Calcolo Esempi

$f (x) = \frac{1}{2} x^{4} + 2 x^{3}$

Passaggio 1

Trova la derivata seconda.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $\frac{1}{2} x^{4} + 2 x^{3}$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x^{4}] + \frac{d}{d x} [2 x^{3}]$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (\frac{1}{2} x^{4}) + \frac{d}{d x} (2 x^{3})$

Passaggio 1.1.2

Calcola $\frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x^{4}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.1

Poiché $\frac{1}{2}$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $\frac{1}{2} x^{4}$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$f' (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{d}{d x} (x^{4}) + \frac{d}{d x} (2 x^{3})$

Passaggio 1.1.2.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 4$ .

$f' (x) = \frac{1}{2} \cdot (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} (2 x^{3})$

Passaggio 1.1.2.3

$4$ e $\frac{1}{2}$ .

$f' (x) = \frac{4}{2} x^{3} + \frac{d}{d x} (2 x^{3})$

Passaggio 1.1.2.4

$\frac{4}{2}$ e $x^{3}$ .

$f' (x) = \frac{4 x^{3}}{2} + \frac{d}{d x} (2 x^{3})$

Passaggio 1.1.2.5

Elimina il fattore comune di $4$ e $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.5.1

Scomponi $2$ da $4 x^{3}$ .

$f' (x) = \frac{2 (2 x^{3})}{2} + \frac{d}{d x} (2 x^{3})$

Passaggio 1.1.2.5.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.5.2.1

Scomponi $2$ da $2$ .

$f' (x) = \frac{2 (2 x^{3})}{2 (1)} + \frac{d}{d x} (2 x^{3})$

Passaggio 1.1.2.5.2.2

Elimina il fattore comune.

$f' (x) = \frac{2 (2 x^{3})}{2 \cdot 1} + \frac{d}{d x} (2 x^{3})$

Passaggio 1.1.2.5.2.3

Riscrivi l'espressione.

$f' (x) = \frac{2 x^{3}}{1} + \frac{d}{d x} (2 x^{3})$

Passaggio 1.1.2.5.2.4

Dividi $2 x^{3}$ per $1$ .

$f' (x) = 2 x^{3} + \frac{d}{d x} (2 x^{3})$

Passaggio 1.1.3

Calcola $\frac{d}{d x} [2 x^{3}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.3.1

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $2 x^{3}$ rispetto a $x$ è $2 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$f' (x) = 2 x^{3} + 2 \frac{d}{d x} (x^{3})$

Passaggio 1.1.3.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 3$ .

$f' (x) = 2 x^{3} + 2 (3 x^{2})$

Passaggio 1.1.3.3

Moltiplica $3$ per $2$ .

$f' (x) = 2 x^{3} + 6 x^{2}$

Passaggio 1.2

Trova la derivata seconda.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $2 x^{3} + 6 x^{2}$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [6 x^{2}]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (2 x^{3}) + \frac{d}{d x} (6 x^{2})$

Passaggio 1.2.2

Calcola $\frac{d}{d x} [2 x^{3}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.2.1

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $2 x^{3}$ rispetto a $x$ è $2 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$f'' (x) = 2 \frac{d}{d x} (x^{3}) + \frac{d}{d x} (6 x^{2})$

Passaggio 1.2.2.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 3$ .

$f'' (x) = 2 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (6 x^{2})$

Passaggio 1.2.2.3

Moltiplica $3$ per $2$ .

$f'' (x) = 6 x^{2} + \frac{d}{d x} (6 x^{2})$

Passaggio 1.2.3

Calcola $\frac{d}{d x} [6 x^{2}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.3.1

Poiché $6$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $6 x^{2}$ rispetto a $x$ è $6 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f'' (x) = 6 x^{2} + 6 \frac{d}{d x} (x^{2})$

Passaggio 1.2.3.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$f'' (x) = 6 x^{2} + 6 (2 x)$

Passaggio 1.2.3.3

Moltiplica $2$ per $6$ .

$f'' (x) = 6 x^{2} + 12 x$

Passaggio 1.3

La derivata seconda di $f (x)$ rispetto a $x$ è $6 x^{2} + 12 x$ .

$6 x^{2} + 12 x$

Passaggio 2

Imposta la derivata seconda pari a $0$ , quindi risolvi l'equazione $6 x^{2} + 12 x = 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Imposta la derivata seconda uguale a $0$ .

$6 x^{2} + 12 x = 0$

Passaggio 2.2

Scomponi $6 x$ da $6 x^{2} + 12 x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Scomponi $6 x$ da $6 x^{2}$ .

$6 x (x) + 12 x = 0$

Passaggio 2.2.2

Scomponi $6 x$ da $12 x$ .

$6 x (x) + 6 x (2) = 0$

Passaggio 2.2.3

Scomponi $6 x$ da $6 x (x) + 6 x (2)$ .

$6 x (x + 2) = 0$

Passaggio 2.3

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a $0$ , l'intera espressione sarà uguale a $0$ .

$x = 0$

$x + 2 = 0$

Passaggio 2.4

Imposta $x$ uguale a $0$ .

$x = 0$

Passaggio 2.5

Imposta $x + 2$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.1

Imposta $x + 2$ uguale a $0$ .

$x + 2 = 0$

Passaggio 2.5.2

Sottrai $2$ da entrambi i lati dell'equazione.

$x = - 2$

Passaggio 2.6

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono $6 x (x + 2) = 0$ vera.

$x = 0, - 2$

Passaggio 3

Trova i punti dove la derivata seconda è $0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Sostituisci $0$ in $f (x) = \frac{1}{2} x^{4} + 2 x^{3}$ per trovare il valore di $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.1

Sostituisci la variabile $x$ con $0$ nell'espressione.

$f (0) = \frac{1}{2} \cdot {(0)}^{4} + 2 {(0)}^{3}$

Passaggio 3.1.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.2.1.1

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$f (0) = \frac{1}{2} \cdot 0 + 2 {(0)}^{3}$

Passaggio 3.1.2.1.2

Moltiplica $\frac{1}{2}$ per $0$ .

$f (0) = 0 + 2 {(0)}^{3}$

Passaggio 3.1.2.1.3

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$f (0) = 0 + 2 \cdot 0$

Passaggio 3.1.2.1.4

Moltiplica $2$ per $0$ .

$f (0) = 0 + 0$

Passaggio 3.1.2.2

Somma $0$ e $0$ .

$f (0) = 0$

Passaggio 3.1.2.3

La risposta finale è $0$ .

$0$

Passaggio 3.2

Il punto trovato sostituendo $0$ in $f (x) = \frac{1}{2} x^{4} + 2 x^{3}$ è $(0, 0)$ . Questo punto può essere un punto di flesso.

$(0, 0)$

Passaggio 3.3

Sostituisci $- 2$ in $f (x) = \frac{1}{2} x^{4} + 2 x^{3}$ per trovare il valore di $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1

Sostituisci la variabile $x$ con $- 2$ nell'espressione.

$f (- 2) = \frac{1}{2} \cdot {(- 2)}^{4} + 2 {(- 2)}^{3}$

Passaggio 3.3.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.2.1.1

Eleva $- 2$ alla potenza di $4$ .

$f (- 2) = \frac{1}{2} \cdot 16 + 2 {(- 2)}^{3}$

Passaggio 3.3.2.1.2

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.2.1.2.1

Scomponi $2$ da $16$ .

$f (- 2) = \frac{1}{2} \cdot (2 (8)) + 2 {(- 2)}^{3}$

Passaggio 3.3.2.1.2.2

Elimina il fattore comune.

$f (- 2) = \frac{1}{2} \cdot (2 \cdot 8) + 2 {(- 2)}^{3}$

Passaggio 3.3.2.1.2.3

Riscrivi l'espressione.

$f (- 2) = 8 + 2 {(- 2)}^{3}$

Passaggio 3.3.2.1.3

Eleva $- 2$ alla potenza di $3$ .

$f (- 2) = 8 + 2 \cdot - 8$

Passaggio 3.3.2.1.4

Moltiplica $2$ per $- 8$ .

$f (- 2) = 8 - 16$

Passaggio 3.3.2.2

Sottrai $16$ da $8$ .

$f (- 2) = - 8$

Passaggio 3.3.2.3

La risposta finale è $- 8$ .

$- 8$

Passaggio 3.4

Il punto trovato sostituendo $- 2$ in $f (x) = \frac{1}{2} x^{4} + 2 x^{3}$ è $(- 2, - 8)$ . Questo punto può essere un punto di flesso.

$(- 2, - 8)$

Passaggio 3.5

Determina i punti che potrebbero essere punti di flesso.

$(0, 0), (- 2, - 8)$

Passaggio 4

Dividi $(- \infty, \infty)$ in intervalli intorno ai punti che potrebbero potenzialmente essere punti di flesso.

$(- \infty, - 2) \cup (- 2, 0) \cup (0, \infty)$

Passaggio 5

Sostituisci un valore dell'intervallo $(- \infty, - 2)$ nella derivata seconda per determinare se è crescente o decrescente.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Sostituisci la variabile $x$ con $- 2.1$ nell'espressione.

$f'' (- 2.1) = 6 {(- 2.1)}^{2} + 12 (- 2.1)$

Passaggio 5.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1.1

Eleva $- 2.1$ alla potenza di $2$ .

$f'' (- 2.1) = 6 \cdot 4.41 + 12 (- 2.1)$

Passaggio 5.2.1.2

Moltiplica $6$ per $4.41$ .

$f'' (- 2.1) = 26.46 + 12 (- 2.1)$

Passaggio 5.2.1.3

Moltiplica $12$ per $- 2.1$ .

$f'' (- 2.1) = 26.46 - 25.2$

Passaggio 5.2.2

Sottrai $25.2$ da $26.46$ .

$f'' (- 2.1) = 1.26$

Passaggio 5.2.3

La risposta finale è $1.26$ .

$1.26$

Passaggio 5.3

In corrispondenza di $- 2.1$ , la derivata seconda è $1.26$ . Poiché il valore è positivo, la derivata seconda è crescente sull'intervallo $(- \infty, - 2)$ .

Crescente su $(- \infty, - 2)$ perché $f'' (x) > 0$

Passaggio 6

Sostituisci un valore dell'intervallo $(- 2, 0)$ nella derivata seconda per determinare se è crescente o decrescente.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Sostituisci la variabile $x$ con $- 1$ nell'espressione.

$f'' (- 1) = 6 {(- 1)}^{2} + 12 (- 1)$

Passaggio 6.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1.1

Eleva $- 1$ alla potenza di $2$ .

$f'' (- 1) = 6 \cdot 1 + 12 (- 1)$

Passaggio 6.2.1.2

Moltiplica $6$ per $1$ .

$f'' (- 1) = 6 + 12 (- 1)$

Passaggio 6.2.1.3

Moltiplica $12$ per $- 1$ .

$f'' (- 1) = 6 - 12$

Passaggio 6.2.2

Sottrai $12$ da $6$ .

$f'' (- 1) = - 6$

Passaggio 6.2.3

La risposta finale è $- 6$ .

$- 6$

Passaggio 6.3

Per $- 1$ , la derivata seconda è $- 6$ . Poiché il valore è negativo, la derivata seconda è decrescente nell'intervallo $(- 2, 0)$ .

Decrescente su $(- 2, 0)$ perché $f'' (x) < 0$

Passaggio 7

Sostituisci un valore dell'intervallo $(0, \infty)$ nella derivata seconda per determinare se è crescente o decrescente.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1

Sostituisci la variabile $x$ con $0.1$ nell'espressione.

$f'' (0.1) = 6 {(0.1)}^{2} + 12 (0.1)$

Passaggio 7.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.1.1

Eleva $0.1$ alla potenza di $2$ .

$f'' (0.1) = 6 \cdot 0.01 + 12 (0.1)$

Passaggio 7.2.1.2

Moltiplica $6$ per $0.01$ .

$f'' (0.1) = 0.06 + 12 (0.1)$

Passaggio 7.2.1.3

Moltiplica $12$ per $0.1$ .

$f'' (0.1) = 0.06 + 1.2$

Passaggio 7.2.2

Somma $0.06$ e $1.2$ .

$f'' (0.1) = 1.26$

Passaggio 7.2.3

La risposta finale è $1.26$ .

$1.26$

Passaggio 7.3

In corrispondenza di $0.1$ , la derivata seconda è $1.26$ . Poiché il valore è positivo, la derivata seconda è crescente sull'intervallo $(0, \infty)$ .

Crescente su $(0, \infty)$ perché $f'' (x) > 0$

Passaggio 8

An inflection point is a point on a curve at which the concavity changes sign from plus to minus or from minus to plus. The inflection points in this case are $(- 2, - 8), (0, 0)$ .

$(- 2, - 8), (0, 0)$

Passaggio 9