Calcolo Esempi

$\frac{x}{x^{2} + 1}$

Passaggio 1

Differenzia usando la regola del quoziente, che indica che $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ è $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ dove $f (x) = x$ e $g (x) = x^{2} + 1$ .

$\frac{(x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Passaggio 2

Differenzia.

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Passaggio 2.1

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\frac{(x^{2} + 1) \cdot 1 - x \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Passaggio 2.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $x^{2} + 1$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{(x^{2} + 1) \cdot 1 - x (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1])}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Passaggio 2.3

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$\frac{(x^{2} + 1) \cdot 1 - x (2 x + \frac{d}{d x} [1])}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Passaggio 2.4

Poiché $1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$\frac{(x^{2} + 1) \cdot 1 - x (2 x + 0)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Passaggio 2.5

Somma $2 x$ e $0$ .

$\frac{(x^{2} + 1) \cdot 1 - x (2 x)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Passaggio 3

Semplifica.

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Passaggio 3.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{x^{2} \cdot 1 + 1 \cdot 1 - x (2 x)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Passaggio 3.2

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 3.2.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 3.2.1.1

Moltiplica $x^{2}$ per $1$ .

$\frac{x^{2} + 1 \cdot 1 - x (2 x)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Passaggio 3.2.1.2

Moltiplica $1$ per $1$ .

$\frac{x^{2} + 1 - x (2 x)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Passaggio 3.2.1.3

Riscrivi utilizzando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$\frac{x^{2} + 1 - 1 \cdot 2 x \cdot x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Passaggio 3.2.1.4

Moltiplica $x$ per $x$ sommando gli esponenti.

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Passaggio 3.2.1.4.1

Sposta $x$ .

$\frac{x^{2} + 1 - 1 \cdot 2 (x \cdot x)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Passaggio 3.2.1.4.2

Moltiplica $x$ per $x$ .

$\frac{x^{2} + 1 - 1 \cdot 2 x^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Passaggio 3.2.1.5

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$\frac{x^{2} + 1 - 2 x^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Passaggio 3.2.2

Sottrai $2 x^{2}$ da $x^{2}$ .

$\frac{- x^{2} + 1}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Passaggio 3.3

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 3.3.1

Riscrivi $1$ come $1^{2}$ .

$\frac{- x^{2} + 1^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Passaggio 3.3.2

Riordina $- x^{2}$ e $1^{2}$ .

$\frac{1^{2} - x^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Passaggio 3.3.3

Poiché entrambi i termini sono dei quadrati perfetti, fattorizza utilizzando la formula della differenza di quadrati, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ dove $a = 1$ e $b = x$ .

$\frac{(1 + x) (1 - x)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$