Calcolo Esempi

$\int_{0}^{45} \frac{1}{\sqrt{t + 4}} d t$

Passaggio 1

Sia $u = t + 4$ . Allora $d u = d t$ . Riscrivi usando $u$ e $d$ $u$ .

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Passaggio 1.1

Sia $u = t + 4$ . Trova $\frac{d u}{d t}$ .

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Passaggio 1.1.1

Differenzia $t + 4$ .

$\frac{d}{d t} [t + 4]$

Passaggio 1.1.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $t + 4$ rispetto a $t$ è $\frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [4]$ .

$\frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [4]$

Passaggio 1.1.3

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ è $n t^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d t} [4]$

Passaggio 1.1.4

Poiché $4$ è costante rispetto a $t$ , la derivata di $4$ rispetto a $t$ è $0$ .

$1 + 0$

Passaggio 1.1.5

Somma $1$ e $0$ .

$1$

Passaggio 1.2

Sostituisci $t$ con il limite inferiore in $u = t + 4$ .

$u_{lower} = 0 + 4$

Passaggio 1.3

Somma $0$ e $4$ .

$u_{lower} = 4$

Passaggio 1.4

Sostituisci $t$ con il limite superiore in $u = t + 4$ .

$u_{upper} = 45 + 4$

Passaggio 1.5

Somma $45$ e $4$ .

$u_{upper} = 49$

Passaggio 1.6

I valori trovati per $u_{lower}$ e $u_{upper}$ saranno usati per calcolare l'integrale definito.

$u_{lower} = 4$

$u_{upper} = 49$

Passaggio 1.7

Riscrivi il problema utilizzando $u$ , $d u$ e i nuovi limiti dell'integrazione.

$\int_{4}^{49} \frac{1}{\sqrt{u}} d u$

Passaggio 2

Applica le regole di base degli esponenti.

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Passaggio 2.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{u}$ come $u^{\frac{1}{2}}$ .

$\int_{4}^{49} \frac{1}{u^{\frac{1}{2}}} d u$

Passaggio 2.2

Sposta $u^{\frac{1}{2}}$ fuori dal denominatore elevandolo alla potenza di $- 1$ .

$\int_{4}^{49} {(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d u$

Passaggio 2.3

Moltiplica gli esponenti in ${(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

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Passaggio 2.3.1

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int_{4}^{49} u^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d u$

Passaggio 2.3.2

$\frac{1}{2}$ e $- 1$ .

$\int_{4}^{49} u^{\frac{- 1}{2}} d u$

Passaggio 2.3.3

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$\int_{4}^{49} u^{- \frac{1}{2}} d u$

Passaggio 3

Secondo la regola di potenza, l'intero di $u^{- \frac{1}{2}}$ rispetto a $u$ è $2 u^{\frac{1}{2}}$ .

$2 u^{\frac{1}{2}}]_{4}^{49}$

Passaggio 4

Sostituisci e semplifica.

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Passaggio 4.1

Calcola $2 u^{\frac{1}{2}}$ per $49$ e per $4$ .

$(2 \cdot 49^{\frac{1}{2}}) - 2 \cdot 4^{\frac{1}{2}}$

Passaggio 4.2

Semplifica.

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Passaggio 4.2.1

Riscrivi $49$ come $7^{2}$ .

$2 \cdot {(7^{2})}^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot 4^{\frac{1}{2}}$

Passaggio 4.2.2

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$2 \cdot 7^{2 (\frac{1}{2})} - 2 \cdot 4^{\frac{1}{2}}$

Passaggio 4.2.3

Elimina il fattore comune di $2$ .

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Passaggio 4.2.3.1

Elimina il fattore comune.

$2 \cdot 7^{2 (\frac{1}{2})} - 2 \cdot 4^{\frac{1}{2}}$

Passaggio 4.2.3.2

Riscrivi l'espressione.

$2 \cdot 7^{1} - 2 \cdot 4^{\frac{1}{2}}$

Passaggio 4.2.4

Calcola l'esponente.

$2 \cdot 7 - 2 \cdot 4^{\frac{1}{2}}$

Passaggio 4.2.5

Moltiplica $2$ per $7$ .

$14 - 2 \cdot 4^{\frac{1}{2}}$

Passaggio 4.2.6

Riscrivi $4$ come $2^{2}$ .

$14 - 2 \cdot {(2^{2})}^{\frac{1}{2}}$

Passaggio 4.2.7

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$14 - 2 \cdot 2^{2 (\frac{1}{2})}$

Passaggio 4.2.8

Elimina il fattore comune di $2$ .

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Passaggio 4.2.8.1

Elimina il fattore comune.

$14 - 2 \cdot 2^{2 (\frac{1}{2})}$

Passaggio 4.2.8.2

Riscrivi l'espressione.

$14 - 2 \cdot 2^{1}$

Passaggio 4.2.9

Calcola l'esponente.

$14 - 2 \cdot 2$

Passaggio 4.2.10

Moltiplica $- 2$ per $2$ .

$14 - 4$

Passaggio 4.2.11

Sottrai $4$ da $14$ .

$10$

Passaggio 5