Calcolo Esempi

$y = 2 x - x^{2}$ , $y = 2 x - 4$

Passaggio 1

Risolvi tramite sostituzione per trovare l'intersezione tra le curve.

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Passaggio 1.1

Elimina i lati uguali di ciascuna equazione e combinale.

$2 x - x^{2} = 2 x - 4$

Passaggio 1.2

Risolvi $2 x - x^{2} = 2 x - 4$ per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1

Sposta tutti i termini contenenti $x$ sul lato sinistro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1.1

Sottrai $2 x$ da entrambi i lati dell'equazione.

$2 x - x^{2} - 2 x = - 4$

Passaggio 1.2.1.2

Combina i termini opposti in $2 x - x^{2} - 2 x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1.2.1

Sottrai $2 x$ da $2 x$ .

$- x^{2} + 0 = - 4$

Passaggio 1.2.1.2.2

Somma $- x^{2}$ e $0$ .

$- x^{2} = - 4$

Passaggio 1.2.2

Dividi per $- 1$ ciascun termine in $- x^{2} = - 4$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.2.1

Dividi per $- 1$ ciascun termine in $- x^{2} = - 4$ .

$\frac{- x^{2}}{- 1} = \frac{- 4}{- 1}$

Passaggio 1.2.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.2.2.1

Dividendo due valori negativi si ottiene un valore positivo.

$\frac{x^{2}}{1} = \frac{- 4}{- 1}$

Passaggio 1.2.2.2.2

Dividi $x^{2}$ per $1$ .

$x^{2} = \frac{- 4}{- 1}$

Passaggio 1.2.2.3

Semplifica il lato destro.

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Passaggio 1.2.2.3.1

Dividi $- 4$ per $- 1$ .

$x^{2} = 4$

Passaggio 1.2.3

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{4}$

Passaggio 1.2.4

Semplifica $\pm \sqrt{4}$ .

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Passaggio 1.2.4.1

Riscrivi $4$ come $2^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{2^{2}}$

Passaggio 1.2.4.2

Estrai i termini dal radicale, presupponendo numeri reali positivi.

$x = \pm 2$

Passaggio 1.2.5

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.5.1

Per prima cosa, utilizza il valore positivo di $\pm$ per trovare la prima soluzione.

$x = 2$

Passaggio 1.2.5.2

Ora, utilizza il valore negativo del $\pm$ per trovare la seconda soluzione.

$x = - 2$

Passaggio 1.2.5.3

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

$x = 2, - 2$

Passaggio 1.3

Risolvi $y$ quando $x = 2$ .

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Passaggio 1.3.1

Sostituisci $x$ per $2$ .

$y = 2 (2) - 4$

Passaggio 1.3.2

Semplifica $2 (2) - 4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.2.1

Moltiplica $2$ per $2$ .

$y = 4 - 4$

Passaggio 1.3.2.2

Sottrai $4$ da $4$ .

$y = 0$

Passaggio 1.4

Risolvi $y$ quando $x = - 2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.1

Sostituisci $x$ per $- 2$ .

$y = 2 (- 2) - 4$

Passaggio 1.4.2

Semplifica $2 (- 2) - 4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.2.1

Moltiplica $2$ per $- 2$ .

$y = - 4 - 4$

Passaggio 1.4.2.2

Sottrai $4$ da $- 4$ .

$y = - 8$

Passaggio 1.5

La soluzione del sistema è l'insieme completo di coppie ordinate che sono soluzioni valide.

$(2, 0)$

$(- 2, - 8)$

$(2, 0)$

$(- 2, - 8)$

Passaggio 2

Riordina $2 x$ e $- x^{2}$ .

$y = - x^{2} + 2 x$

Passaggio 3

L'area della regione tra le curve è definita come l'integrale della curva superiore meno l'integrale della curva inferiore rispetto a ciascuna regione. Le regioni sono determinate dai punti di intersezione delle curve. Questa operazione si può svolgere algebricamente o graficamente.

$A r e a = \int_{- 2}^{2} - x^{2} + 2 x d x - \int_{- 2}^{2} 2 x - 4 d x$

Passaggio 4

Integra per trovare l'area tra $- 2$ e $2$ .

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Passaggio 4.1

Combina gli interi in un singolo intero.

$\int_{- 2}^{2} - x^{2} + 2 x - (2 x - 4) d x$

Passaggio 4.2

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 4.2.1

Applica la proprietà distributiva.

$- x^{2} + 2 x - (2 x) - - 4$

Passaggio 4.2.2

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$- x^{2} + 2 x - 2 x - - 4$

Passaggio 4.2.3

Moltiplica $- 1$ per $- 4$ .

$- x^{2} + 2 x - 2 x + 4$

$\int_{- 2}^{2} - x^{2} + 2 x - 2 x + 4 d x$

Passaggio 4.3

Combina i termini opposti in $- x^{2} + 2 x - 2 x + 4$ .

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Passaggio 4.3.1

Sottrai $2 x$ da $2 x$ .

$- x^{2} + 0 + 4$

Passaggio 4.3.2

Somma $- x^{2}$ e $0$ .

$- x^{2} + 4$

$\int_{- 2}^{2} - x^{2} + 4 d x$

Passaggio 4.4

Dividi il singolo integrale in più integrali.

$\int_{- 2}^{2} - x^{2} d x + \int_{- 2}^{2} 4 d x$

Passaggio 4.5

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , sposta $- 1$ fuori dall'integrale.

$- \int_{- 2}^{2} x^{2} d x + \int_{- 2}^{2} 4 d x$

Passaggio 4.6

Secondo la regola di potenza, l'intero di $x^{2}$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$- (\frac{1}{3} x^{3}]_{- 2}^{2}) + \int_{- 2}^{2} 4 d x$

Passaggio 4.7

$\frac{1}{3}$ e $x^{3}$ .

$- (\frac{x^{3}}{3}]_{- 2}^{2}) + \int_{- 2}^{2} 4 d x$

Passaggio 4.8

Applica la regola costante.

$- (\frac{x^{3}}{3}]_{- 2}^{2}) + 4 x]_{- 2}^{2}$

Passaggio 4.9

Sostituisci e semplifica.

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Passaggio 4.9.1

Calcola $\frac{x^{3}}{3}$ per $2$ e per $- 2$ .

$- ((\frac{2^{3}}{3}) - \frac{{(- 2)}^{3}}{3}) + 4 x]_{- 2}^{2}$

Passaggio 4.9.2

Calcola $4 x$ per $2$ e per $- 2$ .

$- (\frac{2^{3}}{3} - \frac{{(- 2)}^{3}}{3}) + 4 \cdot 2 - 4 \cdot - 2$

Passaggio 4.9.3

Semplifica.

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Passaggio 4.9.3.1

Eleva $2$ alla potenza di $3$ .

$- (\frac{8}{3} - \frac{{(- 2)}^{3}}{3}) + 4 \cdot 2 - 4 \cdot - 2$

Passaggio 4.9.3.2

Eleva $- 2$ alla potenza di $3$ .

$- (\frac{8}{3} - \frac{- 8}{3}) + 4 \cdot 2 - 4 \cdot - 2$

Passaggio 4.9.3.3

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$- (\frac{8}{3} - - \frac{8}{3}) + 4 \cdot 2 - 4 \cdot - 2$

Passaggio 4.9.3.4

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$- (\frac{8}{3} + 1 (\frac{8}{3})) + 4 \cdot 2 - 4 \cdot - 2$

Passaggio 4.9.3.5

Moltiplica $\frac{8}{3}$ per $1$ .

$- (\frac{8}{3} + \frac{8}{3}) + 4 \cdot 2 - 4 \cdot - 2$

Passaggio 4.9.3.6

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$- \frac{8 + 8}{3} + 4 \cdot 2 - 4 \cdot - 2$

Passaggio 4.9.3.7

Somma $8$ e $8$ .

$- \frac{16}{3} + 4 \cdot 2 - 4 \cdot - 2$

Passaggio 4.9.3.8

Moltiplica $4$ per $2$ .

$- \frac{16}{3} + 8 - 4 \cdot - 2$

Passaggio 4.9.3.9

Moltiplica $- 4$ per $- 2$ .

$- \frac{16}{3} + 8 + 8$

Passaggio 4.9.3.10

Somma $8$ e $8$ .

$- \frac{16}{3} + 16$

Passaggio 4.9.3.11

Per scrivere $16$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{3}{3}$ .

$- \frac{16}{3} + 16 \cdot \frac{3}{3}$

Passaggio 4.9.3.12

$16$ e $\frac{3}{3}$ .

$- \frac{16}{3} + \frac{16 \cdot 3}{3}$

Passaggio 4.9.3.13

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{- 16 + 16 \cdot 3}{3}$

Passaggio 4.9.3.14

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 4.9.3.14.1

Moltiplica $16$ per $3$ .

$\frac{- 16 + 48}{3}$

Passaggio 4.9.3.14.2

Somma $- 16$ e $48$ .

$\frac{32}{3}$

Passaggio 5