Calcolo Esempi

$\int e^{- 3 t} d t$

Passaggio 1

Sia $u = - 3 t$ . Allora $d u = - 3 d t$ , quindi $- \frac{1}{3} d u = d t$ . Riscrivi usando $u$ e $d$ $u$ .

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Passaggio 1.1

Sia $u = - 3 t$ . Trova $\frac{d u}{d t}$ .

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Passaggio 1.1.1

Differenzia $- 3 t$ .

$\frac{d}{d t} [- 3 t]$

Passaggio 1.1.2

Poiché $- 3$ è costante rispetto a $t$ , la derivata di $- 3 t$ rispetto a $t$ è $- 3 \frac{d}{d t} [t]$ .

$- 3 \frac{d}{d t} [t]$

Passaggio 1.1.3

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ è $n t^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$- 3 \cdot 1$

Passaggio 1.1.4

Moltiplica $- 3$ per $1$ .

$- 3$

Passaggio 1.2

Riscrivi il problema utilizzando $u$ e $d u$ .

$\int e^{u} \frac{1}{- 3} d u$

Passaggio 2

Semplifica.

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Passaggio 2.1

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$\int e^{u} (- \frac{1}{3}) d u$

Passaggio 2.2

$e^{u}$ e $\frac{1}{3}$ .

$\int - \frac{e^{u}}{3} d u$

Passaggio 3

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $u$ , sposta $- 1$ fuori dall'integrale.

$- \int \frac{e^{u}}{3} d u$

Passaggio 4

Poiché $\frac{1}{3}$ è costante rispetto a $u$ , sposta $\frac{1}{3}$ fuori dall'integrale.

$- (\frac{1}{3} \int e^{u} d u)$

Passaggio 5

L'integrale di $e^{u}$ rispetto a $u$ è $e^{u}$ .

$- \frac{1}{3} (e^{u} + C)$

Passaggio 6

Semplifica.

$- \frac{1}{3} e^{u} + C$

Passaggio 7

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $- 3 t$ .

$- \frac{1}{3} e^{- 3 t} + C$