Calcolo Esempi

$\tan (x + y) = x$

Passaggio 1

Differenzia entrambi i lati dell'equazione.

$\frac{d}{d x} (\tan (x + y)) = \frac{d}{d x} (x)$

Passaggio 2

Differenzia il lato sinistro dell'equazione.

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Passaggio 2.1

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = \tan (x)$ e $g (x) = x + y$ .

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Passaggio 2.1.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $x + y$ .

$\frac{d}{d u} [\tan (u)] \frac{d}{d x} [x + y]$

Passaggio 2.1.2

La derivata di $\tan (u)$ rispetto a $u$ è $\sec^{2} (u)$ .

$\sec^{2} (u) \frac{d}{d x} [x + y]$

Passaggio 2.1.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $x + y$ .

$\sec^{2} (x + y) \frac{d}{d x} [x + y]$

Passaggio 2.2

Differenzia.

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Passaggio 2.2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $x + y$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y]$ .

$\sec^{2} (x + y) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y])$

Passaggio 2.2.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\sec^{2} (x + y) (1 + \frac{d}{d x} [y])$

Passaggio 2.3

Riscrivi $\frac{d}{d x} [y]$ come $y'$ .

$\sec^{2} (x + y) (1 + y')$

Passaggio 3

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$1$

Passaggio 4

Forma nuovamente l'equazione eguagliando il lato sinistro al lato destro.

$\sec^{2} (x + y) (1 + y') = 1$

Passaggio 5

Risolvi per $y'$ .

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Passaggio 5.1

Dividi per $\sec^{2} (x + y)$ ciascun termine in $\sec^{2} (x + y) (1 + y') = 1$ e semplifica.

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Passaggio 5.1.1

Dividi per $\sec^{2} (x + y)$ ciascun termine in $\sec^{2} (x + y) (1 + y') = 1$ .

$\frac{\sec^{2} (x + y) (1 + y')}{\sec^{2} (x + y)} = \frac{1}{\sec^{2} (x + y)}$

Passaggio 5.1.2

Semplifica il lato sinistro.

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Passaggio 5.1.2.1

Elimina il fattore comune di $\sec^{2} (x + y)$ .

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Passaggio 5.1.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{\sec^{2} (x + y) (1 + y')}{\sec^{2} (x + y)} = \frac{1}{\sec^{2} (x + y)}$

Passaggio 5.1.2.1.2

Dividi $1 + y'$ per $1$ .

$1 + y' = \frac{1}{\sec^{2} (x + y)}$

Passaggio 5.1.3

Semplifica il lato destro.

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Passaggio 5.1.3.1

Riscrivi $1$ come $1^{2}$ .

$1 + y' = \frac{1^{2}}{\sec^{2} (x + y)}$

Passaggio 5.1.3.2

Riscrivi $\frac{1^{2}}{\sec^{2} (x + y)}$ come ${(\frac{1}{\sec (x + y)})}^{2}$ .

$1 + y' = {(\frac{1}{\sec (x + y)})}^{2}$

Passaggio 5.1.3.3

Riscrivi $\sec (x + y)$ in termini di seno e coseno.

$1 + y' = {(\frac{1}{\frac{1}{\cos (x + y)}})}^{2}$

Passaggio 5.1.3.4

Moltiplica per il reciproco della frazione per dividere per $\frac{1}{\cos (x + y)}$ .

$1 + y' = {(1 \cos (x + y))}^{2}$

Passaggio 5.1.3.5

Moltiplica $\cos (x + y)$ per $1$ .

$1 + y' = \cos^{2} (x + y)$

Passaggio 5.2

Sposta tutti i termini non contenenti $y'$ sul lato destro dell'equazione.

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Passaggio 5.2.1

Sottrai $1$ da entrambi i lati dell'equazione.

$y' = \cos^{2} (x + y) - 1$

Passaggio 5.2.2

Riordina $\cos^{2} (x + y)$ e $- 1$ .

$y' = - 1 + \cos^{2} (x + y)$

Passaggio 5.2.3

Riscrivi $- 1$ come $- 1 (1)$ .

$y' = - 1 (1) + \cos^{2} (x + y)$

Passaggio 5.2.4

Scomponi $- 1$ da $\cos^{2} (x + y)$ .

$y' = - 1 (1) - 1 (- \cos^{2} (x + y))$

Passaggio 5.2.5

Scomponi $- 1$ da $- 1 (1) - 1 (- \cos^{2} (x + y))$ .

$y' = - 1 (1 - \cos^{2} (x + y))$

Passaggio 5.2.6

Riscrivi $- 1 (1 - \cos^{2} (x + y))$ come $- (1 - \cos^{2} (x + y))$ .

$y' = - (1 - \cos^{2} (x + y))$

Passaggio 5.2.7

Applica l'identità pitagorica.

$y' = - \sin^{2} (x + y)$

Passaggio 6

Sostituisci $y'$ con $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \sin^{2} (x + y)$