Calcolo Esempi

$\frac{x^{3} + x + 1}{x}$

Passaggio 1

Differenzia usando la regola del quoziente secondo cui $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ è $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ dove $f (x) = x^{3} + x + 1$ e $g (x) = x$ .

$\frac{x \frac{d}{d x} [x^{3} + x + 1] - (x^{3} + x + 1) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Passaggio 2

Differenzia.

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Passaggio 2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $x^{3} + x + 1$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{x (\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]) - (x^{3} + x + 1) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Passaggio 2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 3$ .

$\frac{x (3 x^{2} + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]) - (x^{3} + x + 1) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Passaggio 2.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\frac{x (3 x^{2} + 1 + \frac{d}{d x} [1]) - (x^{3} + x + 1) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Passaggio 2.4

Poiché $1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$\frac{x (3 x^{2} + 1 + 0) - (x^{3} + x + 1) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Passaggio 2.5

Somma $3 x^{2} + 1$ e $0$ .

$\frac{x (3 x^{2} + 1) - (x^{3} + x + 1) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Passaggio 2.6

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\frac{x (3 x^{2} + 1) - (x^{3} + x + 1) \cdot 1}{x^{2}}$

Passaggio 2.7

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$\frac{x (3 x^{2} + 1) - (x^{3} + x + 1)}{x^{2}}$

Passaggio 3

Semplifica.

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Passaggio 3.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{x (3 x^{2}) + x \cdot 1 - (x^{3} + x + 1)}{x^{2}}$

Passaggio 3.2

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{x (3 x^{2}) + x \cdot 1 - x^{3} - x - 1 \cdot 1}{x^{2}}$

Passaggio 3.3

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 3.3.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 3.3.1.1

Riscrivi usando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$\frac{3 x \cdot x^{2} + x \cdot 1 - x^{3} - x - 1 \cdot 1}{x^{2}}$

Passaggio 3.3.1.2

Moltiplica $x$ per $x^{2}$ sommando gli esponenti.

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Passaggio 3.3.1.2.1

Sposta $x^{2}$ .

$\frac{3 (x^{2} x) + x \cdot 1 - x^{3} - x - 1 \cdot 1}{x^{2}}$

Passaggio 3.3.1.2.2

Moltiplica $x^{2}$ per $x$ .

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Passaggio 3.3.1.2.2.1

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$\frac{3 (x^{2} x^{1}) + x \cdot 1 - x^{3} - x - 1 \cdot 1}{x^{2}}$

Passaggio 3.3.1.2.2.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{3 x^{2 + 1} + x \cdot 1 - x^{3} - x - 1 \cdot 1}{x^{2}}$

Passaggio 3.3.1.2.3

Somma $2$ e $1$ .

$\frac{3 x^{3} + x \cdot 1 - x^{3} - x - 1 \cdot 1}{x^{2}}$

Passaggio 3.3.1.3

Moltiplica $x$ per $1$ .

$\frac{3 x^{3} + x - x^{3} - x - 1 \cdot 1}{x^{2}}$

Passaggio 3.3.1.4

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$\frac{3 x^{3} + x - x^{3} - x - 1}{x^{2}}$

Passaggio 3.3.2

Combina i termini opposti in $3 x^{3} + x - x^{3} - x - 1$ .

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Passaggio 3.3.2.1

Sottrai $x$ da $x$ .

$\frac{3 x^{3} - x^{3} + 0 - 1}{x^{2}}$

Passaggio 3.3.2.2

Somma $3 x^{3} - x^{3}$ e $0$ .

$\frac{3 x^{3} - x^{3} - 1}{x^{2}}$

Passaggio 3.3.3

Sottrai $x^{3}$ da $3 x^{3}$ .

$\frac{2 x^{3} - 1}{x^{2}}$