Calcolo Esempi

$\int_{0}^{\frac{π}{8}} \sin (2 x) d x$

Passaggio 1

Sia $u = 2 x$ . Allora $d u = 2 d x$ , quindi $\frac{1}{2} d u = d x$ . Riscrivi usando $u$ e $d$ $u$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Sia $u = 2 x$ . Trova $\frac{d u}{d x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1

Differenzia $2 x$ .

$\frac{d}{d x} [2 x]$

Passaggio 1.1.2

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $2 x$ rispetto a $x$ è $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 1.1.3

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Passaggio 1.1.4

Moltiplica $2$ per $1$ .

$2$

Passaggio 1.2

Sostituisci $x$ con il limite inferiore in $u = 2 x$ .

$u_{lower} = 2 \cdot 0$

Passaggio 1.3

Moltiplica $2$ per $0$ .

$u_{lower} = 0$

Passaggio 1.4

Sostituisci $x$ con il limite superiore in $u = 2 x$ .

$u_{upper} = 2 \frac{π}{8}$

Passaggio 1.5

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.1

Scomponi $2$ da $8$ .

$u_{upper} = 2 \frac{π}{2 (4)}$

Passaggio 1.5.2

Elimina il fattore comune.

$u_{upper} = 2 \frac{π}{2 \cdot 4}$

Passaggio 1.5.3

Riscrivi l'espressione.

$u_{upper} = \frac{π}{4}$

Passaggio 1.6

I valori trovati per $u_{lower}$ e $u_{upper}$ saranno usati per calcolare l'integrale definito.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = \frac{π}{4}$

Passaggio 1.7

Riscrivi il problema utilizzando $u$ , $d u$ e i nuovi limiti dell'integrazione.

$\int_{0}^{\frac{π}{4}} \sin (u) \frac{1}{2} d u$

Passaggio 2

$\sin (u)$ e $\frac{1}{2}$ .

$\int_{0}^{\frac{π}{4}} \frac{\sin (u)}{2} d u$

Passaggio 3

Poiché $\frac{1}{2}$ è costante rispetto a $u$ , sposta $\frac{1}{2}$ fuori dall'integrale.

$\frac{1}{2} \int_{0}^{\frac{π}{4}} \sin (u) d u$

Passaggio 4

L'integrale di $\sin (u)$ rispetto a $u$ è $- \cos (u)$ .

$\frac{1}{2} - \cos (u)]_{0}^{\frac{π}{4}}$

Passaggio 5

Calcola $- \cos (u)$ per $\frac{π}{4}$ e per $0$ .

$\frac{1}{2} (- \cos (\frac{π}{4}) + \cos (0))$

Passaggio 6

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Il valore esatto di $\cos (\frac{π}{4})$ è $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{1}{2} (- \frac{\sqrt{2}}{2} + \cos (0))$

Passaggio 6.2

Il valore esatto di $\cos (0)$ è $1$ .

$\frac{1}{2} (- \frac{\sqrt{2}}{2} + 1)$

Passaggio 7

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{1}{2} (- \frac{\sqrt{2}}{2}) + \frac{1}{2} \cdot 1$

Passaggio 7.2

Moltiplica $\frac{1}{2} (- \frac{\sqrt{2}}{2})$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.1

Moltiplica $\frac{1}{2}$ per $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$- \frac{\sqrt{2}}{2 \cdot 2} + \frac{1}{2} \cdot 1$

Passaggio 7.2.2

Moltiplica $2$ per $2$ .

$- \frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{1}{2} \cdot 1$

Passaggio 7.3

Moltiplica $\frac{1}{2}$ per $1$ .

$- \frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{1}{2}$

Passaggio 8

Il risultato può essere mostrato in più forme.

Forma esatta:

$- \frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{1}{2}$

Forma decimale:

$0.14644660 \dots$