Calcolo Esempi

$\int_{1}^{7} w^{2} \ln (w) d w$

Passaggio 1

Integra per parti usando la formula $\int u d v = u v - \int v d u$ , dove $u = \ln (w)$ e $d v = w^{2}$ .

$\ln (w) (\frac{1}{3} w^{3})]_{1}^{7} - \int_{1}^{7} \frac{1}{3} w^{3} \frac{1}{w} d w$

Passaggio 2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

$\frac{1}{3}$ e $w^{3}$ .

$\ln (w) \frac{w^{3}}{3}]_{1}^{7} - \int_{1}^{7} \frac{1}{3} w^{3} \frac{1}{w} d w$

Passaggio 2.2

$\ln (w)$ e $\frac{w^{3}}{3}$ .

$\frac{\ln (w) w^{3}}{3}]_{1}^{7} - \int_{1}^{7} \frac{1}{3} w^{3} \frac{1}{w} d w$

Passaggio 3

Poiché $\frac{1}{3}$ è costante rispetto a $w$ , sposta $\frac{1}{3}$ fuori dall'integrale.

$\frac{\ln (w) w^{3}}{3}]_{1}^{7} - (\frac{1}{3} \int_{1}^{7} w^{3} \frac{1}{w} d w)$

Passaggio 4

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

$w^{3}$ e $\frac{1}{w}$ .

$\frac{\ln (w) w^{3}}{3}]_{1}^{7} - (\frac{1}{3} \int_{1}^{7} \frac{w^{3}}{w} d w)$

Passaggio 4.2

Elimina il fattore comune di $w^{3}$ e $w$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.1

Scomponi $w$ da $w^{3}$ .

$\frac{\ln (w) w^{3}}{3}]_{1}^{7} - (\frac{1}{3} \int_{1}^{7} \frac{w \cdot w^{2}}{w} d w)$

Passaggio 4.2.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.2.1

Eleva $w$ alla potenza di $1$ .

$\frac{\ln (w) w^{3}}{3}]_{1}^{7} - (\frac{1}{3} \int_{1}^{7} \frac{w \cdot w^{2}}{w^{1}} d w)$

Passaggio 4.2.2.2

Scomponi $w$ da $w^{1}$ .

$\frac{\ln (w) w^{3}}{3}]_{1}^{7} - (\frac{1}{3} \int_{1}^{7} \frac{w \cdot w^{2}}{w \cdot 1} d w)$

Passaggio 4.2.2.3

Elimina il fattore comune.

$\frac{\ln (w) w^{3}}{3}]_{1}^{7} - (\frac{1}{3} \int_{1}^{7} \frac{w \cdot w^{2}}{w \cdot 1} d w)$

Passaggio 4.2.2.4

Riscrivi l'espressione.

$\frac{\ln (w) w^{3}}{3}]_{1}^{7} - (\frac{1}{3} \int_{1}^{7} \frac{w^{2}}{1} d w)$

Passaggio 4.2.2.5

Dividi $w^{2}$ per $1$ .

$\frac{\ln (w) w^{3}}{3}]_{1}^{7} - (\frac{1}{3} \int_{1}^{7} w^{2} d w)$

$\frac{\ln (w) w^{3}}{3}]_{1}^{7} - \frac{1}{3} \int_{1}^{7} w^{2} d w$

Passaggio 5

Secondo la regola della potenza, l'intero di $w^{2}$ rispetto a $w$ è $\frac{1}{3} w^{3}$ .

$\frac{\ln (w) w^{3}}{3}]_{1}^{7} - \frac{1}{3} \frac{1}{3} w^{3}]_{1}^{7}$

Passaggio 6

Sostituisci e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Calcola $\frac{\ln (w) w^{3}}{3}$ per $7$ e per $1$ .

$(\frac{\ln (7) \cdot 7^{3}}{3}) - \frac{\ln (1) \cdot 1^{3}}{3} - \frac{1}{3} \frac{1}{3} w^{3}]_{1}^{7}$

Passaggio 6.2

Calcola $\frac{1}{3} w^{3}$ per $7$ e per $1$ .

$(\frac{\ln (7) \cdot 7^{3}}{3}) - \frac{\ln (1) \cdot 1^{3}}{3} - \frac{1}{3} ((\frac{1}{3} \cdot 7^{3}) - \frac{1}{3} \cdot 1^{3})$

Passaggio 6.3

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.1

Eleva $7$ alla potenza di $3$ .

$\frac{\ln (7) \cdot 343}{3} - \frac{\ln (1) \cdot 1^{3}}{3} - \frac{1}{3} ((\frac{1}{3} \cdot 7^{3}) - \frac{1}{3} \cdot 1^{3})$

Passaggio 6.3.2

Sposta $343$ alla sinistra di $\ln (7)$ .

$\frac{343 \cdot \ln (7)}{3} - \frac{\ln (1) \cdot 1^{3}}{3} - \frac{1}{3} ((\frac{1}{3} \cdot 7^{3}) - \frac{1}{3} \cdot 1^{3})$

Passaggio 6.3.3

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$\frac{343 \ln (7)}{3} - \frac{\ln (1) \cdot 1}{3} - \frac{1}{3} ((\frac{1}{3} \cdot 7^{3}) - \frac{1}{3} \cdot 1^{3})$

Passaggio 6.3.4

Moltiplica $\ln (1)$ per $1$ .

$\frac{343 \ln (7)}{3} - \frac{\ln (1)}{3} - \frac{1}{3} ((\frac{1}{3} \cdot 7^{3}) - \frac{1}{3} \cdot 1^{3})$

Passaggio 6.3.5

Eleva $7$ alla potenza di $3$ .

$\frac{343 \ln (7)}{3} - \frac{\ln (1)}{3} - \frac{1}{3} (\frac{1}{3} \cdot 343 - \frac{1}{3} \cdot 1^{3})$

Passaggio 6.3.6

$\frac{1}{3}$ e $343$ .

$\frac{343 \ln (7)}{3} - \frac{\ln (1)}{3} - \frac{1}{3} (\frac{343}{3} - \frac{1}{3} \cdot 1^{3})$

Passaggio 6.3.7

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$\frac{343 \ln (7)}{3} - \frac{\ln (1)}{3} - \frac{1}{3} (\frac{343}{3} - \frac{1}{3} \cdot 1)$

Passaggio 6.3.8

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$\frac{343 \ln (7)}{3} - \frac{\ln (1)}{3} - \frac{1}{3} (\frac{343}{3} - \frac{1}{3})$

Passaggio 6.3.9

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{343 \ln (7)}{3} - \frac{\ln (1)}{3} - \frac{1}{3} \cdot \frac{343 - 1}{3}$

Passaggio 6.3.10

Sottrai $1$ da $343$ .

$\frac{343 \ln (7)}{3} - \frac{\ln (1)}{3} - \frac{1}{3} \cdot \frac{342}{3}$

Passaggio 6.3.11

Elimina il fattore comune di $342$ e $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.11.1

Scomponi $3$ da $342$ .

$\frac{343 \ln (7)}{3} - \frac{\ln (1)}{3} - \frac{1}{3} \cdot \frac{3 \cdot 114}{3}$

Passaggio 6.3.11.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.11.2.1

Scomponi $3$ da $3$ .

$\frac{343 \ln (7)}{3} - \frac{\ln (1)}{3} - \frac{1}{3} \cdot \frac{3 \cdot 114}{3 (1)}$

Passaggio 6.3.11.2.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{343 \ln (7)}{3} - \frac{\ln (1)}{3} - \frac{1}{3} \cdot \frac{3 \cdot 114}{3 \cdot 1}$

Passaggio 6.3.11.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{343 \ln (7)}{3} - \frac{\ln (1)}{3} - \frac{1}{3} \cdot \frac{114}{1}$

Passaggio 6.3.11.2.4

Dividi $114$ per $1$ .

$\frac{343 \ln (7)}{3} - \frac{\ln (1)}{3} - \frac{1}{3} \cdot 114$

Passaggio 6.3.12

Moltiplica $114$ per $- 1$ .

$\frac{343 \ln (7)}{3} - \frac{\ln (1)}{3} - 114 (\frac{1}{3})$

Passaggio 6.3.13

$- 114$ e $\frac{1}{3}$ .

$\frac{343 \ln (7)}{3} - \frac{\ln (1)}{3} + \frac{- 114}{3}$

Passaggio 6.3.14

Elimina il fattore comune di $- 114$ e $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.14.1

Scomponi $3$ da $- 114$ .

$\frac{343 \ln (7)}{3} - \frac{\ln (1)}{3} + \frac{3 \cdot - 38}{3}$

Passaggio 6.3.14.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.14.2.1

Scomponi $3$ da $3$ .

$\frac{343 \ln (7)}{3} - \frac{\ln (1)}{3} + \frac{3 \cdot - 38}{3 (1)}$

Passaggio 6.3.14.2.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{343 \ln (7)}{3} - \frac{\ln (1)}{3} + \frac{3 \cdot - 38}{3 \cdot 1}$

Passaggio 6.3.14.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{343 \ln (7)}{3} - \frac{\ln (1)}{3} + \frac{- 38}{1}$

Passaggio 6.3.14.2.4

Dividi $- 38$ per $1$ .

$\frac{343 \ln (7)}{3} - \frac{\ln (1)}{3} - 38$

Passaggio 7

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$- 38 + \frac{343 \ln (7) - \ln (1)}{3}$

Passaggio 7.2

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.1

Il logaritmo naturale di $1$ è $0$ .

$- 38 + \frac{343 \ln (7) - 0}{3}$

Passaggio 7.2.2

Moltiplica $- 1$ per $0$ .

$- 38 + \frac{343 \ln (7) + 0}{3}$

Passaggio 7.3

Somma $343 \ln (7)$ e $0$ .

$- 38 + \frac{343 \ln (7)}{3}$

Passaggio 8

Il risultato può essere mostrato in più forme.

Forma esatta:

$- 38 + \frac{343 \ln (7)}{3}$

Forma decimale:

$184.48239370 \dots$