Calcolo Esempi

$\int \sqrt{8 x + 1} d x$

Passaggio 1

Sia $u = 8 x + 1$ . Allora $d u = 8 d x$ , quindi $\frac{1}{8} d u = d x$ . Riscrivi usando $u$ e $d$ $u$ .

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Passaggio 1.1

Sia $u = 8 x + 1$ . Trova $\frac{d u}{d x}$ .

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Passaggio 1.1.1

Differenzia $8 x + 1$ .

$\frac{d}{d x} [8 x + 1]$

Passaggio 1.1.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $8 x + 1$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [8 x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [8 x] + \frac{d}{d x} [1]$

Passaggio 1.1.3

Calcola $\frac{d}{d x} [8 x]$ .

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Passaggio 1.1.3.1

Poiché $8$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $8 x$ rispetto a $x$ è $8 \frac{d}{d x} [x]$ .

$8 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

Passaggio 1.1.3.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$8 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1]$

Passaggio 1.1.3.3

Moltiplica $8$ per $1$ .

$8 + \frac{d}{d x} [1]$

Passaggio 1.1.4

Differenzia usando la regola della costante.

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Passaggio 1.1.4.1

Poiché $1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$8 + 0$

Passaggio 1.1.4.2

Somma $8$ e $0$ .

$8$

Passaggio 1.2

Riscrivi il problema utilizzando $u$ e $d u$ .

$\int \sqrt{u} \frac{1}{8} d u$

Passaggio 2

$\sqrt{u}$ e $\frac{1}{8}$ .

$\int \frac{\sqrt{u}}{8} d u$

Passaggio 3

Poiché $\frac{1}{8}$ è costante rispetto a $u$ , sposta $\frac{1}{8}$ fuori dall'integrale.

$\frac{1}{8} \int \sqrt{u} d u$

Passaggio 4

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{u}$ come $u^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{8} \int u^{\frac{1}{2}} d u$

Passaggio 5

Secondo la regola di potenza, l'intero di $u^{\frac{1}{2}}$ rispetto a $u$ è $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{1}{8} (\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C)$

Passaggio 6

Semplifica.

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Passaggio 6.1

Riscrivi $\frac{1}{8} (\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C)$ come $\frac{1}{8} \cdot \frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C$ .

$\frac{1}{8} \cdot \frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C$

Passaggio 6.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1

Moltiplica $\frac{1}{8}$ per $\frac{2}{3}$ .

$\frac{2}{8 \cdot 3} u^{\frac{3}{2}} + C$

Passaggio 6.2.2

Moltiplica $8$ per $3$ .

$\frac{2}{24} u^{\frac{3}{2}} + C$

Passaggio 6.2.3

Elimina il fattore comune di $2$ e $24$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.3.1

Scomponi $2$ da $2$ .

$\frac{2 (1)}{24} u^{\frac{3}{2}} + C$

Passaggio 6.2.3.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.3.2.1

Scomponi $2$ da $24$ .

$\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 12} u^{\frac{3}{2}} + C$

Passaggio 6.2.3.2.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 12} u^{\frac{3}{2}} + C$

Passaggio 6.2.3.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{1}{12} u^{\frac{3}{2}} + C$

Passaggio 7

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $8 x + 1$ .

$\frac{1}{12} {(8 x + 1)}^{\frac{3}{2}} + C$