Calcolo Esempi

$2 x^{3} + x^{2} y - x y^{3} = 2$

Passaggio 1

Differenzia entrambi i lati dell'equazione.

$\frac{d}{d x} (2 x^{3} + x^{2} y - x y^{3}) = \frac{d}{d x} (2)$

Passaggio 2

Differenzia il lato sinistro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $2 x^{3} + x^{2} y - x y^{3}$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [x^{2} y] + \frac{d}{d x} [- x y^{3}]$ .

$\frac{d}{d x} [2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [x^{2} y] + \frac{d}{d x} [- x y^{3}]$

Passaggio 2.2

Calcola $\frac{d}{d x} [2 x^{3}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $2 x^{3}$ rispetto a $x$ è $2 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [x^{2} y] + \frac{d}{d x} [- x y^{3}]$

Passaggio 2.2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 3$ .

$2 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [x^{2} y] + \frac{d}{d x} [- x y^{3}]$

Passaggio 2.2.3

Moltiplica $3$ per $2$ .

$6 x^{2} + \frac{d}{d x} [x^{2} y] + \frac{d}{d x} [- x y^{3}]$

Passaggio 2.3

Calcola $\frac{d}{d x} [x^{2} y]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Differenzia usando la regola del prodotto secondo cui $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = y$ .

$6 x^{2} + x^{2} \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x y^{3}]$

Passaggio 2.3.2

Riscrivi $\frac{d}{d x} [y]$ come $y'$ .

$6 x^{2} + x^{2} y' + y \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x y^{3}]$

Passaggio 2.3.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$6 x^{2} + x^{2} y' + y (2 x) + \frac{d}{d x} [- x y^{3}]$

Passaggio 2.3.4

Sposta $2$ alla sinistra di $y$ .

$6 x^{2} + x^{2} y' + 2 y x + \frac{d}{d x} [- x y^{3}]$

Passaggio 2.4

Calcola $\frac{d}{d x} [- x y^{3}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.1

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- x y^{3}$ rispetto a $x$ è $- \frac{d}{d x} [x y^{3}]$ .

$6 x^{2} + x^{2} y' + 2 y x - \frac{d}{d x} [x y^{3}]$

Passaggio 2.4.2

Differenzia usando la regola del prodotto secondo cui $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = x$ e $g (x) = y^{3}$ .

$6 x^{2} + x^{2} y' + 2 y x - (x \frac{d}{d x} [y^{3}] + y^{3} \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 2.4.3

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{3}$ e $g (x) = y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.3.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $y$ .

$6 x^{2} + x^{2} y' + 2 y x - (x (\frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d x} [y]) + y^{3} \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 2.4.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ è $n u^{n - 1}$ dove $n = 3$ .

$6 x^{2} + x^{2} y' + 2 y x - (x (3 u^{2} \frac{d}{d x} [y]) + y^{3} \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 2.4.3.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $y$ .

$6 x^{2} + x^{2} y' + 2 y x - (x (3 y^{2} \frac{d}{d x} [y]) + y^{3} \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 2.4.4

Riscrivi $\frac{d}{d x} [y]$ come $y'$ .

$6 x^{2} + x^{2} y' + 2 y x - (x (3 y^{2} y') + y^{3} \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 2.4.5

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$6 x^{2} + x^{2} y' + 2 y x - (x (3 y^{2} y') + y^{3} \cdot 1)$

Passaggio 2.4.6

Sposta $3$ alla sinistra di $x$ .

$6 x^{2} + x^{2} y' + 2 y x - (3 \cdot x y^{2} y' + y^{3} \cdot 1)$

Passaggio 2.4.7

Moltiplica $y^{3}$ per $1$ .

$6 x^{2} + x^{2} y' + 2 y x - (3 x y^{2} y' + y^{3})$

Passaggio 2.5

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.1

Applica la proprietà distributiva.

$6 x^{2} + x^{2} y' + 2 y x - (3 x y^{2} y') - y^{3}$

Passaggio 2.5.2

Moltiplica $3$ per $- 1$ .

$6 x^{2} + x^{2} y' + 2 y x - 3 x y^{2} y' - y^{3}$

Passaggio 2.5.3

Riordina i termini.

$- y^{3} + 6 x^{2} + x^{2} y' + 2 x y - 3 y^{2} x y'$

Passaggio 3

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $2$ rispetto a $x$ è $0$ .

$0$

Passaggio 4

Forma nuovamente l'equazione eguagliando il lato sinistro al lato destro.

$- y^{3} + 6 x^{2} + x^{2} y' + 2 x y - 3 y^{2} x y' = 0$

Passaggio 5

Risolvi per $y'$ .

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Passaggio 5.1

Sposta tutti i termini non contenenti $y'$ sul lato destro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.1

Somma $y^{3}$ a entrambi i lati dell'equazione.

$6 x^{2} + x^{2} y' + 2 x y - 3 y^{2} x y' = y^{3}$

Passaggio 5.1.2

Sottrai $6 x^{2}$ da entrambi i lati dell'equazione.

$x^{2} y' + 2 x y - 3 y^{2} x y' = y^{3} - 6 x^{2}$

Passaggio 5.1.3

Sottrai $2 x y$ da entrambi i lati dell'equazione.

$x^{2} y' - 3 y^{2} x y' = y^{3} - 6 x^{2} - 2 x y$

Passaggio 5.2

Scomponi $x y'$ da $x^{2} y' - 3 y^{2} x y'$ .

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Passaggio 5.2.1

Scomponi $x y'$ da $x^{2} y'$ .

$x y' x - 3 y^{2} x y' = y^{3} - 6 x^{2} - 2 x y$

Passaggio 5.2.2

Scomponi $x y'$ da $- 3 y^{2} x y'$ .

$x y' x + x y' (- 3 y^{2}) = y^{3} - 6 x^{2} - 2 x y$

Passaggio 5.2.3

Scomponi $x y'$ da $x y' x + x y' (- 3 y^{2})$ .

$x y' (x - 3 y^{2}) = y^{3} - 6 x^{2} - 2 x y$

Passaggio 5.3

Dividi per $x (x - 3 y^{2})$ ciascun termine in $x y' (x - 3 y^{2}) = y^{3} - 6 x^{2} - 2 x y$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.1

Dividi per $x (x - 3 y^{2})$ ciascun termine in $x y' (x - 3 y^{2}) = y^{3} - 6 x^{2} - 2 x y$ .

$\frac{x y' (x - 3 y^{2})}{x (x - 3 y^{2})} = \frac{y^{3}}{x (x - 3 y^{2})} + \frac{- 6 x^{2}}{x (x - 3 y^{2})} + \frac{- 2 x y}{x (x - 3 y^{2})}$

Passaggio 5.3.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.2.1

Elimina il fattore comune di $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{x y' (x - 3 y^{2})}{x (x - 3 y^{2})} = \frac{y^{3}}{x (x - 3 y^{2})} + \frac{- 6 x^{2}}{x (x - 3 y^{2})} + \frac{- 2 x y}{x (x - 3 y^{2})}$

Passaggio 5.3.2.1.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{y' (x - 3 y^{2})}{x - 3 y^{2}} = \frac{y^{3}}{x (x - 3 y^{2})} + \frac{- 6 x^{2}}{x (x - 3 y^{2})} + \frac{- 2 x y}{x (x - 3 y^{2})}$

Passaggio 5.3.2.2

Elimina il fattore comune di $x - 3 y^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.2.2.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{y' (x - 3 y^{2})}{x - 3 y^{2}} = \frac{y^{3}}{x (x - 3 y^{2})} + \frac{- 6 x^{2}}{x (x - 3 y^{2})} + \frac{- 2 x y}{x (x - 3 y^{2})}$

Passaggio 5.3.2.2.2

Dividi $y'$ per $1$ .

$y' = \frac{y^{3}}{x (x - 3 y^{2})} + \frac{- 6 x^{2}}{x (x - 3 y^{2})} + \frac{- 2 x y}{x (x - 3 y^{2})}$

Passaggio 5.3.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.3.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.3.1.1

Elimina il fattore comune di $x^{2}$ e $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.3.1.1.1

Scomponi $x$ da $- 6 x^{2}$ .

$y' = \frac{y^{3}}{x (x - 3 y^{2})} + \frac{x (- 6 x)}{x (x - 3 y^{2})} + \frac{- 2 x y}{x (x - 3 y^{2})}$

Passaggio 5.3.3.1.1.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.3.1.1.2.1

Elimina il fattore comune.

$y' = \frac{y^{3}}{x (x - 3 y^{2})} + \frac{x (- 6 x)}{x (x - 3 y^{2})} + \frac{- 2 x y}{x (x - 3 y^{2})}$

Passaggio 5.3.3.1.1.2.2

Riscrivi l'espressione.

$y' = \frac{y^{3}}{x (x - 3 y^{2})} + \frac{- 6 x}{x - 3 y^{2}} + \frac{- 2 x y}{x (x - 3 y^{2})}$

Passaggio 5.3.3.1.2

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$y' = \frac{y^{3}}{x (x - 3 y^{2})} - \frac{6 x}{x - 3 y^{2}} + \frac{- 2 x y}{x (x - 3 y^{2})}$

Passaggio 5.3.3.1.3

Elimina il fattore comune di $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.3.1.3.1

Elimina il fattore comune.

$y' = \frac{y^{3}}{x (x - 3 y^{2})} - \frac{6 x}{x - 3 y^{2}} + \frac{- 2 x y}{x (x - 3 y^{2})}$

Passaggio 5.3.3.1.3.2

Riscrivi l'espressione.

$y' = \frac{y^{3}}{x (x - 3 y^{2})} - \frac{6 x}{x - 3 y^{2}} + \frac{- 2 y}{x - 3 y^{2}}$

Passaggio 5.3.3.1.4

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$y' = \frac{y^{3}}{x (x - 3 y^{2})} - \frac{6 x}{x - 3 y^{2}} - \frac{2 y}{x - 3 y^{2}}$

Passaggio 5.3.3.2

Per scrivere $- \frac{6 x}{x - 3 y^{2}}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{x}{x}$ .

$y' = \frac{y^{3}}{x (x - 3 y^{2})} - \frac{6 x}{x - 3 y^{2}} \cdot \frac{x}{x} - \frac{2 y}{x - 3 y^{2}}$

Passaggio 5.3.3.3

Scrivi ogni espressione con un comune denominatore di $x (x - 3 y^{2})$ , moltiplicando ciascuna per il fattore appropriato di $1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.3.3.1

Moltiplica $\frac{6 x}{x - 3 y^{2}}$ per $\frac{x}{x}$ .

$y' = \frac{y^{3}}{x (x - 3 y^{2})} - \frac{6 x \cdot x}{(x - 3 y^{2}) x} - \frac{2 y}{x - 3 y^{2}}$

Passaggio 5.3.3.3.2

Riordina i fattori di $(x - 3 y^{2}) x$ .

$y' = \frac{y^{3}}{x (x - 3 y^{2})} - \frac{6 x \cdot x}{x (x - 3 y^{2})} - \frac{2 y}{x - 3 y^{2}}$

Passaggio 5.3.3.4

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$y' = \frac{y^{3} - 6 x \cdot x}{x (x - 3 y^{2})} - \frac{2 y}{x - 3 y^{2}}$

Passaggio 5.3.3.5

Moltiplica $x$ per $x$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.3.5.1

Sposta $x$ .

$y' = \frac{y^{3} - 6 (x \cdot x)}{x (x - 3 y^{2})} - \frac{2 y}{x - 3 y^{2}}$

Passaggio 5.3.3.5.2

Moltiplica $x$ per $x$ .

$y' = \frac{y^{3} - 6 x^{2}}{x (x - 3 y^{2})} - \frac{2 y}{x - 3 y^{2}}$

Passaggio 5.3.3.6

Per scrivere $- \frac{2 y}{x - 3 y^{2}}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{x}{x}$ .

$y' = \frac{y^{3} - 6 x^{2}}{x (x - 3 y^{2})} - \frac{2 y}{x - 3 y^{2}} \cdot \frac{x}{x}$

Passaggio 5.3.3.7

Scrivi ogni espressione con un comune denominatore di $x (x - 3 y^{2})$ , moltiplicando ciascuna per il fattore appropriato di $1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.3.7.1

Moltiplica $\frac{2 y}{x - 3 y^{2}}$ per $\frac{x}{x}$ .

$y' = \frac{y^{3} - 6 x^{2}}{x (x - 3 y^{2})} - \frac{2 y x}{(x - 3 y^{2}) x}$

Passaggio 5.3.3.7.2

Riordina i fattori di $(x - 3 y^{2}) x$ .

$y' = \frac{y^{3} - 6 x^{2}}{x (x - 3 y^{2})} - \frac{2 y x}{x (x - 3 y^{2})}$

Passaggio 5.3.3.8

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$y' = \frac{y^{3} - 6 x^{2} - 2 y x}{x (x - 3 y^{2})}$

Passaggio 6

Sostituisci $y'$ con $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y^{3} - 6 x^{2} - 2 y x}{x (x - 3 y^{2})}$