Calcolo Esempi

$f (x) = 3 x^{2} - 1$ , $[1, 3]$

Passaggio 1

Trova i punti critici.

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Passaggio 1.1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $3 x^{2} - 1$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Passaggio 1.1.1.2

Calcola $\frac{d}{d x} [3 x^{2}]$ .

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Passaggio 1.1.1.2.1

Poiché $3$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $3 x^{2}$ rispetto a $x$ è $3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Passaggio 1.1.1.2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$3 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 1]$

Passaggio 1.1.1.2.3

Moltiplica $2$ per $3$ .

$6 x + \frac{d}{d x} [- 1]$

Passaggio 1.1.1.3

Differenzia usando la regola della costante.

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Passaggio 1.1.1.3.1

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$6 x + 0$

Passaggio 1.1.1.3.2

Somma $6 x$ e $0$ .

$f' (x) = 6 x$

Passaggio 1.1.2

La derivata prima di $f (x)$ rispetto a $x$ è $6 x$ .

$6 x$

Passaggio 1.2

Poni la derivata prima uguale a $0$ quindi risolvi l'equazione $6 x = 0$ .

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Passaggio 1.2.1

Poni la derivata prima uguale a $0$ .

$6 x = 0$

Passaggio 1.2.2

Dividi per $6$ ciascun termine in $6 x = 0$ e semplifica.

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Passaggio 1.2.2.1

Dividi per $6$ ciascun termine in $6 x = 0$ .

$\frac{6 x}{6} = \frac{0}{6}$

Passaggio 1.2.2.2

Semplifica il lato sinistro.

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Passaggio 1.2.2.2.1

Elimina il fattore comune di $6$ .

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Passaggio 1.2.2.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{6 x}{6} = \frac{0}{6}$

Passaggio 1.2.2.2.1.2

Dividi $x$ per $1$ .

$x = \frac{0}{6}$

Passaggio 1.2.2.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.2.3.1

Dividi $0$ per $6$ .

$x = 0$

Passaggio 1.3

Trova i valori per cui la derivata è indefinita.

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Passaggio 1.3.1

Il dominio dell'espressione sono tutti i numeri reali tranne nei casi in cui l'espressione sia indefinita. In questo caso, non c'è alcun numero reale che rende l'espressione indefinita.

Passaggio 1.4

Risolvi $3 x^{2} - 1$ per ciascun valore di $x$ dove la derivata è $0$ o indefinita.

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Passaggio 1.4.1

Calcola per $x = 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.1.1

Sostituisci $0$ a $x$ .

$3 {(0)}^{2} - 1$

Passaggio 1.4.1.2

Semplifica.

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Passaggio 1.4.1.2.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 1.4.1.2.1.1

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$3 \cdot 0 - 1$

Passaggio 1.4.1.2.1.2

Moltiplica $3$ per $0$ .

$0 - 1$

Passaggio 1.4.1.2.2

Sottrai $1$ da $0$ .

$- 1$

Passaggio 1.4.2

Elenca tutti i punti.

$(0, - 1)$

Passaggio 2

Escludi i punti che non si trovano sull'intervallo.

Passaggio 3

Calcola agli estremi inclusi.

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Passaggio 3.1

Calcola per $x = 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.1

Sostituisci $1$ a $x$ .

$3 {(1)}^{2} - 1$

Passaggio 3.1.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.2.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 3.1.2.1.1

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$3 \cdot 1 - 1$

Passaggio 3.1.2.1.2

Moltiplica $3$ per $1$ .

$3 - 1$

Passaggio 3.1.2.2

Sottrai $1$ da $3$ .

$2$

Passaggio 3.2

Calcola per $x = 3$ .

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Passaggio 3.2.1

Sostituisci $3$ a $x$ .

$3 {(3)}^{2} - 1$

Passaggio 3.2.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.2.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 3.2.2.1.1

Moltiplica $3$ per ${(3)}^{2}$ sommando gli esponenti.

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Passaggio 3.2.2.1.1.1

Moltiplica $3$ per ${(3)}^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.2.1.1.1.1

Eleva $3$ alla potenza di $1$ .

$3^{1} {(3)}^{2} - 1$

Passaggio 3.2.2.1.1.1.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$3^{1 + 2} - 1$

Passaggio 3.2.2.1.1.2

Somma $1$ e $2$ .

$3^{3} - 1$

Passaggio 3.2.2.1.2

Eleva $3$ alla potenza di $3$ .

$27 - 1$

Passaggio 3.2.2.2

Sottrai $1$ da $27$ .

$26$

Passaggio 3.3

Elenca tutti i punti.

$(1, 2), (3, 26)$

Passaggio 4

Confronta i valori $f (x)$ trovati per ciascun valore di $x$ per determinare il massimo e il minimo assoluti su un intervallo dato. Il massimo comparirà in corrispondenza del valore $f (x)$ più alto, mentre il minimo comparirà in corrispondenza del valore $f (x)$ più basso.

Massimo assoluto: $(3, 26)$

Minimo assoluto: $(1, 2)$

Passaggio 5