Calcolo Esempi

$\tan (x)$

Passaggio 1

La derivata di $\tan (x)$ rispetto a $x$ è $\sec^{2} (x)$ .

$f' (x) = \sec^{2} (x)$

Passaggio 2

Trova la derivata seconda.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = \sec (x)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $\sec (x)$ .

$\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [\sec (x)]$

Passaggio 2.1.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ è $n u^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$2 u \frac{d}{d x} [\sec (x)]$

Passaggio 2.1.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $\sec (x)$ .

$2 \sec (x) \frac{d}{d x} [\sec (x)]$

Passaggio 2.2

La derivata di $\sec (x)$ rispetto a $x$ è $\sec (x) \tan (x)$ .

$2 \sec (x) (\sec (x) \tan (x))$

Passaggio 2.3

Eleva $\sec (x)$ alla potenza di $1$ .

$2 (\sec^{1} (x) \sec (x)) \tan (x)$

Passaggio 2.4

Eleva $\sec (x)$ alla potenza di $1$ .

$2 (\sec^{1} (x) \sec^{1} (x)) \tan (x)$

Passaggio 2.5

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$2 {\sec (x)}^{1 + 1} \tan (x)$

Passaggio 2.6

Somma $1$ e $1$ .

$f'' (x) = 2 \sec^{2} (x) \tan (x)$

Passaggio 3

Trova la derivata terza.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $2 \sec^{2} (x) \tan (x)$ rispetto a $x$ è $2 \frac{d}{d x} [\sec^{2} (x) \tan (x)]$ .

$2 \frac{d}{d x} [\sec^{2} (x) \tan (x)]$

Passaggio 3.2

Differenzia usando la regola del prodotto secondo cui $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = \sec^{2} (x)$ e $g (x) = \tan (x)$ .

$2 (\sec^{2} (x) \frac{d}{d x} [\tan (x)] + \tan (x) \frac{d}{d x} [\sec^{2} (x)])$

Passaggio 3.3

La derivata di $\tan (x)$ rispetto a $x$ è $\sec^{2} (x)$ .

$2 (\sec^{2} (x) \sec^{2} (x) + \tan (x) \frac{d}{d x} [\sec^{2} (x)])$

Passaggio 3.4

Moltiplica $\sec^{2} (x)$ per $\sec^{2} (x)$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.1

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$2 ({\sec (x)}^{2 + 2} + \tan (x) \frac{d}{d x} [\sec^{2} (x)])$

Passaggio 3.4.2

Somma $2$ e $2$ .

$2 (\sec^{4} (x) + \tan (x) \frac{d}{d x} [\sec^{2} (x)])$

Passaggio 3.5

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = \sec (x)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $\sec (x)$ .

$2 (\sec^{4} (x) + \tan (x) (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [\sec (x)]))$

Passaggio 3.5.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ è $n u^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$2 (\sec^{4} (x) + \tan (x) (2 u \frac{d}{d x} [\sec (x)]))$

Passaggio 3.5.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $\sec (x)$ .

$2 (\sec^{4} (x) + \tan (x) (2 \sec (x) \frac{d}{d x} [\sec (x)]))$

Passaggio 3.6

Sposta $2$ alla sinistra di $\tan (x)$ .

$2 (\sec^{4} (x) + 2 \cdot \tan (x) \sec (x) \frac{d}{d x} [\sec (x)])$

Passaggio 3.7

La derivata di $\sec (x)$ rispetto a $x$ è $\sec (x) \tan (x)$ .

$2 (\sec^{4} (x) + 2 \tan (x) \sec (x) (\sec (x) \tan (x)))$

Passaggio 3.8

Eleva $\tan (x)$ alla potenza di $1$ .

$2 (\sec^{4} (x) + 2 (\tan^{1} (x) \tan (x)) \sec (x) \sec (x))$

Passaggio 3.9

Eleva $\tan (x)$ alla potenza di $1$ .

$2 (\sec^{4} (x) + 2 (\tan^{1} (x) \tan^{1} (x)) \sec (x) \sec (x))$

Passaggio 3.10

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$2 (\sec^{4} (x) + 2 {\tan (x)}^{1 + 1} \sec (x) \sec (x))$

Passaggio 3.11

Somma $1$ e $1$ .

$2 (\sec^{4} (x) + 2 \tan^{2} (x) \sec (x) \sec (x))$

Passaggio 3.12

Eleva $\sec (x)$ alla potenza di $1$ .

$2 (\sec^{4} (x) + 2 \tan^{2} (x) (\sec^{1} (x) \sec (x)))$

Passaggio 3.13

Eleva $\sec (x)$ alla potenza di $1$ .

$2 (\sec^{4} (x) + 2 \tan^{2} (x) (\sec^{1} (x) \sec^{1} (x)))$

Passaggio 3.14

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$2 (\sec^{4} (x) + 2 \tan^{2} (x) {\sec (x)}^{1 + 1})$

Passaggio 3.15

Somma $1$ e $1$ .

$2 (\sec^{4} (x) + 2 \tan^{2} (x) \sec^{2} (x))$

Passaggio 3.16

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.16.1

Applica la proprietà distributiva.

$2 \sec^{4} (x) + 2 (2 \tan^{2} (x) \sec^{2} (x))$

Passaggio 3.16.2

Moltiplica $2$ per $2$ .

$2 \sec^{4} (x) + 4 \tan^{2} (x) \sec^{2} (x)$

Passaggio 3.16.3

Riordina i termini.

$f''' (x) = 4 \sec^{2} (x) \tan^{2} (x) + 2 \sec^{4} (x)$

Passaggio 4

Trova la derivata quarta.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $4 \sec^{2} (x) \tan^{2} (x) + 2 \sec^{4} (x)$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [4 \sec^{2} (x) \tan^{2} (x)] + \frac{d}{d x} [2 \sec^{4} (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [4 \sec^{2} (x) \tan^{2} (x)] + \frac{d}{d x} [2 \sec^{4} (x)]$

Passaggio 4.2

Calcola $\frac{d}{d x} [4 \sec^{2} (x) \tan^{2} (x)]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.1

Poiché $4$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $4 \sec^{2} (x) \tan^{2} (x)$ rispetto a $x$ è $4 \frac{d}{d x} [\sec^{2} (x) \tan^{2} (x)]$ .

$4 \frac{d}{d x} [\sec^{2} (x) \tan^{2} (x)] + \frac{d}{d x} [2 \sec^{4} (x)]$

Passaggio 4.2.2

Differenzia usando la regola del prodotto secondo cui $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = \sec^{2} (x)$ e $g (x) = \tan^{2} (x)$ .

$4 (\sec^{2} (x) \frac{d}{d x} [\tan^{2} (x)] + \tan^{2} (x) \frac{d}{d x} [\sec^{2} (x)]) + \frac{d}{d x} [2 \sec^{4} (x)]$

Passaggio 4.2.3

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = \tan (x)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.3.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{1}$ come $\tan (x)$ .

$4 (\sec^{2} (x) (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{2}] \frac{d}{d x} [\tan (x)]) + \tan^{2} (x) \frac{d}{d x} [\sec^{2} (x)]) + \frac{d}{d x} [2 \sec^{4} (x)]$

Passaggio 4.2.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ è $n {u_{1}}^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$4 (\sec^{2} (x) (2 u_{1} \frac{d}{d x} [\tan (x)]) + \tan^{2} (x) \frac{d}{d x} [\sec^{2} (x)]) + \frac{d}{d x} [2 \sec^{4} (x)]$

Passaggio 4.2.3.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{1}$ con $\tan (x)$ .

$4 (\sec^{2} (x) (2 \tan (x) \frac{d}{d x} [\tan (x)]) + \tan^{2} (x) \frac{d}{d x} [\sec^{2} (x)]) + \frac{d}{d x} [2 \sec^{4} (x)]$

Passaggio 4.2.4

La derivata di $\tan (x)$ rispetto a $x$ è $\sec^{2} (x)$ .

$4 (\sec^{2} (x) (2 \tan (x) \sec^{2} (x)) + \tan^{2} (x) \frac{d}{d x} [\sec^{2} (x)]) + \frac{d}{d x} [2 \sec^{4} (x)]$

Passaggio 4.2.5

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = \sec (x)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.5.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{2}$ come $\sec (x)$ .

$4 (\sec^{2} (x) (2 \tan (x) \sec^{2} (x)) + \tan^{2} (x) (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{2}] \frac{d}{d x} [\sec (x)])) + \frac{d}{d x} [2 \sec^{4} (x)]$

Passaggio 4.2.5.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ è $n {u_{2}}^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$4 (\sec^{2} (x) (2 \tan (x) \sec^{2} (x)) + \tan^{2} (x) (2 u_{2} \frac{d}{d x} [\sec (x)])) + \frac{d}{d x} [2 \sec^{4} (x)]$

Passaggio 4.2.5.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{2}$ con $\sec (x)$ .

$4 (\sec^{2} (x) (2 \tan (x) \sec^{2} (x)) + \tan^{2} (x) (2 \sec (x) \frac{d}{d x} [\sec (x)])) + \frac{d}{d x} [2 \sec^{4} (x)]$

Passaggio 4.2.6

La derivata di $\sec (x)$ rispetto a $x$ è $\sec (x) \tan (x)$ .

$4 (\sec^{2} (x) (2 \tan (x) \sec^{2} (x)) + \tan^{2} (x) (2 \sec (x) (\sec (x) \tan (x)))) + \frac{d}{d x} [2 \sec^{4} (x)]$

Passaggio 4.2.7

Moltiplica $\sec^{2} (x)$ per $\sec^{2} (x)$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.7.1

Sposta $\sec^{2} (x)$ .

$4 (\sec^{2} (x) \sec^{2} (x) (2 \tan (x)) + \tan^{2} (x) (2 \sec (x) (\sec (x) \tan (x)))) + \frac{d}{d x} [2 \sec^{4} (x)]$

Passaggio 4.2.7.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$4 ({\sec (x)}^{2 + 2} (2 \tan (x)) + \tan^{2} (x) (2 \sec (x) (\sec (x) \tan (x)))) + \frac{d}{d x} [2 \sec^{4} (x)]$

Passaggio 4.2.7.3

Somma $2$ e $2$ .

$4 (\sec^{4} (x) (2 \tan (x)) + \tan^{2} (x) (2 \sec (x) (\sec (x) \tan (x)))) + \frac{d}{d x} [2 \sec^{4} (x)]$

Passaggio 4.2.8

Sposta $2$ alla sinistra di $\sec^{4} (x)$ .

$4 (2 \cdot \sec^{4} (x) \tan (x) + \tan^{2} (x) (2 \sec (x) (\sec (x) \tan (x)))) + \frac{d}{d x} [2 \sec^{4} (x)]$

Passaggio 4.2.9

Eleva $\sec (x)$ alla potenza di $1$ .

$4 (2 \sec^{4} (x) \tan (x) + \tan^{2} (x) (2 (\sec^{1} (x) \sec (x)) \tan (x))) + \frac{d}{d x} [2 \sec^{4} (x)]$

Passaggio 4.2.10

Eleva $\sec (x)$ alla potenza di $1$ .

$4 (2 \sec^{4} (x) \tan (x) + \tan^{2} (x) (2 (\sec^{1} (x) \sec^{1} (x)) \tan (x))) + \frac{d}{d x} [2 \sec^{4} (x)]$

Passaggio 4.2.11

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$4 (2 \sec^{4} (x) \tan (x) + \tan^{2} (x) (2 {\sec (x)}^{1 + 1} \tan (x))) + \frac{d}{d x} [2 \sec^{4} (x)]$

Passaggio 4.2.12

Somma $1$ e $1$ .

$4 (2 \sec^{4} (x) \tan (x) + \tan^{2} (x) (2 \sec^{2} (x) \tan (x))) + \frac{d}{d x} [2 \sec^{4} (x)]$

Passaggio 4.2.13

Moltiplica $\tan^{2} (x)$ per $\tan (x)$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.13.1

Sposta $\tan (x)$ .

$4 (2 \sec^{4} (x) \tan (x) + \tan (x) \tan^{2} (x) (2 \sec^{2} (x))) + \frac{d}{d x} [2 \sec^{4} (x)]$

Passaggio 4.2.13.2

Moltiplica $\tan (x)$ per $\tan^{2} (x)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.13.2.1

Eleva $\tan (x)$ alla potenza di $1$ .

$4 (2 \sec^{4} (x) \tan (x) + \tan^{1} (x) \tan^{2} (x) (2 \sec^{2} (x))) + \frac{d}{d x} [2 \sec^{4} (x)]$

Passaggio 4.2.13.2.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$4 (2 \sec^{4} (x) \tan (x) + {\tan (x)}^{1 + 2} (2 \sec^{2} (x))) + \frac{d}{d x} [2 \sec^{4} (x)]$

Passaggio 4.2.13.3

Somma $1$ e $2$ .

$4 (2 \sec^{4} (x) \tan (x) + \tan^{3} (x) (2 \sec^{2} (x))) + \frac{d}{d x} [2 \sec^{4} (x)]$

Passaggio 4.2.14

Sposta $2$ alla sinistra di $\tan^{3} (x)$ .

$4 (2 \sec^{4} (x) \tan (x) + 2 \tan^{3} (x) \sec^{2} (x)) + \frac{d}{d x} [2 \sec^{4} (x)]$

Passaggio 4.3

Calcola $\frac{d}{d x} [2 \sec^{4} (x)]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.1

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $2 \sec^{4} (x)$ rispetto a $x$ è $2 \frac{d}{d x} [\sec^{4} (x)]$ .

$4 (2 \sec^{4} (x) \tan (x) + 2 \tan^{3} (x) \sec^{2} (x)) + 2 \frac{d}{d x} [\sec^{4} (x)]$

Passaggio 4.3.2

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{4}$ e $g (x) = \sec (x)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{3}$ come $\sec (x)$ .

$4 (2 \sec^{4} (x) \tan (x) + 2 \tan^{3} (x) \sec^{2} (x)) + 2 (\frac{d}{d u_{3}} [{u_{3}}^{4}] \frac{d}{d x} [\sec (x)])$

Passaggio 4.3.2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d u_{3}} [{u_{3}}^{n}]$ è $n {u_{3}}^{n - 1}$ dove $n = 4$ .

$4 (2 \sec^{4} (x) \tan (x) + 2 \tan^{3} (x) \sec^{2} (x)) + 2 (4 {u_{3}}^{3} \frac{d}{d x} [\sec (x)])$

Passaggio 4.3.2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{3}$ con $\sec (x)$ .

$4 (2 \sec^{4} (x) \tan (x) + 2 \tan^{3} (x) \sec^{2} (x)) + 2 (4 \sec^{3} (x) \frac{d}{d x} [\sec (x)])$

Passaggio 4.3.3

La derivata di $\sec (x)$ rispetto a $x$ è $\sec (x) \tan (x)$ .

$4 (2 \sec^{4} (x) \tan (x) + 2 \tan^{3} (x) \sec^{2} (x)) + 2 (4 \sec^{3} (x) (\sec (x) \tan (x)))$

Passaggio 4.3.4

Eleva $\sec (x)$ alla potenza di $1$ .

$4 (2 \sec^{4} (x) \tan (x) + 2 \tan^{3} (x) \sec^{2} (x)) + 2 (4 (\sec^{1} (x) \sec^{3} (x)) \tan (x))$

Passaggio 4.3.5

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$4 (2 \sec^{4} (x) \tan (x) + 2 \tan^{3} (x) \sec^{2} (x)) + 2 (4 {\sec (x)}^{1 + 3} \tan (x))$

Passaggio 4.3.6

Somma $1$ e $3$ .

$4 (2 \sec^{4} (x) \tan (x) + 2 \tan^{3} (x) \sec^{2} (x)) + 2 (4 \sec^{4} (x) \tan (x))$

Passaggio 4.3.7

Moltiplica $4$ per $2$ .

$4 (2 \sec^{4} (x) \tan (x) + 2 \tan^{3} (x) \sec^{2} (x)) + 8 \sec^{4} (x) \tan (x)$

Passaggio 4.4

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.4.1

Applica la proprietà distributiva.

$4 (2 \sec^{4} (x) \tan (x)) + 4 (2 \tan^{3} (x) \sec^{2} (x)) + 8 \sec^{4} (x) \tan (x)$

Passaggio 4.4.2

Raccogli i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.4.2.1

Moltiplica $2$ per $4$ .

$8 (\sec^{4} (x) \tan (x)) + 4 (2 \tan^{3} (x) \sec^{2} (x)) + 8 \sec^{4} (x) \tan (x)$

Passaggio 4.4.2.2

Moltiplica $2$ per $4$ .

$8 \sec^{4} (x) \tan (x) + 8 (\tan^{3} (x) \sec^{2} (x)) + 8 \sec^{4} (x) \tan (x)$

Passaggio 4.4.2.3

Somma $8 \sec^{4} (x) \tan (x)$ e $8 \sec^{4} (x) \tan (x)$ .

$f^{4} (x) = 16 \sec^{4} (x) \tan (x) + 8 \tan^{3} (x) \sec^{2} (x)$