.2

Somma $0$ e $0$ .

$0$

Passaggio 4.2

Calcola per $x = 2$ .

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Passaggio 4.2.1

Sostituisci $2$ a $x$ .

${(2)}^{3} - 3 {(2)}^{2}$

Passaggio 4.2.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.2.1.1

Eleva $2$ alla potenza di $3$ .

$8 - 3 {(2)}^{2}$

Passaggio 4.2.2.1.2

Eleva $2$ alla potenza di $2$ .

$8 - 3 \cdot 4$

Passaggio 4.2.2.1.3

Moltiplica $- 3$ per $4$ .

$8 - 12$

Passaggio 4.2.2.2

Sottrai $12$ da $8$ .

$- 4$

Passaggio 4.3

Elenca tutti i punti.

$(0, 0), (2, - 4)$

Passaggio 5